Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem3 45017
Description: Lemma for stoweid 45077: if 𝐴 is positive and all 𝑀 terms of a finite product are larger than 𝐴, then the finite product is larger than 𝐴↑𝑀. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem3.1 Ⅎ𝑖𝐹
stoweidlem3.2 β„²π‘–πœ‘
stoweidlem3.3 𝑋 = seq1( Β· , 𝐹)
stoweidlem3.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem3.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑀)βŸΆβ„)
stoweidlem3.6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘–))
stoweidlem3.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem3 (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑀) < (π‘‹β€˜π‘€))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝑖,𝑀
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem3
Dummy variables π‘Ž π‘š 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem3.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 elnnuz 12870 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
31, 2sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4 eluzfz2 13513 . . 3 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
6 oveq2 7419 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑1))
7 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ (π‘‹β€˜π‘›) = (π‘‹β€˜1))
86, 7breq12d 5160 . . . 4 (𝑛 = 1 β†’ ((𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›) ↔ (𝐴↑1) < (π‘‹β€˜1)))
98imbi2d 339 . . 3 (𝑛 = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›)) ↔ (πœ‘ β†’ (𝐴↑1) < (π‘‹β€˜1))))
10 oveq2 7419 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ (𝐴↑𝑛) = (π΄β†‘π‘š))
11 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘‹β€˜π‘›) = (π‘‹β€˜π‘š))
1210, 11breq12d 5160 . . . 4 (𝑛 = π‘š β†’ ((𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›) ↔ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)))
1312imbi2d 339 . . 3 (𝑛 = π‘š β†’ ((πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›)) ↔ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š))))
14 oveq2 7419 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑(π‘š + 1)))
15 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (π‘‹β€˜π‘›) = (π‘‹β€˜(π‘š + 1)))
1614, 15breq12d 5160 . . . 4 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›) ↔ (𝐴↑(π‘š + 1)) < (π‘‹β€˜(π‘š + 1))))
1716imbi2d 339 . . 3 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›)) ↔ (πœ‘ β†’ (𝐴↑(π‘š + 1)) < (π‘‹β€˜(π‘š + 1)))))
18 oveq2 7419 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 β†’ (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑀))
19 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 β†’ (π‘‹β€˜π‘›) = (π‘‹β€˜π‘€))
2018, 19breq12d 5160 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 β†’ ((𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›) ↔ (𝐴↑𝑀) < (π‘‹β€˜π‘€)))
2120imbi2d 339 . . 3 (𝑛 = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›)) ↔ (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑀) < (π‘‹β€˜π‘€))))
22 1zzd 12597 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
231nnzd 12589 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
24 1le1 11846 . . . . . . . 8 1 ≀ 1
2524a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 1)
261nnge1d 12264 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑀)
2722, 23, 22, 25, 26elfzd 13496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (1...𝑀))
2827ancli 547 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑀)))
29 stoweidlem3.2 . . . . . . . . 9 β„²π‘–πœ‘
30 nfv 1915 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖1 ∈ (1...𝑀)
3129, 30nfan 1900 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑀))
32 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖𝐴
33 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖 <
34 stoweidlem3.1 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖𝐹
35 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖1
3634, 35nffv 6900 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜1)
3732, 33, 36nfbr 5194 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖 𝐴 < (πΉβ€˜1)
3831, 37nfim 1897 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜1))
39 eleq1 2819 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ 1 ∈ (1...𝑀)))
4039anbi2d 627 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑀))))
41 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜1))
4241breq2d 5159 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 β†’ (𝐴 < (πΉβ€˜π‘–) ↔ 𝐴 < (πΉβ€˜1)))
4340, 42imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘–)) ↔ ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜1))))
44 stoweidlem3.6 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘–))
4538, 43, 44vtoclg1f 3557 . . . . . 6 (1 ∈ (1...𝑀) β†’ ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜1)))
4627, 28, 45sylc 65 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜1))
47 stoweidlem3.7 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
4847rpcnd 13022 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4948exp1d 14110 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴↑1) = 𝐴)
50 stoweidlem3.3 . . . . . . . 8 𝑋 = seq1( Β· , 𝐹)
5150fveq1i 6891 . . . . . . 7 (π‘‹β€˜1) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1)
52 1z 12596 . . . . . . . 8 1 ∈ β„€
53 seq1 13983 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„€ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) = (πΉβ€˜1))
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . 7 (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) = (πΉβ€˜1)
5551, 54eqtri 2758 . . . . . 6 (π‘‹β€˜1) = (πΉβ€˜1)
5655a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜1) = (πΉβ€˜1))
5746, 49, 563brtr4d 5179 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴↑1) < (π‘‹β€˜1))
5857a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (πœ‘ β†’ (𝐴↑1) < (π‘‹β€˜1)))
59473ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
6059rpred 13020 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
61 elfzouz 13640 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
62 elnnuz 12870 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• ↔ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
63 nnnn0 12483 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„•0)
6462, 63sylbir 234 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ π‘š ∈ β„•0)
6561, 64syl 17 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ π‘š ∈ β„•0)
66653ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ π‘š ∈ β„•0)
6760, 66reexpcld 14132 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (π΄β†‘π‘š) ∈ ℝ)
6850fveq1i 6891 . . . . . . . 8 (π‘‹β€˜π‘š) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘š)
6961adantr 479 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
70 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖 π‘š ∈ (1..^𝑀)
7170, 29nfan 1900 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖(π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘)
72 nfv 1915 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖 π‘Ž ∈ (1...π‘š)
7371, 72nfan 1900 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ π‘Ž ∈ (1...π‘š))
74 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘–π‘Ž
7534, 74nffv 6900 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜π‘Ž)
7675nfel1 2917 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ
7773, 76nfim 1897 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖(((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ π‘Ž ∈ (1...π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
78 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘Ž β†’ (𝑖 ∈ (1...π‘š) ↔ π‘Ž ∈ (1...π‘š)))
7978anbi2d 627 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘Ž β†’ (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) ↔ ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ π‘Ž ∈ (1...π‘š))))
