Theorem lemul2ad 12086

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul2a 12000	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030   · cmul 11035   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13751  leexp2r  14101  fprodle  15923  efcllem  16004  2expltfac  17024  nlmvscnlem2  24633  ipcnlem2  25204  dveflem  25943  dvfsumlem2  25993  dvfsumlem2OLD  25994  plyeq0lem  26175  radcnvlem1  26382  pserulm  26391  abelthlem7  26408  abscxpbnd  26723  lgamgulmlem3  27001  ftalem1  27043  ftalem5  27047  chpub  27191  vmadivsum  27453  dchrisum0lem1a  27457  dchrisumlem2  27461  dchrisum0re  27484  vmalogdivsum2  27509  2vmadivsumlem  27511  selbergb  27520  selberg2b  27523  chpdifbndlem1  27524  selberg3lem1  27528  selberg4lem1  27531  pntrlog2bndlem1  27548  pntrlog2bndlem2  27549  pntrlog2bndlem4  27551  pntrlog2bndlem5  27552  pntrlog2bndlem6  27554  ostth2lem2  27605  axpaschlem  28996  nexple  32906  oexpled  32909  wrdt2ind  33016  hgt750lem  34789  hgt750lemb  34794  resconn  35421  knoppcnlem4  36671  unbdqndv2lem2  36685  knoppndvlem11  36697  knoppndvlem14  36700  knoppndvlem18  36704  knoppndvlem19  36705  iblmulc2nc  37857  aks4d1p1p2  42361  aks4d1p1p7  42365  aks6d1c7lem1  42471  sqrlearg  45835  fmul01  45862  fmul01lt1lem1  45866  sumnnodd  45912  ioodvbdlimc1lem2  46212  ioodvbdlimc2lem  46214  stoweidlem1  46281  wallispi  46350  wallispi2lem1  46351  wallispi2  46353  stirlinglem12  46365  fourierdlem30  46417  fourierdlem39  46426  fourierdlem47  46433  fourierdlem68  46454  fourierdlem73  46459  fourierdlem87  46473  fouriersw  46511  etransclem23  46537  hoidmvlelem1  46875  hoidmvlelem2  46876  hoidmvlelem4  46878