Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpadright Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpadright 32962
Description: The suffix of a left-padded word the original word 𝑊. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lpadlen.1 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3 (𝜑𝐶𝑆)
lpadright.1 (𝜑𝑀 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
lpadright.2 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
Assertion
Ref Expression
lpadright (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = (𝑊𝑁))

Proof of Theorem lpadright
StepHypRef Expression
1 lpadlen.1 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
2 lpadlen.2 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
3 lpadlen.3 . . . 4 (𝜑𝐶𝑆)
41, 2, 3lpadval 32954 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
54fveq1d 6832 . 2 (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + 𝑀)))
6 eqeq2 2749 . . . . . 6 (0 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))) → ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 0 ↔ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊)))))
7 eqeq2 2749 . . . . . 6 ((𝐿 − (♯‘𝑊)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))) → ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)) ↔ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊)))))
81adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
92adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
103adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶𝑆)
11 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
128, 9, 10, 11lpadlem3 32956 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ∅)
1312fveq2d 6834 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (♯‘∅))
14 hash0 14187 . . . . . . 7 (♯‘∅) = 0
1513, 14eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 0)
161adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
172adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
183adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶𝑆)
19 lencl 14341 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
202, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2120nn0red 12400 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
2221adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
231nn0red 12400 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
2423adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℝ)
2521, 23ltnled 11228 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
2625biimpar 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) < 𝐿)
2722, 24, 26ltled 11229 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
2816, 17, 18, 27lpadlem2 32958 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
296, 7, 15, 28ifbothda 4516 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
30 lpadright.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
3129, 30eqtr4d 2780 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 𝑀)
3231oveq2d 7358 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))) = (𝑁 + 𝑀))
3332fveq2d 6834 . 2 (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + 𝑀)))
343lpadlem1 32955 . . 3 (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆)
35 lpadright.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36 ccatval3 14387 . . 3 ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = (𝑊𝑁))
3734, 2, 35, 36syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = (𝑊𝑁))
385, 33, 373eqtr2d 2783 1 (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = (𝑊𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  c0 4274  ifcif 4478  {csn 4578   class class class wbr 5097   × cxp 5623  cfv 6484  (class class class)co 7342  cr 10976  0cc0 10977   + caddc 10980   < clt 11115  cle 11116  cmin 11311  0cn0 12339  ..^cfzo 13488  chash 14150  Word cword 14322   ++ cconcat 14378   leftpad clpad 32952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-oadd 8376  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-dju 9763  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-hash 14151  df-word 14323  df-concat 14379  df-lpad 32953
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator