Theorem lemul2ad 12260

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul2a 12175	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1400	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203   · cmul 11208   ≤ cle 11347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547

This theorem is used by:  flmulnn0  13970  leexp2r  14320  fprodle  16168  efcllem  16248  2expltfac  17275  nlmvscnlem2  25009  ipcnlem2  25570  dveflem  26304  dvfsumlem2  26352  plyeq0lem  26534  radcnvlem1  26745  pserulm  26754  abelthlem7  26770  abscxpbnd  27086  lgamgulmlem3  27363  ftalem1  27405  ftalem5  27409  chpub  27552  vmadivsum  27814  dchrisum0lem1a  27818  dchrisumlem2  27822  dchrisum0re  27845  vmalogdivsum2  27870  2vmadivsumlem  27872  selbergb  27881  selberg2b  27884  chpdifbndlem1  27885  selberg3lem1  27889  selberg4lem1  27892  pntrlog2bndlem1  27909  pntrlog2bndlem2  27910  pntrlog2bndlem4  27912  pntrlog2bndlem5  27913  pntrlog2bndlem6  27915  ostth2lem2  27966  axpaschlem  29523  nexple  33470  oexpled  33473  wrdt2ind  33562  hgt750lem  35326  hgt750lemb  35331  resconn  36097  knoppcnlem4  37454  unbdqndv2lem2  37468  knoppndvlem11  37480  knoppndvlem14  37483  knoppndvlem18  37487  knoppndvlem19  37488  iblmulc2nc  38696  aks4d1p1p2  43213  aks4d1p1p7  43217  aks6d1c7lem1  43323  sqrlearg  46658  fmul01  46685  fmul01lt1lem1  46689  sumnnodd  46735  ioodvbdlimc1lem2  47035  ioodvbdlimc2lem  47037  stoweidlem1  47104  wallispi  47173  wallispi2lem1  47174  wallispi2  47176  stirlinglem12  47188  fourierdlem30  47240  fourierdlem39  47249  fourierdlem47  47256  fourierdlem68  47277  fourierdlem73  47282  fourierdlem87  47296  fouriersw  47334  etransclem23  47360  hoidmvlelem1  47698  hoidmvlelem2  47699  hoidmvlelem4  47701