Theorem lemul2ad 12284

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul2a 12199	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227   · cmul 11232   ≤ cle 11371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571

This theorem is used by:  flmulnn0  13994  leexp2r  14344  fprodle  16192  efcllem  16272  2expltfac  17299  nlmvscnlem2  25034  ipcnlem2  25595  dveflem  26329  dvfsumlem2  26377  plyeq0lem  26559  radcnvlem1  26770  pserulm  26779  abelthlem7  26795  abscxpbnd  27111  lgamgulmlem3  27388  ftalem1  27430  ftalem5  27434  chpub  27577  vmadivsum  27839  dchrisum0lem1a  27843  dchrisumlem2  27847  dchrisum0re  27870  vmalogdivsum2  27895  2vmadivsumlem  27897  selbergb  27906  selberg2b  27909  chpdifbndlem1  27910  selberg3lem1  27914  selberg4lem1  27917  pntrlog2bndlem1  27934  pntrlog2bndlem2  27935  pntrlog2bndlem4  27937  pntrlog2bndlem5  27938  pntrlog2bndlem6  27940  ostth2lem2  27991  axpaschlem  29548  nexple  33494  oexpled  33497  wrdt2ind  33586  hgt750lem  35350  hgt750lemb  35355  resconn  36178  knoppcnlem4  37540  unbdqndv2lem2  37554  knoppndvlem11  37566  knoppndvlem14  37569  knoppndvlem18  37573  knoppndvlem19  37574  iblmulc2nc  38795  aks4d1p1p2  43312  aks4d1p1p7  43316  aks6d1c7lem1  43422  sqrlearg  46770  fmul01  46797  fmul01lt1lem1  46801  sumnnodd  46847  ioodvbdlimc1lem2  47147  ioodvbdlimc2lem  47149  stoweidlem1  47216  wallispi  47285  wallispi2lem1  47286  wallispi2  47288  stirlinglem12  47300  fourierdlem30  47352  fourierdlem39  47361  fourierdlem47  47368  fourierdlem68  47389  fourierdlem73  47394  fourierdlem87  47408  fouriersw  47446  etransclem23  47472  hoidmvlelem1  47810  hoidmvlelem2  47811  hoidmvlelem4  47813