Theorem lemul2ad 12150

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul2a 12065	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13788  leexp2r  14135  fprodle  15936  efcllem  16017  2expltfac  17022  nlmvscnlem2  24193  ipcnlem2  24752  dveflem  25487  dvfsumlem2  25535  plyeq0lem  25715  radcnvlem1  25916  pserulm  25925  abelthlem7  25941  abscxpbnd  26250  lgamgulmlem3  26524  ftalem1  26566  ftalem5  26570  chpub  26712  vmadivsum  26974  dchrisum0lem1a  26978  dchrisumlem2  26982  dchrisum0re  27005  vmalogdivsum2  27030  2vmadivsumlem  27032  selbergb  27041  selberg2b  27044  chpdifbndlem1  27045  selberg3lem1  27049  selberg4lem1  27052  pntrlog2bndlem1  27069  pntrlog2bndlem2  27070  pntrlog2bndlem4  27072  pntrlog2bndlem5  27073  pntrlog2bndlem6  27075  ostth2lem2  27126  axpaschlem  28187  wrdt2ind  32104  nexple  32995  hgt750lem  33651  hgt750lemb  33656  resconn  34225  gg-dvfsumlem2  35171  knoppcnlem4  35360  unbdqndv2lem2  35374  knoppndvlem11  35386  knoppndvlem14  35389  knoppndvlem18  35393  knoppndvlem19  35394  iblmulc2nc  36541  aks4d1p1p2  40923  aks4d1p1p7  40927  sqrlearg  44252  fmul01  44282  fmul01lt1lem1  44286  sumnnodd  44332  ioodvbdlimc1lem2  44634  ioodvbdlimc2lem  44636  stoweidlem1  44703  wallispi  44772  wallispi2lem1  44773  wallispi2  44775  stirlinglem12  44787  fourierdlem30  44839  fourierdlem39  44848  fourierdlem47  44855  fourierdlem68  44876  fourierdlem73  44881  fourierdlem87  44895  fouriersw  44933  etransclem23  44959  hoidmvlelem1  45297  hoidmvlelem2  45298  hoidmvlelem4  45300