Theorem lpadlen1 31957

Description: Length of a left-padded word, in the case the length of the given word 𝑊 is at least the desired length. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadlen1.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
lpadlen1	⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem lpadlen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpadlen.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		lpadlen.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
4	1, 2, 3	lpadval 31954	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
5		lpadlen1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
6	1, 2, 3, 5	lpadlem3 31956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ∅)
7	6	oveq1d 7157	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊) = (∅ ++ 𝑊))
8		ccatlid 13925	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (∅ ++ 𝑊) = 𝑊)
9	2, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∅ ++ 𝑊) = 𝑊)
10	4, 7, 9	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = 𝑊)
11	10	fveq2d 6660	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = (♯‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∅c0 4279  {csn 4553   class class class wbr 5052   × cxp 5539  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  0cc0 10523   ≤ cle 10662   − cmin 10856  ℕ₀cn0 11884  ..^cfzo 13023  ♯chash 13680  Word cword 13851   ++ cconcat 13907   leftpad clpad 31952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-card 9354  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-hash 13681  df-word 13852  df-concat 13908  df-lpad 31953

This theorem is referenced by:  lpadmax  31960