Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpadright Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpadright 33297
Description: The suffix of a left-padded word the original word 𝑊. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lpadlen.1 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3 (𝜑𝐶𝑆)
lpadright.1 (𝜑𝑀 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
lpadright.2 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
Assertion
Ref Expression
lpadright (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = (𝑊𝑁))

Proof of Theorem lpadright
StepHypRef Expression
1 lpadlen.1 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
2 lpadlen.2 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
3 lpadlen.3 . . . 4 (𝜑𝐶𝑆)
41, 2, 3lpadval 33289 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
54fveq1d 6844 . 2 (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + 𝑀)))
6 eqeq2 2748 . . . . . 6 (0 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))) → ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 0 ↔ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊)))))
7 eqeq2 2748 . . . . . 6 ((𝐿 − (♯‘𝑊)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))) → ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)) ↔ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊)))))
81adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
92adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
103adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶𝑆)
11 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
128, 9, 10, 11lpadlem3 33291 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ∅)
1312fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (♯‘∅))
14 hash0 14267 . . . . . . 7 (♯‘∅) = 0
1513, 14eqtrdi 2792 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 0)
161adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
172adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
183adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶𝑆)
19 lencl 14421 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
202, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2120nn0red 12474 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
231nn0red 12474 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℝ)
2521, 23ltnled 11302 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
2625biimpar 478 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) < 𝐿)
2722, 24, 26ltled 11303 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
2816, 17, 18, 27lpadlem2 33293 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
296, 7, 15, 28ifbothda 4524 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
30 lpadright.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
3129, 30eqtr4d 2779 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 𝑀)
3231oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))) = (𝑁 + 𝑀))
3332fveq2d 6846 . 2 (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + 𝑀)))
343lpadlem1 33290 . . 3 (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆)
35 lpadright.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36 ccatval3 14467 . . 3 ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = (𝑊𝑁))
3734, 2, 35, 36syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = (𝑊𝑁))
385, 33, 373eqtr2d 2782 1 (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = (𝑊𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  0cn0 12413  ..^cfzo 13567  chash 14230  Word cword 14402   ++ cconcat 14458   leftpad clpad 33287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-lpad 33288
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator