Theorem lemul2ad 12069

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul2a 11983	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013   · cmul 11018   ≤ cle 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13733  leexp2r  14083  fprodle  15905  efcllem  15986  2expltfac  17006  nlmvscnlem2  24601  ipcnlem2  25172  dveflem  25911  dvfsumlem2  25961  dvfsumlem2OLD  25962  plyeq0lem  26143  radcnvlem1  26350  pserulm  26359  abelthlem7  26376  abscxpbnd  26691  lgamgulmlem3  26969  ftalem1  27011  ftalem5  27015  chpub  27159  vmadivsum  27421  dchrisum0lem1a  27425  dchrisumlem2  27429  dchrisum0re  27452  vmalogdivsum2  27477  2vmadivsumlem  27479  selbergb  27488  selberg2b  27491  chpdifbndlem1  27492  selberg3lem1  27496  selberg4lem1  27499  pntrlog2bndlem1  27516  pntrlog2bndlem2  27517  pntrlog2bndlem4  27519  pntrlog2bndlem5  27520  pntrlog2bndlem6  27522  ostth2lem2  27573  axpaschlem  28920  nexple  32832  oexpled  32835  wrdt2ind  32941  hgt750lem  34685  hgt750lemb  34690  resconn  35311  knoppcnlem4  36561  unbdqndv2lem2  36575  knoppndvlem11  36587  knoppndvlem14  36590  knoppndvlem18  36594  knoppndvlem19  36595  iblmulc2nc  37745  aks4d1p1p2  42183  aks4d1p1p7  42187  aks6d1c7lem1  42293  sqrlearg  45677  fmul01  45704  fmul01lt1lem1  45708  sumnnodd  45754  ioodvbdlimc1lem2  46054  ioodvbdlimc2lem  46056  stoweidlem1  46123  wallispi  46192  wallispi2lem1  46193  wallispi2  46195  stirlinglem12  46207  fourierdlem30  46259  fourierdlem39  46268  fourierdlem47  46275  fourierdlem68  46296  fourierdlem73  46301  fourierdlem87  46315  fouriersw  46353  etransclem23  46379  hoidmvlelem1  46717  hoidmvlelem2  46718  hoidmvlelem4  46720