Theorem lpadleft 32563

Description: The contents of prefix of a left-padded word is always the letter 𝐶. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadleft.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))

Assertion

Ref	Expression
lpadleft	⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘𝑁) = 𝐶)

Proof of Theorem lpadleft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpadlen.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		lpadlen.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
4	1, 2, 3	lpadval 32556	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
5	4	fveq1d 6758	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘𝑁) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘𝑁))
6	3	lpadlem1 32557	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆)
7		lpadleft.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
8		lencl 14164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9	2, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		elfzo0 13356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (𝐿 − (♯‘𝑊))))
11	7, 10	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (𝐿 − (♯‘𝑊))))
12	11	simp2d 1141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 12223	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
14		nn0sub 12213	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ≤ 𝐿 ↔ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0))
15	14	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
16	9, 1, 13, 15	syl21anc 834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
17	1, 2, 3, 16	lpadlem2 32560	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
18	17	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))) = (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
19	7, 18	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))))
20		ccatval1 14209	. . 3 ⊢ ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘𝑁) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁))
21	6, 2, 19, 20	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘𝑁) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁))
22		fvconst2g 7059	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁) = 𝐶)
23	3, 7, 22	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁) = 𝐶)
24	5, 21, 23	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘𝑁) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4558   class class class wbr 5070   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145   ++ cconcat 14201   leftpad clpad 32554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-lpad 32555

This theorem is referenced by: (None)