Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem3 45019
Description: Lemma for stoweid 45079: if 𝐴 is positive and all 𝑀 terms of a finite product are larger than 𝐴, then the finite product is larger than 𝐴↑𝑀. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem3.1 Ⅎ𝑖𝐹
stoweidlem3.2 β„²π‘–πœ‘
stoweidlem3.3 𝑋 = seq1( Β· , 𝐹)
stoweidlem3.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem3.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑀)βŸΆβ„)
stoweidlem3.6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘–))
stoweidlem3.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem3 (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑀) < (π‘‹β€˜π‘€))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝑖,𝑀
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem3
Dummy variables π‘Ž π‘š 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem3.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 elnnuz 12871 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
31, 2sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4 eluzfz2 13514 . . 3 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
6 oveq2 7420 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑1))
7 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ (π‘‹β€˜π‘›) = (π‘‹β€˜1))
86, 7breq12d 5162 . . . 4 (𝑛 = 1 β†’ ((𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›) ↔ (𝐴↑1) < (π‘‹β€˜1)))
98imbi2d 339 . . 3 (𝑛 = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›)) ↔ (πœ‘ β†’ (𝐴↑1) < (π‘‹β€˜1))))
10 oveq2 7420 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ (𝐴↑𝑛) = (π΄β†‘π‘š))
11 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘‹β€˜π‘›) = (π‘‹β€˜π‘š))
1210, 11breq12d 5162 . . . 4 (𝑛 = π‘š β†’ ((𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›) ↔ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)))
1312imbi2d 339 . . 3 (𝑛 = π‘š β†’ ((πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›)) ↔ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š))))
14 oveq2 7420 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑(π‘š + 1)))
15 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (π‘‹β€˜π‘›) = (π‘‹β€˜(π‘š + 1)))
1614, 15breq12d 5162 . . . 4 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›) ↔ (𝐴↑(π‘š + 1)) < (π‘‹β€˜(π‘š + 1))))
1716imbi2d 339 . . 3 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›)) ↔ (πœ‘ β†’ (𝐴↑(π‘š + 1)) < (π‘‹β€˜(π‘š + 1)))))
18 oveq2 7420 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 β†’ (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑀))
19 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 β†’ (π‘‹β€˜π‘›) = (π‘‹β€˜π‘€))
2018, 19breq12d 5162 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 β†’ ((𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›) ↔ (𝐴↑𝑀) < (π‘‹β€˜π‘€)))
2120imbi2d 339 . . 3 (𝑛 = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑛) < (π‘‹β€˜π‘›)) ↔ (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑀) < (π‘‹β€˜π‘€))))
22 1zzd 12598 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
231nnzd 12590 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
24 1le1 11847 . . . . . . . 8 1 ≀ 1
2524a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 1)
261nnge1d 12265 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑀)
2722, 23, 22, 25, 26elfzd 13497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (1...𝑀))
2827ancli 548 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑀)))
29 stoweidlem3.2 . . . . . . . . 9 β„²π‘–πœ‘
30 nfv 1916 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖1 ∈ (1...𝑀)
3129, 30nfan 1901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑀))
32 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖𝐴
33 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖 <
34 stoweidlem3.1 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖𝐹
35 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖1
3634, 35nffv 6902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜1)
3732, 33, 36nfbr 5196 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖 𝐴 < (πΉβ€˜1)
3831, 37nfim 1898 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜1))
39 eleq1 2820 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ 1 ∈ (1...𝑀)))
4039anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑀))))
41 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜1))
4241breq2d 5161 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 β†’ (𝐴 < (πΉβ€˜π‘–) ↔ 𝐴 < (πΉβ€˜1)))
4340, 42imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘–)) ↔ ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜1))))
44 stoweidlem3.6 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘–))
4538, 43, 44vtoclg1f 3556 . . . . . 6 (1 ∈ (1...𝑀) β†’ ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜1)))
4627, 28, 45sylc 65 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜1))
47 stoweidlem3.7 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
4847rpcnd 13023 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4948exp1d 14111 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴↑1) = 𝐴)
