Theorem lemul2ad 11772

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 515	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul2a 11687	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  0cc0 10729   · cmul 10734   ≤ cle 10868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13402  leexp2r  13744  fprodle  15558  efcllem  15639  2expltfac  16646  nlmvscnlem2  23583  ipcnlem2  24141  dveflem  24876  dvfsumlem2  24924  plyeq0lem  25104  radcnvlem1  25305  pserulm  25314  abelthlem7  25330  abscxpbnd  25639  lgamgulmlem3  25913  ftalem1  25955  ftalem5  25959  chpub  26101  vmadivsum  26363  dchrisum0lem1a  26367  dchrisumlem2  26371  dchrisum0re  26394  vmalogdivsum2  26419  2vmadivsumlem  26421  selbergb  26430  selberg2b  26433  chpdifbndlem1  26434  selberg3lem1  26438  selberg4lem1  26441  pntrlog2bndlem1  26458  pntrlog2bndlem2  26459  pntrlog2bndlem4  26461  pntrlog2bndlem5  26462  pntrlog2bndlem6  26464  ostth2lem2  26515  axpaschlem  27031  wrdt2ind  30945  nexple  31689  hgt750lem  32343  hgt750lemb  32348  resconn  32921  knoppcnlem4  34413  unbdqndv2lem2  34427  knoppndvlem11  34439  knoppndvlem14  34442  knoppndvlem18  34446  knoppndvlem19  34447  iblmulc2nc  35579  aks4d1p1p2  39811  aks4d1p1p7  39815  sqrlearg  42766  fmul01  42796  fmul01lt1lem1  42800  sumnnodd  42846  ioodvbdlimc1lem2  43148  ioodvbdlimc2lem  43150  stoweidlem1  43217  wallispi  43286  wallispi2lem1  43287  wallispi2  43289  stirlinglem12  43301  fourierdlem30  43353  fourierdlem39  43362  fourierdlem47  43369  fourierdlem68  43390  fourierdlem73  43395  fourierdlem87  43409  fouriersw  43447  etransclem23  43473  hoidmvlelem1  43808  hoidmvlelem2  43809  hoidmvlelem4  43811