Theorem lpadright 34841

Description: The suffix of a left-padded word the original word 𝑊. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadright.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
lpadright.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))

Assertion

Ref	Expression
lpadright	⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = (𝑊‘𝑁))

Proof of Theorem lpadright

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpadlen.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		lpadlen.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
4	1, 2, 3	lpadval 34833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
5	4	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + 𝑀)))
6		eqeq2 2748	. . . . . 6 ⊢ (0 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))) → ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 0 ↔ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊)))))
7		eqeq2 2748	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 − (♯‘𝑊)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))) → ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)) ↔ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊)))))
8	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
9	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
10	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
12	8, 9, 10, 11	lpadlem3 34835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ∅)
13	12	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (♯‘∅))
14		hash0 14290	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘∅) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 0)
16	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
18	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
19		lencl 14456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21	20	nn0red 12463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
23	1	nn0red 12463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℝ)
25	21, 23	ltnled 11280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
26	25	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) < 𝐿)
27	22, 24, 26	ltled 11281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
28	16, 17, 18, 27	lpadlem2 34837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
29	6, 7, 15, 28	ifbothda 4518	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
30		lpadright.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), 0, (𝐿 − (♯‘𝑊))))
31	29, 30	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = 𝑀)
32	31	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))) = (𝑁 + 𝑀))
33	32	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + 𝑀)))
34	3	lpadlem1 34834	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆)
35		lpadright.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36		ccatval3 14502	. . 3 ⊢ ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = (𝑊‘𝑁))
37	34, 2, 35, 36	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘(𝑁 + (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) = (𝑊‘𝑁))
38	5, 33, 37	3eqtr2d 2777	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘(𝑁 + 𝑀)) = (𝑊‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4285  ifcif 4479  {csn 4580   class class class wbr 5098   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℕ₀cn0 12401  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253  Word cword 14436   ++ cconcat 14493   leftpad clpad 34831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-lpad 34832

This theorem is referenced by: (None)