Theorem lemul2ad 11434

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul2a 11349	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1366	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2083   class class class wbr 4968  (class class class)co 7023  ℝcr 10389  0cc0 10390   · cmul 10395   ≤ cle 10529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13051  leexp2r  13392  fprodle  15187  efcllem  15268  2expltfac  16259  nlmvscnlem2  22981  ipcnlem2  23534  dveflem  24263  dvfsumlem2  24311  plyeq0lem  24487  radcnvlem1  24688  pserulm  24697  abelthlem7  24713  abscxpbnd  25019  lgamgulmlem3  25294  ftalem1  25336  ftalem5  25340  chpub  25482  vmadivsum  25744  dchrisum0lem1a  25748  dchrisumlem2  25752  dchrisum0re  25775  vmalogdivsum2  25800  2vmadivsumlem  25802  selbergb  25811  selberg2b  25814  chpdifbndlem1  25815  selberg3lem1  25819  selberg4lem1  25822  pntrlog2bndlem1  25839  pntrlog2bndlem2  25840  pntrlog2bndlem4  25842  pntrlog2bndlem5  25843  pntrlog2bndlem6  25845  ostth2lem2  25896  axpaschlem  26413  wrdt2ind  30302  nexple  30881  hgt750lem  31535  hgt750lemb  31540  resconn  32103  knoppcnlem4  33446  unbdqndv2lem2  33460  knoppndvlem11  33472  knoppndvlem14  33475  knoppndvlem18  33479  knoppndvlem19  33480  iblmulc2nc  34509  sqrlearg  41392  fmul01  41424  fmul01lt1lem1  41428  sumnnodd  41474  ioodvbdlimc1lem2  41780  ioodvbdlimc2lem  41782  stoweidlem1  41850  wallispi  41919  wallispi2lem1  41920  wallispi2  41922  stirlinglem12  41934  fourierdlem30  41986  fourierdlem39  41995  fourierdlem47  42002  fourierdlem68  42023  fourierdlem73  42028  fourierdlem87  42042  fouriersw  42080  etransclem23  42106  hoidmvlelem1  42441  hoidmvlelem2  42442  hoidmvlelem4  42444