Theorem lpadleft 34681

Description: The contents of prefix of a left-padded word is always the letter 𝐶. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadleft.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))

Assertion

Ref	Expression
lpadleft	⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘𝑁) = 𝐶)

Proof of Theorem lpadleft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpadlen.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		lpadlen.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
4	1, 2, 3	lpadval 34674	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
5	4	fveq1d 6863	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘𝑁) = ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘𝑁))
6	3	lpadlem1 34675	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆)
7		lpadleft.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
8		lencl 14505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9	2, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		elfzo0 13668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (𝐿 − (♯‘𝑊))))
11	7, 10	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (𝐿 − (♯‘𝑊))))
12	11	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 12510	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
14		nn0sub 12499	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ≤ 𝐿 ↔ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0))
15	14	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
16	9, 1, 13, 15	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
17	1, 2, 3, 16	lpadlem2 34678	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
18	17	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))) = (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
19	7, 18	eleqtrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))))
20		ccatval1 14549	. . 3 ⊢ ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})))) → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘𝑁) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁))
21	6, 2, 19, 20	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)‘𝑁) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁))
22		fvconst2g 7179	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁) = 𝐶)
23	3, 7, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})‘𝑁) = 𝐶)
24	5, 21, 23	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)‘𝑁) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4592   class class class wbr 5110   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485   ++ cconcat 14542   leftpad clpad 34672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-lpad 34673

This theorem is referenced by: (None)