Theorem lemul2ad 12094

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul2a 12008	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13759  leexp2r  14109  fprodle  15931  efcllem  16012  2expltfac  17032  nlmvscnlem2  24641  ipcnlem2  25212  dveflem  25951  dvfsumlem2  26001  dvfsumlem2OLD  26002  plyeq0lem  26183  radcnvlem1  26390  pserulm  26399  abelthlem7  26416  abscxpbnd  26731  lgamgulmlem3  27009  ftalem1  27051  ftalem5  27055  chpub  27199  vmadivsum  27461  dchrisum0lem1a  27465  dchrisumlem2  27469  dchrisum0re  27492  vmalogdivsum2  27517  2vmadivsumlem  27519  selbergb  27528  selberg2b  27531  chpdifbndlem1  27532  selberg3lem1  27536  selberg4lem1  27539  pntrlog2bndlem1  27556  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem5  27560  pntrlog2bndlem6  27562  ostth2lem2  27613  axpaschlem  29025  nexple  32935  oexpled  32938  wrdt2ind  33045  hgt750lem  34828  hgt750lemb  34833  resconn  35459  knoppcnlem4  36715  unbdqndv2lem2  36729  knoppndvlem11  36741  knoppndvlem14  36744  knoppndvlem18  36748  knoppndvlem19  36749  iblmulc2nc  37930  aks4d1p1p2  42434  aks4d1p1p7  42438  aks6d1c7lem1  42544  sqrlearg  45907  fmul01  45934  fmul01lt1lem1  45938  sumnnodd  45984  ioodvbdlimc1lem2  46284  ioodvbdlimc2lem  46286  stoweidlem1  46353  wallispi  46422  wallispi2lem1  46423  wallispi2  46425  stirlinglem12  46437  fourierdlem30  46489  fourierdlem39  46498  fourierdlem47  46505  fourierdlem68  46526  fourierdlem73  46531  fourierdlem87  46545  fouriersw  46583  etransclem23  46609  hoidmvlelem1  46947  hoidmvlelem2  46948  hoidmvlelem4  46950