Theorem lemul2ad 12146

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul2a 12061	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1396	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088   · cmul 11093   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13851  leexp2r  14201  fprodle  16040  efcllem  16121  2expltfac  17142  nlmvscnlem2  24803  ipcnlem2  25364  dveflem  26099  dvfsumlem2  26147  plyeq0lem  26328  radcnvlem1  26534  pserulm  26543  abelthlem7  26559  abscxpbnd  26876  lgamgulmlem3  27153  ftalem1  27195  ftalem5  27199  chpub  27342  vmadivsum  27604  dchrisum0lem1a  27608  dchrisumlem2  27612  dchrisum0re  27635  vmalogdivsum2  27660  2vmadivsumlem  27662  selbergb  27671  selberg2b  27674  chpdifbndlem1  27675  selberg3lem1  27679  selberg4lem1  27682  pntrlog2bndlem1  27699  pntrlog2bndlem2  27700  pntrlog2bndlem4  27702  pntrlog2bndlem5  27703  pntrlog2bndlem6  27705  ostth2lem2  27756  axpaschlem  29199  nexple  33090  oexpled  33093  wrdt2ind  33186  hgt750lem  34955  hgt750lemb  34960  resconn  35609  knoppcnlem4  36947  unbdqndv2lem2  36961  knoppndvlem11  36973  knoppndvlem14  36976  knoppndvlem18  36980  knoppndvlem19  36981  iblmulc2nc  38196  aks4d1p1p2  42699  aks4d1p1p7  42703  aks6d1c7lem1  42809  sqrlearg  46127  fmul01  46154  fmul01lt1lem1  46158  sumnnodd  46204  ioodvbdlimc1lem2  46504  ioodvbdlimc2lem  46506  stoweidlem1  46573  wallispi  46642  wallispi2lem1  46643  wallispi2  46645  stirlinglem12  46657  fourierdlem30  46709  fourierdlem39  46718  fourierdlem47  46725  fourierdlem68  46746  fourierdlem73  46751  fourierdlem87  46765  fouriersw  46803  etransclem23  46829  hoidmvlelem1  47167  hoidmvlelem2  47168  hoidmvlelem4  47170