Theorem ltmul12ad 12288

Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltmul12ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
ltmul12ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
ltmul12ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltmul12ad.6	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
ltmul12ad.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ltmul12ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem ltmul12ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
4		ltmul12ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5		ltmul12ad.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	4, 5	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
7		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8		ltmul12ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
9	7, 8	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
10		ltmul12ad.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
11		ltmul12ad.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)
12	10, 11	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))
13		ltmul12a 12203	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))
14	3, 6, 9, 12, 13	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230   · cmul 11235   < clt 11373   ≤ cle 11374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574

This theorem is used by:  pntibndlem2  27951  hgt750leme  35370  knoppndvlem18  37586  aks6d1c2  43383  2ap1caineq  43398  stoweidlem3  47228  smfmullem1  48016