Theorem ltmul12ad 12207

Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltmul12ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
ltmul12ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
ltmul12ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltmul12ad.6	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
ltmul12ad.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ltmul12ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem ltmul12ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
4		ltmul12ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5		ltmul12ad.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	4, 5	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
7		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8		ltmul12ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
9	7, 8	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
10		ltmul12ad.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
11		ltmul12ad.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)
12	10, 11	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))
13		ltmul12a 12121	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))
14	3, 6, 9, 12, 13	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493

This theorem is referenced by:  pntibndlem2  27650  hgt750leme  34652  knoppndvlem18  36512  aks6d1c2  42112  2ap1caineq  42127  stoweidlem3  45959  smfmullem1  46747