Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem3 43039
 Description: Lemma for stoweid 43099: if 𝐴 is positive and all 𝑀 terms of a finite product are larger than 𝐴, then the finite product is larger than A^M. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem3.1 𝑖𝐹
stoweidlem3.2 𝑖𝜑
stoweidlem3.3 𝑋 = seq1( · , 𝐹)
stoweidlem3.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem3.5 (𝜑𝐹:(1...𝑀)⟶ℝ)
stoweidlem3.6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 < (𝐹𝑖))
stoweidlem3.7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem3 (𝜑 → (𝐴𝑀) < (𝑋𝑀))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝑖,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem3
Dummy variables 𝑎 𝑚 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem3.4 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 elnnuz 12327 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
31, 2sylib 221 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
4 eluzfz2 12969 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ‘1) → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑀))
6 oveq2 7163 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝐴𝑛) = (𝐴↑1))
7 fveq2 6662 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑋𝑛) = (𝑋‘1))
86, 7breq12d 5048 . . . 4 (𝑛 = 1 → ((𝐴𝑛) < (𝑋𝑛) ↔ (𝐴↑1) < (𝑋‘1)))
98imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = 1 → ((𝜑 → (𝐴𝑛) < (𝑋𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑1) < (𝑋‘1))))
10 oveq2 7163 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑚))
11 fveq2 6662 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝑋𝑛) = (𝑋𝑚))
1210, 11breq12d 5048 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴𝑛) < (𝑋𝑛) ↔ (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)))
1312imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐴𝑛) < (𝑋𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚))))
14 oveq2 7163 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐴𝑛) = (𝐴↑(𝑚 + 1)))
15 fveq2 6662 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑋𝑛) = (𝑋‘(𝑚 + 1)))
1614, 15breq12d 5048 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐴𝑛) < (𝑋𝑛) ↔ (𝐴↑(𝑚 + 1)) < (𝑋‘(𝑚 + 1))))
1716imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐴𝑛) < (𝑋𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑(𝑚 + 1)) < (𝑋‘(𝑚 + 1)))))
18 oveq2 7163 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑀))
19 fveq2 6662 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (𝑋𝑛) = (𝑋𝑀))
2018, 19breq12d 5048 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → ((𝐴𝑛) < (𝑋𝑛) ↔ (𝐴𝑀) < (𝑋𝑀)))
2120imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐴𝑛) < (𝑋𝑛)) ↔ (𝜑 → (𝐴𝑀) < (𝑋𝑀))))
22 1zzd 12057 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
231nnzd 12130 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2422, 23, 223jca 1125 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
25 1le1 11311 . . . . . . . . 9 1 ≤ 1
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ 1)
271nnge1d 11727 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
2824, 26, 27jca32 519 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
29 elfz2 12951 . . . . . . 7 (1 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
3028, 29sylibr 237 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑀))
3130ancli 552 . . . . . 6 (𝜑 → (𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑀)))
32 stoweidlem3.2 . . . . . . . . 9 𝑖𝜑
33 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑖1 ∈ (1...𝑀)
3432, 33nfan 1900 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑀))
35 nfcv 2919 . . . . . . . . 9 𝑖𝐴
36 nfcv 2919 . . . . . . . . 9 𝑖 <
37 stoweidlem3.1 . . . . . . . . . 10 𝑖𝐹
38 nfcv 2919 . . . . . . . . . 10 𝑖1
3937, 38nffv 6672 . . . . . . . . 9 𝑖(𝐹‘1)
4035, 36, 39nfbr 5082 . . . . . . . 8 𝑖 𝐴 < (𝐹‘1)
4134, 40nfim 1897 . . . . . . 7 𝑖((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 < (𝐹‘1))
42 eleq1 2839 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ 1 ∈ (1...𝑀)))
4342anbi2d 631 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑀))))
44 fveq2 6662 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → (𝐹𝑖) = (𝐹‘1))
4544breq2d 5047 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝐴 < (𝐹𝑖) ↔ 𝐴 < (𝐹‘1)))
4643, 45imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 < (𝐹𝑖)) ↔ ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 < (𝐹‘1))))
47 stoweidlem3.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 < (𝐹𝑖))
4841, 46, 47vtoclg1f 3486 . . . . . 6 (1 ∈ (1...𝑀) → ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 < (𝐹‘1)))
4930, 31, 48sylc 65 . . . . 5 (𝜑𝐴 < (𝐹‘1))
50 stoweidlem3.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
5150rpcnd 12479 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5251exp1d 13560 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
53 stoweidlem3.3 . . . . . . . 8 𝑋 = seq1( · , 𝐹)
5453fveq1i 6663 . . . . . . 7 (𝑋‘1) = (seq1( · , 𝐹)‘1)
55 1z 12056 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
