Theorem lpadright 34868

Description: The suffix of a left-padded word the original word 𝑊. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadright.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
lpadright.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))

Assertion

Ref	Expression
lpadright	⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = (𝑊‘𝑁))

Proof of Theorem lpadright

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpadlen.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		lpadlen.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
4	1, 2, 3	lpadval 34860	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
5	4	fveq1d 6829	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + 𝑀)))
6		eqeq2 2751	. . . . . 6 ⊢ (0 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))) → ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 0 ↔ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊)))))
7		eqeq2 2751	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 − (♯‘𝑊)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))) → ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)) ↔ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊)))))
8	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
9	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
10	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
11		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
12	8, 9, 10, 11	lpadlem3 34862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ∅)
13	12	fveq2d 6831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (♯‘∅))
14		hash0 14320	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘∅) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 0)
16	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
18	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
19		lencl 14486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21	20	nn0red 12490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
23	1	nn0red 12490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℝ)
25	21, 23	ltnled 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
26	25	biimpar 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) < 𝐿)
27	22, 24, 26	ltled 11285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
28	16, 17, 18, 27	lpadlem2 34864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
29	6, 7, 15, 28	ifbothda 4493	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
30		lpadright.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
31	29, 30	eqtr4d 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 𝑀)
32	31	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))) = (𝑁 + 𝑀))
33	32	fveq2d 6831	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + 𝑀)))
34	3	lpadlem1 34861	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆)
35		lpadright.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36		ccatval3 14532	. . 3 ⊢ ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = (𝑊‘𝑁))
37	34, 2, 35, 36	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = (𝑊‘𝑁))
38	5, 33, 37	3eqtr2d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = (𝑊‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4261  ifcif 4454  {csn 4555   class class class wbr 5072   × cxp 5616  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12428  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466   ++ cconcat 14523   leftpad clpad 34858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-lpad 34859

This theorem is referenced by: (None)