Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpadright Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpadright 34678
Description: The suffix of a left-padded word the original word 𝑊. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lpadlen.1 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3 (𝜑𝐶𝑆)
lpadright.1 (𝜑𝑀 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
lpadright.2 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
Assertion
Ref Expression
lpadright (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = (𝑊𝑁))

Proof of Theorem lpadright
StepHypRef Expression
1 lpadlen.1 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
2 lpadlen.2 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
3 lpadlen.3 . . . 4 (𝜑𝐶𝑆)
41, 2, 3lpadval 34670 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
54fveq1d 6909 . 2 (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + 𝑀)))
6 eqeq2 2747 . . . . . 6 (0 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))) → ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 0 ↔ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊)))))
7 eqeq2 2747 . . . . . 6 ((𝐿 − (♯‘𝑊)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))) → ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)) ↔ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊)))))
81adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
92adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
103adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶𝑆)
11 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
128, 9, 10, 11lpadlem3 34672 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ∅)
1312fveq2d 6911 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (♯‘∅))
14 hash0 14403 . . . . . . 7 (♯‘∅) = 0
1513, 14eqtrdi 2791 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 0)
161adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
172adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
183adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶𝑆)
19 lencl 14568 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
202, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2120nn0red 12586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
231nn0red 12586 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
2423adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℝ)
2521, 23ltnled 11406 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
2625biimpar 477 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) < 𝐿)
2722, 24, 26ltled 11407 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
2816, 17, 18, 27lpadlem2 34674 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
296, 7, 15, 28ifbothda 4569 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
30 lpadright.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
3129, 30eqtr4d 2778 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 𝑀)
3231oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))) = (𝑁 + 𝑀))
3332fveq2d 6911 . 2 (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + 𝑀)))
343lpadlem1 34671 . . 3 (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆)
35 lpadright.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36 ccatval3 14614 . . 3 ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = (𝑊𝑁))
3734, 2, 35, 36syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = (𝑊𝑁))
385, 33, 373eqtr2d 2781 1 (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = (𝑊𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  0cn0 12524  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605   leftpad clpad 34668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-lpad 34669
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator