Theorem lemul2ad 12183

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul2a 12098	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1400	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128   · cmul 11133   ≤ cle 11272

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472

This theorem is used by:  flmulnn0  13892  leexp2r  14242  fprodle  16089  efcllem  16169  2expltfac  17190  nlmvscnlem2  24917  ipcnlem2  25478  dveflem  26213  dvfsumlem2  26261  plyeq0lem  26443  radcnvlem1  26656  pserulm  26665  abelthlem7  26681  abscxpbnd  26998  lgamgulmlem3  27275  ftalem1  27317  ftalem5  27321  chpub  27464  vmadivsum  27726  dchrisum0lem1a  27730  dchrisumlem2  27734  dchrisum0re  27757  vmalogdivsum2  27782  2vmadivsumlem  27784  selbergb  27793  selberg2b  27796  chpdifbndlem1  27797  selberg3lem1  27801  selberg4lem1  27804  pntrlog2bndlem1  27821  pntrlog2bndlem2  27822  pntrlog2bndlem4  27824  pntrlog2bndlem5  27825  pntrlog2bndlem6  27827  ostth2lem2  27878  axpaschlem  29405  nexple  33311  oexpled  33314  wrdt2ind  33403  hgt750lem  35167  hgt750lemb  35172  resconn  35833  knoppcnlem4  37201  unbdqndv2lem2  37215  knoppndvlem11  37227  knoppndvlem14  37230  knoppndvlem18  37234  knoppndvlem19  37235  iblmulc2nc  38442  aks4d1p1p2  42944  aks4d1p1p7  42948  aks6d1c7lem1  43054  sqrlearg  46391  fmul01  46418  fmul01lt1lem1  46422  sumnnodd  46468  ioodvbdlimc1lem2  46768  ioodvbdlimc2lem  46770  stoweidlem1  46837  wallispi  46906  wallispi2lem1  46907  wallispi2  46909  stirlinglem12  46921  fourierdlem30  46973  fourierdlem39  46982  fourierdlem47  46989  fourierdlem68  47010  fourierdlem73  47015  fourierdlem87  47029  fouriersw  47067  etransclem23  47093  hoidmvlelem1  47431  hoidmvlelem2  47432  hoidmvlelem4  47434