Theorem lpadleft 34944

Description: The contents of prefix of a left-padded word is always the letter 𝐶. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadleft.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))

Assertion

Ref	Expression
lpadleft	⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘𝑁) = 𝐶)

Proof of Theorem lpadleft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpadlen.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		lpadlen.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
4	1, 2, 3	lpadval 34937	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
5	4	fveq1d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘𝑁) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘𝑁))
6	3	lpadlem1 34938	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆)
7		lpadleft.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
8		lencl 14543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9	2, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		elfzo0 13703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (𝐿 − (♯‘𝑊))))
11	7, 10	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (𝐿 − (♯‘𝑊))))
12	11	simp2d 1155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 12539	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
14		nn0sub 12528	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ≤ 𝐿 ↔ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0))
15	14	biimpar 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
16	9, 1, 13, 15	syl21anc 848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
17	1, 2, 3, 16	lpadlem2 34941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
18	17	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))) = (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
19	7, 18	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))))
20		ccatval1 14587	. . 3 ⊢ ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘𝑁) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁))
21	6, 2, 19, 20	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘𝑁) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁))
22		fvconst2g 7182	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁) = 𝐶)
23	3, 7, 22	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁) = 𝐶)
24	5, 21, 23	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘𝑁) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {csn 4581   class class class wbr 5099   × cxp 5643  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12478  ..^cfzo 13656  ♯chash 14340  Word cword 14523   ++ cconcat 14580   leftpad clpad 34935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-lpad 34936

This theorem is referenced by: (None)