50 stoweidlem3.3 . . . . . . . 8 𝑋 = seq1( Β· , 𝐹)
5150fveq1i 6893 . . . . . . 7 (π‘‹β€˜1) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1)
52 1z 12597 . . . . . . . 8 1 ∈ β„€
53 seq1 13984 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„€ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) = (πΉβ€˜1))
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . 7 (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) = (πΉβ€˜1)
5551, 54eqtri 2759 . . . . . 6 (π‘‹β€˜1) = (πΉβ€˜1)
5655a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜1) = (πΉβ€˜1))
5746, 49, 563brtr4d 5181 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴↑1) < (π‘‹β€˜1))
5857a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (πœ‘ β†’ (𝐴↑1) < (π‘‹β€˜1)))
59473ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
6059rpred 13021 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
61 elfzouz 13641 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
62 elnnuz 12871 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• ↔ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
63 nnnn0 12484 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„•0)
6462, 63sylbir 234 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ π‘š ∈ β„•0)
6561, 64syl 17 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ π‘š ∈ β„•0)
66653ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ π‘š ∈ β„•0)
6760, 66reexpcld 14133 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (π΄β†‘π‘š) ∈ ℝ)
6850fveq1i 6893 . . . . . . . 8 (π‘‹β€˜π‘š) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘š)
6961adantr 480 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
70 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖 π‘š ∈ (1..^𝑀)
7170, 29nfan 1901 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖(π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘)
72 nfv 1916 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖 π‘Ž ∈ (1...π‘š)
7371, 72nfan 1901 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ π‘Ž ∈ (1...π‘š))
74 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘–π‘Ž
7534, 74nffv 6902 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜π‘Ž)
7675nfel1 2918 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ
7773, 76nfim 1898 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖(((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ π‘Ž ∈ (1...π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
78 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘Ž β†’ (𝑖 ∈ (1...π‘š) ↔ π‘Ž ∈ (1...π‘š)))
7978anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘Ž β†’ (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) ↔ ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ π‘Ž ∈ (1...π‘š))))
80 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘Ž β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘Ž))
8180eleq1d 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘Ž β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ))
8279, 81imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘Ž β†’ ((((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ) ↔ (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ π‘Ž ∈ (1...π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)))
83 stoweidlem3.5 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑀)βŸΆβ„)
8483ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝐹:(1...𝑀)βŸΆβ„)
85 1zzd 12598 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 1 ∈ β„€)
8623ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
87 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...π‘š) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
8887adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
89 elfzle1 13509 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...π‘š) β†’ 1 ≀ 𝑖)
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 1 ≀ 𝑖)
9187zred 12671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...π‘š) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
93 elfzoelz 13637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ π‘š ∈ β„€)
9493zred 12671 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ π‘š ∈ ℝ)
9594ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
961nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
9796ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
98 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...π‘š) β†’ 𝑖 ≀ π‘š)
9998adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑖 ≀ π‘š)
100 elfzoel2 13636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
101100zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
102 elfzolt2 13646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ π‘š < 𝑀)
10394, 101, 102ltled 11367 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ π‘š ≀ 𝑀)
104103ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ π‘š ≀ 𝑀)
10592, 95, 97, 99, 104letrd 11376 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑖 ≀ 𝑀)
10685, 86, 88, 90, 105elfzd 13497 . . . . . . . . . . 11 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑖 ∈ (1...𝑀))
10784, 106ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
