Theorem lemul2ad 12094

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 516	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul2a 12008	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1381	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036   · cmul 11041   ≤ cle 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13784  leexp2r  14134  fprodle  15959  efcllem  16040  2expltfac  17061  nlmvscnlem2  24675  ipcnlem2  25236  dveflem  25971  dvfsumlem2  26019  plyeq0lem  26200  radcnvlem1  26403  pserulm  26412  abelthlem7  26428  abscxpbnd  26742  lgamgulmlem3  27019  ftalem1  27061  ftalem5  27065  chpub  27208  vmadivsum  27470  dchrisum0lem1a  27474  dchrisumlem2  27478  dchrisum0re  27501  vmalogdivsum2  27526  2vmadivsumlem  27528  selbergb  27537  selberg2b  27540  chpdifbndlem1  27541  selberg3lem1  27545  selberg4lem1  27548  pntrlog2bndlem1  27565  pntrlog2bndlem2  27566  pntrlog2bndlem4  27568  pntrlog2bndlem5  27569  pntrlog2bndlem6  27571  ostth2lem2  27622  axpaschlem  29034  nexple  32943  oexpled  32946  wrdt2ind  33039  hgt750lem  34842  hgt750lemb  34847  resconn  35481  knoppcnlem4  36809  unbdqndv2lem2  36823  knoppndvlem11  36835  knoppndvlem14  36838  knoppndvlem18  36842  knoppndvlem19  36843  iblmulc2nc  38059  aks4d1p1p2  42562  aks4d1p1p7  42566  aks6d1c7lem1  42672  sqrlearg  46005  fmul01  46032  fmul01lt1lem1  46036  sumnnodd  46082  ioodvbdlimc1lem2  46382  ioodvbdlimc2lem  46384  stoweidlem1  46451  wallispi  46520  wallispi2lem1  46521  wallispi2  46523  stirlinglem12  46535  fourierdlem30  46587  fourierdlem39  46596  fourierdlem47  46603  fourierdlem68  46624  fourierdlem73  46629  fourierdlem87  46643  fouriersw  46681  etransclem23  46707  hoidmvlelem1  47045  hoidmvlelem2  47046  hoidmvlelem4  47048