80 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘Ž β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘Ž))
8180eleq1d 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘Ž β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ))
8279, 81imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘Ž β†’ ((((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ) ↔ (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ π‘Ž ∈ (1...π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)))
83 stoweidlem3.5 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑀)βŸΆβ„)
8483ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝐹:(1...𝑀)βŸΆβ„)
85 1zzd 12597 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 1 ∈ β„€)
8623ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
87 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...π‘š) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
8887adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
89 elfzle1 13508 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...π‘š) β†’ 1 ≀ 𝑖)
9089adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 1 ≀ 𝑖)
9187zred 12670 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...π‘š) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
9291adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
93 elfzoelz 13636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ π‘š ∈ β„€)
9493zred 12670 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ π‘š ∈ ℝ)
9594ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
961nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
9796ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
98 elfzle2 13509 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...π‘š) β†’ 𝑖 ≀ π‘š)
9998adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑖 ≀ π‘š)
100 elfzoel2 13635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
101100zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
102 elfzolt2 13645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ π‘š < 𝑀)
10394, 101, 102ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ π‘š ≀ 𝑀)
104103ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ π‘š ≀ 𝑀)
10592, 95, 97, 99, 104letrd 11375 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑖 ≀ 𝑀)
10685, 86, 88, 90, 105elfzd 13496 . . . . . . . . . . 11 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑖 ∈ (1...𝑀))
10784, 106ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . 10 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
10877, 82, 107chvarfv 2231 . . . . . . . . 9 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ π‘Ž ∈ (1...π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
109 remulcl 11197 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž Β· 𝑗) ∈ ℝ)
110109adantl 480 . . . . . . . . 9 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ (π‘Ž Β· 𝑗) ∈ ℝ)
11169, 108, 110seqcl 13992 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘š) ∈ ℝ)
11268, 111eqeltrid 2835 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘š) ∈ ℝ)
1131123adant2 1129 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘š) ∈ ℝ)
114833ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ 𝐹:(1...𝑀)βŸΆβ„)
115 fzofzp1 13733 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀))
1161153ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀))
117114, 116ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∈ ℝ)
11847rpge0d 13024 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
1191183ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ 0 ≀ 𝐴)
12060, 66, 119expge0d 14133 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ 0 ≀ (π΄β†‘π‘š))
121 simp3 1136 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ πœ‘)
122 simp2 1135 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)))
123121, 122mpd 15 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š))
124115adantr 479 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀))
125 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ πœ‘)
126125, 124jca 510 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ (πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀)))
127 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(π‘š + 1) ∈ (1...𝑀)
12829, 127nfan 1900 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀))
129 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖(π‘š + 1)
13034, 129nffv 6900 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜(π‘š + 1))
13132, 33, 130nfbr 5194 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖 𝐴 < (πΉβ€˜(π‘š + 1))
132128, 131nfim 1897 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))
133 eleq1 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀)))
134133anbi2d 627 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀))))
135 fveq2 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜(π‘š + 1)))
136135breq2d 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ (𝐴 < (πΉβ€˜π‘–) ↔ 𝐴 < (πΉβ€˜(π‘š + 1))))
137134, 136imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘–)) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))))
138132, 137, 44vtoclg1f 3557 . . . . . . . 8 ((π‘š + 1) ∈ (1...𝑀) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜(π‘š + 1))))
139124, 126, 138sylc 65 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))
1401393adant2 1129 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))
14167, 113, 60, 117, 120, 123, 119, 140ltmul12ad 12159 . . . . 5 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ ((π΄β†‘π‘š) Β· 𝐴) < ((π‘‹β€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜(π‘š + 1))))
142483ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
143142, 66expp1d 14116 . . . . 5 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (𝐴↑(π‘š + 1)) = ((π΄β†‘π‘š) Β· 𝐴))
14450fveq1i 6891 . . . . . . 7 (π‘‹β€˜(π‘š + 1)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘š + 1))
145144a1i 11 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (π‘‹β€˜(π‘š + 1)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))
146613ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
147 seqp1 13985 . . . . . . 7 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜(π‘š + 1))))
148146, 147syl 17 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜(π‘š + 1))))
14968a1i 11 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘š) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘š))
150149eqcomd 2736 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘š) = (π‘‹β€˜π‘š))
151150oveq1d 7426 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜(π‘š + 1))) = ((π‘‹β€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜(π‘š + 1))))
152145, 148, 1513eqtrd 2774 . . . . 5 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (π‘‹β€˜(π‘š + 1)) = ((π‘‹β€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜(π‘š + 1))))
153141, 143, 1523brtr4d 5179 . . . 4 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (𝐴↑(π‘š + 1)) < (π‘‹β€˜(π‘š + 1)))
1541533exp 1117 . . 3 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ ((πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) β†’ (πœ‘ β†’ (𝐴↑(π‘š + 1)) < (π‘‹β€˜(π‘š + 1)))))
1559, 13, 17, 21, 58, 154fzind2 13754 . 2 (𝑀 ∈ (1...𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑀) < (π‘‹β€˜π‘€)))
1565, 155mpcom 38 1 (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑀) < (π‘‹β€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  β„²wnf 1783   ∈ wcel 2104  β„²wnfc 2881   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  seqcseq 13970  β†‘cexp 14031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032
This theorem is referenced by:  stoweidlem42  45056
  Copyright terms: Public domain W3C validator