Theorem lpadlen2 35192

Description: Length of a left-padded word, in the case the given word 𝑊 is shorter than the desired length. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadlen2.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
lpadlen2	⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = 𝐿)

Proof of Theorem lpadlen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpadlen.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		lpadlen.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
4	1, 2, 3	lpadval 35187	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
5	4	fveq2d 6882	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = (♯‘(((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
6	3	lpadlem1 35188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆)
7		ccatlen 14640	. . . 4 ⊢ ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)) = ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) + (♯‘𝑊)))
8	6, 2, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)) = ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) + (♯‘𝑊)))
9		lpadlen2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
10	1, 2, 3, 9	lpadlem2 35191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
11	10	oveq1d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) + (♯‘𝑊)) = ((𝐿 − (♯‘𝑊)) + (♯‘𝑊)))
12	1	nn0cnd 12591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
13		lencl 14598	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14	2, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
16	12, 15	npcand 11597	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (♯‘𝑊)) + (♯‘𝑊)) = 𝐿)
17	8, 11, 16	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)) = 𝐿)
18	5, 17	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = 𝐿)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5653  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124   + caddc 11127   ≤ cle 11268   − cmin 11465  ℕ₀cn0 12528  ..^cfzo 13709  ♯chash 14394  Word cword 14578   ++ cconcat 14635   leftpad clpad 35185

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-lpad 35186

This theorem is used by:  lpadmax  35193