Theorem lemul2ad 12161

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul2a 12076	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111   ≤ cle 11250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450

This theorem is used by:  flmulnn0  13867  leexp2r  14217  fprodle  16057  efcllem  16137  2expltfac  17158  nlmvscnlem2  24853  ipcnlem2  25414  dveflem  26149  dvfsumlem2  26197  plyeq0lem  26378  radcnvlem1  26587  pserulm  26596  abelthlem7  26612  abscxpbnd  26929  lgamgulmlem3  27206  ftalem1  27248  ftalem5  27252  chpub  27395  vmadivsum  27657  dchrisum0lem1a  27661  dchrisumlem2  27665  dchrisum0re  27688  vmalogdivsum2  27713  2vmadivsumlem  27715  selbergb  27724  selberg2b  27727  chpdifbndlem1  27728  selberg3lem1  27732  selberg4lem1  27735  pntrlog2bndlem1  27752  pntrlog2bndlem2  27753  pntrlog2bndlem4  27755  pntrlog2bndlem5  27756  pntrlog2bndlem6  27758  ostth2lem2  27809  axpaschlem  29301  nexple  33188  oexpled  33191  wrdt2ind  33282  hgt750lem  35047  hgt750lemb  35052  resconn  35746  knoppcnlem4  37113  unbdqndv2lem2  37127  knoppndvlem11  37139  knoppndvlem14  37142  knoppndvlem18  37146  knoppndvlem19  37147  iblmulc2nc  38364  aks4d1p1p2  42865  aks4d1p1p7  42869  aks6d1c7lem1  42975  sqrlearg  46297  fmul01  46324  fmul01lt1lem1  46328  sumnnodd  46374  ioodvbdlimc1lem2  46674  ioodvbdlimc2lem  46676  stoweidlem1  46743  wallispi  46812  wallispi2lem1  46813  wallispi2  46815  stirlinglem12  46827  fourierdlem30  46879  fourierdlem39  46888  fourierdlem47  46895  fourierdlem68  46916  fourierdlem73  46921  fourierdlem87  46935  fouriersw  46973  etransclem23  46999  hoidmvlelem1  47337  hoidmvlelem2  47338  hoidmvlelem4  47340