MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul2ad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul2ad 12096
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltp1d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
divgt0d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
lemul1ad.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
lemul1ad.4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
lemul1ad.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
Assertion
Ref Expression
lemul2ad (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต))

Proof of Theorem lemul2ad
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 divgt0d.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 lemul1ad.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
4 lemul1ad.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
53, 4jca 513 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ))
6 lemul1ad.5 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
7 lemul2a 12011 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต))
81, 2, 5, 6, 7syl31anc 1374 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„cr 11051  0cc0 11052   ยท cmul 11057   โ‰ค cle 11191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389
This theorem is referenced by:  flmulnn0  13733  leexp2r  14080  fprodle  15880  efcllem  15961  2expltfac  16966  nlmvscnlem2  24052  ipcnlem2  24611  dveflem  25346  dvfsumlem2  25394  plyeq0lem  25574  radcnvlem1  25775  pserulm  25784  abelthlem7  25800  abscxpbnd  26109  lgamgulmlem3  26383  ftalem1  26425  ftalem5  26429  chpub  26571  vmadivsum  26833  dchrisum0lem1a  26837  dchrisumlem2  26841  dchrisum0re  26864  vmalogdivsum2  26889  2vmadivsumlem  26891  selbergb  26900  selberg2b  26903  chpdifbndlem1  26904  selberg3lem1  26908  selberg4lem1  26911  pntrlog2bndlem1  26928  pntrlog2bndlem2  26929  pntrlog2bndlem4  26931  pntrlog2bndlem5  26932  pntrlog2bndlem6  26934  ostth2lem2  26985  axpaschlem  27892  wrdt2ind  31810  nexple  32611  hgt750lem  33267  hgt750lemb  33272  resconn  33843  knoppcnlem4  34962  unbdqndv2lem2  34976  knoppndvlem11  34988  knoppndvlem14  34991  knoppndvlem18  34995  knoppndvlem19  34996  iblmulc2nc  36146  aks4d1p1p2  40530  aks4d1p1p7  40534  sqrlearg  43798  fmul01  43828  fmul01lt1lem1  43832  sumnnodd  43878  ioodvbdlimc1lem2  44180  ioodvbdlimc2lem  44182  stoweidlem1  44249  wallispi  44318  wallispi2lem1  44319  wallispi2  44321  stirlinglem12  44333  fourierdlem30  44385  fourierdlem39  44394  fourierdlem47  44401  fourierdlem68  44422  fourierdlem73  44427  fourierdlem87  44441  fouriersw  44479  etransclem23  44505  hoidmvlelem1  44843  hoidmvlelem2  44844  hoidmvlelem4  44846
  Copyright terms: Public domain W3C validator