56 seq1 13436 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . 7 (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
5854, 57eqtri 2781 . . . . . 6 (𝑋‘1) = (𝐹‘1)
5958a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋‘1) = (𝐹‘1))
6049, 52, 593brtr4d 5067 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑1) < (𝑋‘1))
6160a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ‘1) → (𝜑 → (𝐴↑1) < (𝑋‘1)))
62503ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℝ+)
6362rpred 12477 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℝ)
64 elfzouz 13096 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1..^𝑀) → 𝑚 ∈ (ℤ‘1))
65 elnnuz 12327 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ‘1))
66 nnnn0 11946 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
6765, 66sylbir 238 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ‘1) → 𝑚 ∈ ℕ0)
6864, 67syl 17 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1..^𝑀) → 𝑚 ∈ ℕ0)
69683ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℕ0)
7063, 69reexpcld 13582 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐴𝑚) ∈ ℝ)
7153fveq1i 6663 . . . . . . . 8 (𝑋𝑚) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑚)
7264adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (ℤ‘1))
73 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖 𝑚 ∈ (1..^𝑀)
7473, 32nfan 1900 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑)
75 nfv 1915 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 𝑎 ∈ (1...𝑚)
7674, 75nfan 1900 . . . . . . . . . . 11 𝑖((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑚))
77 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖𝑎
7837, 77nffv 6672 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝐹𝑎)
7978nfel1 2935 . . . . . . . . . . 11 𝑖(𝐹𝑎) ∈ ℝ
8076, 79nfim 1897 . . . . . . . . . 10 𝑖(((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑚)) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
81 eleq1 2839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↔ 𝑎 ∈ (1...𝑚)))
8281anbi2d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑎 → (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) ↔ ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑚))))
83 fveq2 6662 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑎 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑎))
8483eleq1d 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑎 → ((𝐹𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑎) ∈ ℝ))
8582, 84imbi12d 348 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑎 → ((((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ) ↔ (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑚)) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)))
86 stoweidlem3.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:(1...𝑀)⟶ℝ)
8786ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝐹:(1...𝑀)⟶ℝ)
88 1zzd 12057 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 1 ∈ ℤ)
8923ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑀 ∈ ℤ)
90 elfzelz 12961 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℤ)
9190adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℤ)
9288, 89, 913jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
93 elfzle1 12964 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 1 ≤ 𝑖)
9493adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 1 ≤ 𝑖)
9590zred 12131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℝ)
9695adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℝ)
97 elfzoelz 13092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1..^𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
9897zred 12131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (1..^𝑀) → 𝑚 ∈ ℝ)
9998ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
1001nnred 11694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
101100ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑀 ∈ ℝ)
102 elfzle2 12965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖𝑚)
103102adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖𝑚)
104 elfzoel2 13091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
105104zred 12131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
106 elfzolt2 13101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1..^𝑀) → 𝑚 < 𝑀)
10798, 105, 106ltled 10831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (1..^𝑀) → 𝑚𝑀)
108107ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑚𝑀)
10996, 99, 101, 103, 108letrd 10840 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖𝑀)
11092, 94, 109jca32 519 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑖𝑖𝑀)))
111 elfz2 12951 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑖𝑖𝑀)))
112110, 111sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ (1...𝑀))
11387, 112ffvelrnd 6848 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
11480, 85, 113chvarfv 2240 . . . . . . . . 9 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑚)) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