10877, 82, 107chvarfv 2232 . . . . . . . . 9 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ π‘Ž ∈ (1...π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
109 remulcl 11198 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž Β· 𝑗) ∈ ℝ)
110109adantl 481 . . . . . . . . 9 (((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ (π‘Ž Β· 𝑗) ∈ ℝ)
11169, 108, 110seqcl 13993 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘š) ∈ ℝ)
11268, 111eqeltrid 2836 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘š) ∈ ℝ)
1131123adant2 1130 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘š) ∈ ℝ)
114833ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ 𝐹:(1...𝑀)βŸΆβ„)
115 fzofzp1 13734 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀))
1161153ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀))
117114, 116ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∈ ℝ)
11847rpge0d 13025 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
1191183ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ 0 ≀ 𝐴)
12060, 66, 119expge0d 14134 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ 0 ≀ (π΄β†‘π‘š))
121 simp3 1137 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ πœ‘)
122 simp2 1136 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)))
123121, 122mpd 15 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š))
124115adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀))
125 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ πœ‘)
126125, 124jca 511 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ (πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀)))
127 nfv 1916 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(π‘š + 1) ∈ (1...𝑀)
12829, 127nfan 1901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀))
129 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖(π‘š + 1)
13034, 129nffv 6902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜(π‘š + 1))
13132, 33, 130nfbr 5196 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖 𝐴 < (πΉβ€˜(π‘š + 1))
132128, 131nfim 1898 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))
133 eleq1 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀)))
134133anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀))))
135 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜(π‘š + 1)))
136135breq2d 5161 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ (𝐴 < (πΉβ€˜π‘–) ↔ 𝐴 < (πΉβ€˜(π‘š + 1))))
137134, 136imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘–)) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))))
138132, 137, 44vtoclg1f 3556 . . . . . . . 8 ((π‘š + 1) ∈ (1...𝑀) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜(π‘š + 1))))
139124, 126, 138sylc 65 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))
1401393adant2 1130 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 < (πΉβ€˜(π‘š + 1)))
14167, 113, 60, 117, 120, 123, 119, 140ltmul12ad 12160 . . . . 5 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ ((π΄β†‘π‘š) Β· 𝐴) < ((π‘‹β€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜(π‘š + 1))))
142483ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
143142, 66expp1d 14117 . . . . 5 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (𝐴↑(π‘š + 1)) = ((π΄β†‘π‘š) Β· 𝐴))
14450fveq1i 6893 . . . . . . 7 (π‘‹β€˜(π‘š + 1)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘š + 1))
145144a1i 11 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (π‘‹β€˜(π‘š + 1)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))
146613ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
147 seqp1 13986 . . . . . . 7 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜(π‘š + 1))))
148146, 147syl 17 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜(π‘š + 1))))
14968a1i 11 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘š) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘š))
150149eqcomd 2737 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘š) = (π‘‹β€˜π‘š))
151150oveq1d 7427 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜(π‘š + 1))) = ((π‘‹β€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜(π‘š + 1))))
152145, 148, 1513eqtrd 2775 . . . . 5 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (π‘‹β€˜(π‘š + 1)) = ((π‘‹β€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜(π‘š + 1))))
153141, 143, 1523brtr4d 5181 . . . 4 ((π‘š ∈ (1..^𝑀) ∧ (πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) ∧ πœ‘) β†’ (𝐴↑(π‘š + 1)) < (π‘‹β€˜(π‘š + 1)))
1541533exp 1118 . . 3 (π‘š ∈ (1..^𝑀) β†’ ((πœ‘ β†’ (π΄β†‘π‘š) < (π‘‹β€˜π‘š)) β†’ (πœ‘ β†’ (𝐴↑(π‘š + 1)) < (π‘‹β€˜(π‘š + 1)))))
1559, 13, 17, 21, 58, 154fzind2 13755 . 2 (𝑀 ∈ (1...𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑀) < (π‘‹β€˜π‘€)))
1565, 155mpcom 38 1 (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑀) < (π‘‹β€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  β„²wnf 1784   ∈ wcel 2105  β„²wnfc 2882   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   < clt 11253   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  stoweidlem42  45058
  Copyright terms: Public domain W3C validator