Theorem lpadleft 35202

Description: The contents of prefix of a left-padded word is always the letter 𝐶. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadleft.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))

Assertion

Ref	Expression
lpadleft	⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘𝑁) = 𝐶)

Proof of Theorem lpadleft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpadlen.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		lpadlen.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
4	1, 2, 3	lpadval 35195	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
5	4	fveq1d 6884	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘𝑁) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘𝑁))
6	3	lpadlem1 35196	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆)
7		lpadleft.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
8		lencl 14602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9	2, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		elfzo0 13760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (𝐿 − (♯‘𝑊))))
11	7, 10	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (𝐿 − (♯‘𝑊))))
12	11	simp2d 1161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 12593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
14		nn0sub 12582	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ≤ 𝐿 ↔ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0))
15	14	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
16	9, 1, 13, 15	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
17	1, 2, 3, 16	lpadlem2 35199	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
18	17	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))) = (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
19	7, 18	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))))
20		ccatval1 14646	. . 3 ⊢ ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘𝑁) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁))
21	6, 2, 19, 20	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘𝑁) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁))
22		fvconst2g 7205	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁) = 𝐶)
23	3, 7, 22	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁) = 𝐶)
24	5, 21, 23	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘𝑁) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4587   class class class wbr 5107   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  ..^cfzo 13713  ♯chash 14398  Word cword 14582   ++ cconcat 14639   leftpad clpad 35193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-concat 14640  df-lpad 35194

This theorem is used by: (None)