115 remulcl 10665 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
116115adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
11772, 114, 116seqcl 13445 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℝ)
11871, 117eqeltrid 2856 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) → (𝑋𝑚) ∈ ℝ)
1191183adant2 1128 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝑋𝑚) ∈ ℝ)
120863ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → 𝐹:(1...𝑀)⟶ℝ)
121 fzofzp1 13188 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1..^𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (1...𝑀))
1221213ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝑚 + 1) ∈ (1...𝑀))
123120, 122ffvelrnd 6848 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
12450rpge0d 12481 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
1251243ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → 0 ≤ 𝐴)
12663, 69, 125expge0d 13583 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → 0 ≤ (𝐴𝑚))
127 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
128 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)))
129127, 128mpd 15 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚))
130121adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) → (𝑚 + 1) ∈ (1...𝑀))
131 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) → 𝜑)
132131, 130jca 515 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) → (𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ (1...𝑀)))
133 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 𝑖(𝑚 + 1) ∈ (1...𝑀)
13432, 133nfan 1900 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ (1...𝑀))
135 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝑚 + 1)
13637, 135nffv 6672 . . . . . . . . . . 11 𝑖(𝐹‘(𝑚 + 1))
13735, 36, 136nfbr 5082 . . . . . . . . . 10 𝑖 𝐴 < (𝐹‘(𝑚 + 1))
138134, 137nfim 1897 . . . . . . . . 9 𝑖((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 < (𝐹‘(𝑚 + 1)))
139 eleq1 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑚 + 1) ∈ (1...𝑀)))
140139anbi2d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ (1...𝑀))))
141 fveq2 6662 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
142141breq2d 5047 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝐴 < (𝐹𝑖) ↔ 𝐴 < (𝐹‘(𝑚 + 1))))
143140, 142imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 < (𝐹𝑖)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 < (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
144138, 143, 47vtoclg1f 3486 . . . . . . . 8 ((𝑚 + 1) ∈ (1...𝑀) → ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 < (𝐹‘(𝑚 + 1))))
145130, 132, 144sylc 65 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ 𝜑) → 𝐴 < (𝐹‘(𝑚 + 1)))
1461453adant2 1128 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → 𝐴 < (𝐹‘(𝑚 + 1)))
14770, 119, 63, 123, 126, 129, 125, 146ltmul12ad 11624 . . . . 5 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → ((𝐴𝑚) · 𝐴) < ((𝑋𝑚) · (𝐹‘(𝑚 + 1))))
148513ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℂ)
149148, 69expp1d 13566 . . . . 5 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐴↑(𝑚 + 1)) = ((𝐴𝑚) · 𝐴))
15053fveq1i 6663 . . . . . . 7 (𝑋‘(𝑚 + 1)) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑚 + 1))
151150a1i 11 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝑋‘(𝑚 + 1)) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))
152643ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (ℤ‘1))
153 seqp1 13438 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑚) · (𝐹‘(𝑚 + 1))))
154152, 153syl 17 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑚) · (𝐹‘(𝑚 + 1))))
15571a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝑋𝑚) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑚))
156155eqcomd 2764 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑚) = (𝑋𝑚))
157156oveq1d 7170 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑚) · (𝐹‘(𝑚 + 1))) = ((𝑋𝑚) · (𝐹‘(𝑚 + 1))))
158151, 154, 1573eqtrd 2797 . . . . 5 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝑋‘(𝑚 + 1)) = ((𝑋𝑚) · (𝐹‘(𝑚 + 1))))
159147, 149, 1583brtr4d 5067 . . . 4 ((𝑚 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) ∧ 𝜑) → (𝐴↑(𝑚 + 1)) < (𝑋‘(𝑚 + 1)))
1601593exp 1116 . . 3 (𝑚 ∈ (1..^𝑀) → ((𝜑 → (𝐴𝑚) < (𝑋𝑚)) → (𝜑 → (𝐴↑(𝑚 + 1)) < (𝑋‘(𝑚 + 1)))))
1619, 13, 17, 21, 61, 160fzind2 13209 . 2 (𝑀 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝐴𝑀) < (𝑋𝑀)))
1625, 161mpcom 38 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < (𝑋𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2899   class class class wbr 5035  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  ℝcr 10579  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   · cmul 10585   < clt 10718   ≤ cle 10719  ℕcn 11679  ℕ0cn0 11939  ℤcz 12025  ℤ≥cuz 12287  ℝ+crp 12435  ...cfz 12944  ..^cfzo 13087  seqcseq 13423  ↑cexp 13484 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-rp 12436  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-exp 13485 This theorem is referenced by:  stoweidlem42  43078
 Copyright terms: Public domain W3C validator