Theorem lpadleft 34827

Description: The contents of prefix of a left-padded word is always the letter 𝐶. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadleft.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))

Assertion

Ref	Expression
lpadleft	⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘𝑁) = 𝐶)

Proof of Theorem lpadleft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpadlen.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		lpadlen.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
4	1, 2, 3	lpadval 34820	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
5	4	fveq1d 6842	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘𝑁) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘𝑁))
6	3	lpadlem1 34821	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆)
7		lpadleft.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
8		lencl 14495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9	2, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		elfzo0 13655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (𝐿 − (♯‘𝑊))))
11	7, 10	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (𝐿 − (♯‘𝑊))))
12	11	simp2d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 12498	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
14		nn0sub 12487	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ≤ 𝐿 ↔ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0))
15	14	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
16	9, 1, 13, 15	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
17	1, 2, 3, 16	lpadlem2 34824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
18	17	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))) = (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
19	7, 18	eleqtrrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))))
20		ccatval1 14539	. . 3 ⊢ ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘𝑁) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁))
21	6, 2, 19, 20	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘𝑁) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁))
22		fvconst2g 7157	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁) = 𝐶)
23	3, 7, 22	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁) = 𝐶)
24	5, 21, 23	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘𝑁) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4567   class class class wbr 5085   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475   ++ cconcat 14532   leftpad clpad 34818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-lpad 34819

This theorem is referenced by: (None)