Theorem lemul2ad 12173

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul2a 12088	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1400	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118   · cmul 11123   ≤ cle 11262

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462

This theorem is used by:  flmulnn0  13880  leexp2r  14230  fprodle  16076  efcllem  16156  2expltfac  17177  nlmvscnlem2  24879  ipcnlem2  25440  dveflem  26175  dvfsumlem2  26223  plyeq0lem  26404  radcnvlem1  26613  pserulm  26622  abelthlem7  26638  abscxpbnd  26955  lgamgulmlem3  27232  ftalem1  27274  ftalem5  27278  chpub  27421  vmadivsum  27683  dchrisum0lem1a  27687  dchrisumlem2  27691  dchrisum0re  27714  vmalogdivsum2  27739  2vmadivsumlem  27741  selbergb  27750  selberg2b  27753  chpdifbndlem1  27754  selberg3lem1  27758  selberg4lem1  27761  pntrlog2bndlem1  27778  pntrlog2bndlem2  27779  pntrlog2bndlem4  27781  pntrlog2bndlem5  27782  pntrlog2bndlem6  27784  ostth2lem2  27835  axpaschlem  29327  nexple  33214  oexpled  33217  wrdt2ind  33306  hgt750lem  35070  hgt750lemb  35075  resconn  35759  knoppcnlem4  37126  unbdqndv2lem2  37140  knoppndvlem11  37152  knoppndvlem14  37155  knoppndvlem18  37159  knoppndvlem19  37160  iblmulc2nc  38377  aks4d1p1p2  42878  aks4d1p1p7  42882  aks6d1c7lem1  42988  sqrlearg  46310  fmul01  46337  fmul01lt1lem1  46341  sumnnodd  46387  ioodvbdlimc1lem2  46687  ioodvbdlimc2lem  46689  stoweidlem1  46756  wallispi  46825  wallispi2lem1  46826  wallispi2  46828  stirlinglem12  46840  fourierdlem30  46892  fourierdlem39  46901  fourierdlem47  46908  fourierdlem68  46929  fourierdlem73  46934  fourierdlem87  46948  fouriersw  46986  etransclem23  47012  hoidmvlelem1  47350  hoidmvlelem2  47351  hoidmvlelem4  47353