Theorem lemul2ad 11572

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 514	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul2a 11487	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  0cc0 10529   · cmul 10534   ≤ cle 10668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13189  leexp2r  13530  fprodle  15342  efcllem  15423  2expltfac  16418  nlmvscnlem2  23286  ipcnlem2  23839  dveflem  24568  dvfsumlem2  24616  plyeq0lem  24792  radcnvlem1  24993  pserulm  25002  abelthlem7  25018  abscxpbnd  25326  lgamgulmlem3  25600  ftalem1  25642  ftalem5  25646  chpub  25788  vmadivsum  26050  dchrisum0lem1a  26054  dchrisumlem2  26058  dchrisum0re  26081  vmalogdivsum2  26106  2vmadivsumlem  26108  selbergb  26117  selberg2b  26120  chpdifbndlem1  26121  selberg3lem1  26125  selberg4lem1  26128  pntrlog2bndlem1  26145  pntrlog2bndlem2  26146  pntrlog2bndlem4  26148  pntrlog2bndlem5  26149  pntrlog2bndlem6  26151  ostth2lem2  26202  axpaschlem  26718  wrdt2ind  30620  nexple  31261  hgt750lem  31915  hgt750lemb  31920  resconn  32486  knoppcnlem4  33828  unbdqndv2lem2  33842  knoppndvlem11  33854  knoppndvlem14  33857  knoppndvlem18  33861  knoppndvlem19  33862  iblmulc2nc  34949  sqrlearg  41818  fmul01  41850  fmul01lt1lem1  41854  sumnnodd  41900  ioodvbdlimc1lem2  42206  ioodvbdlimc2lem  42208  stoweidlem1  42276  wallispi  42345  wallispi2lem1  42346  wallispi2  42348  stirlinglem12  42360  fourierdlem30  42412  fourierdlem39  42421  fourierdlem47  42428  fourierdlem68  42449  fourierdlem73  42454  fourierdlem87  42468  fouriersw  42506  etransclem23  42532  hoidmvlelem1  42867  hoidmvlelem2  42868  hoidmvlelem4  42870