Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpadlen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpadlen2 33163
Description: Length of a left-padded word, in the case the given word 𝑊 is shorter than the desired length. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lpadlen.1 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3 (𝜑𝐶𝑆)
lpadlen2.1 (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
Assertion
Ref Expression
lpadlen2 (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = 𝐿)

Proof of Theorem lpadlen2
StepHypRef Expression
1 lpadlen.1 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
2 lpadlen.2 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
3 lpadlen.3 . . . 4 (𝜑𝐶𝑆)
41, 2, 3lpadval 33158 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
54fveq2d 6843 . 2 (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = (♯‘(((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
63lpadlem1 33159 . . . 4 (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆)
7 ccatlen 14455 . . . 4 ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)) = ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) + (♯‘𝑊)))
86, 2, 7syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (♯‘(((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)) = ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) + (♯‘𝑊)))
9 lpadlen2.1 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
101, 2, 3, 9lpadlem2 33162 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
1110oveq1d 7368 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) + (♯‘𝑊)) = ((𝐿 − (♯‘𝑊)) + (♯‘𝑊)))
121nn0cnd 12471 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
13 lencl 14413 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
142, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 12471 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
1612, 15npcand 11512 . . 3 (𝜑 → ((𝐿 − (♯‘𝑊)) + (♯‘𝑊)) = 𝐿)
178, 11, 163eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → (♯‘(((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)) = 𝐿)
185, 17eqtrd 2776 1 (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5629  cfv 6493  (class class class)co 7353  0cc0 11047   + caddc 11050  cle 11186  cmin 11381  0cn0 12409  ..^cfzo 13559  chash 14222  Word cword 14394   ++ cconcat 14450   leftpad clpad 33156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-oadd 8412  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9833  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-hash 14223  df-word 14395  df-concat 14451  df-lpad 33157
This theorem is referenced by:  lpadmax  33164
  Copyright terms: Public domain W3C validator