Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpadright Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpadright 32376
Description: The suffix of a left-padded word the original word 𝑊. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lpadlen.1 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3 (𝜑𝐶𝑆)
lpadright.1 (𝜑𝑀 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
lpadright.2 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
Assertion
Ref Expression
lpadright (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = (𝑊𝑁))

Proof of Theorem lpadright
StepHypRef Expression
1 lpadlen.1 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
2 lpadlen.2 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
3 lpadlen.3 . . . 4 (𝜑𝐶𝑆)
41, 2, 3lpadval 32368 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
54fveq1d 6719 . 2 (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + 𝑀)))
6 eqeq2 2749 . . . . . 6 (0 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))) → ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 0 ↔ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊)))))
7 eqeq2 2749 . . . . . 6 ((𝐿 − (♯‘𝑊)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))) → ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)) ↔ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊)))))
81adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
92adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
103adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶𝑆)
11 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
128, 9, 10, 11lpadlem3 32370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ∅)
1312fveq2d 6721 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (♯‘∅))
14 hash0 13934 . . . . . . 7 (♯‘∅) = 0
1513, 14eqtrdi 2794 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 0)
161adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
172adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
183adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶𝑆)
19 lencl 14088 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
202, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2120nn0red 12151 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
2221adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
231nn0red 12151 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
2423adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℝ)
2521, 23ltnled 10979 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
2625biimpar 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) < 𝐿)
2722, 24, 26ltled 10980 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
2816, 17, 18, 27lpadlem2 32372 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
296, 7, 15, 28ifbothda 4477 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
30 lpadright.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
3129, 30eqtr4d 2780 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 𝑀)
3231oveq2d 7229 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))) = (𝑁 + 𝑀))
3332fveq2d 6721 . 2 (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + 𝑀)))
343lpadlem1 32369 . . 3 (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆)
35 lpadright.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36 ccatval3 14136 . . 3 ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = (𝑊𝑁))
3734, 2, 35, 36syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = (𝑊𝑁))
385, 33, 373eqtr2d 2783 1 (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = (𝑊𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  c0 4237  ifcif 4439  {csn 4541   class class class wbr 5053   × cxp 5549  cfv 6380  (class class class)co 7213  cr 10728  0cc0 10729   + caddc 10732   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062  0cn0 12090  ..^cfzo 13238  chash 13896  Word cword 14069   ++ cconcat 14125   leftpad clpad 32366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-lpad 32367
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator