knoppndvlem18 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem18 36552

Description: Lemma for knoppndv 36557. (Contributed by Asger C. Ipsen, 14-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem18.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem18.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem18.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem18.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem18.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem18.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem18	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑗 𝐷,𝑗 𝑗,𝐸 𝑗,𝐺 𝑗,𝑁 𝜑,𝑗

**Proof of Theorem knoppndvlem18**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		knoppndvlem18.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnred 12260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5	2, 4	remulcld 11270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
8		2pos 12348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
10	3	nngt0d 12294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
11	2, 4, 9, 10	mulgt0d 11395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
12	11	gt0ne0d 11806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ≠ 0)
14		nnz 12614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
16	7, 13, 15	expnegd 14176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
17	16	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
18		2rp 13018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
20		knoppndvlem18.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
21	19, 20	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐷 ∈ ℝ⁺))
22		rpmulcl 13037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐷 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
25	5, 11	elrpd 13053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
27	26, 15	rpexpcld 14270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ⁺)
28	27	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ⁺)
29	24	rprecred 13067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
30		knoppndvlem18.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
31	30	knoppndvlem3 36537	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
32	31	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
33	32	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	abscld 15460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
35	5, 34	remulcld 11270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
37		nnnn0 12513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ₀)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
39	36, 38	reexpcld 14186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
40	39	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
41	28	rpred 13056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
42		knoppndvlem18.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
43	42	rpred 13056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
44		knoppndvlem18.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
45	44	rpred 13056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
46	44	rpne0d 13061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0)
47	43, 45, 46	redivcld 12074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
48	23	rprecred 13067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
49	47, 48	ifcld 4552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
51	48, 47	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ))
52		max1 13206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
55		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
56	29, 50, 40, 54, 55	lelttrd 11398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
57	34	recnd 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
59	7, 58, 38	mulexpd 14184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) = (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)))
60	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
61	60, 38	reexpcld 14186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ∈ ℝ)
62		1red 11241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
63	27	rpred 13056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
64	27	rpge0d 13060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
65	33	absge0d 15468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
66		1red 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
67	31	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
68	34, 66, 67	ltled 11388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≤ 1)
69	34, 65, 68	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
71	70, 38	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀))
72		exple1 14200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
74	61, 62, 63, 64, 73	lemul2ad 12187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1))
75	63	recnd 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℂ)
76	75	mulridd 11257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1) = ((2 · 𝑁)↑𝑗))
77	74, 76	breqtrd 5150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
78	59, 77	eqbrtrd 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
79	78	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
80	29, 40, 41, 56, 79	ltletrd 11400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < ((2 · 𝑁)↑𝑗))
81	24, 28, 80	ltrec1d 13076	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)) < (2 · 𝐷))
82	17, 81	eqbrtrd 5146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷))
83		nnnegz 12596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → -𝑗 ∈ ℤ)
84	83	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → -𝑗 ∈ ℤ)
85	6, 13, 84	reexpclzd 14272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) ∈ ℝ)
86	20	rpred 13056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
87	86	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
88	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ⁺)
89	85, 87, 88	ltdivmuld 13107	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
90	89	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
91	82, 90	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷)
92	47	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
93		max2 13208	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
94	51, 93	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
95	94	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
96	50, 40, 55	ltled 11388	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
97	92, 50, 40, 95, 96	letrd 11397	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
98	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ∈ ℝ)
99	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
100	98, 40, 99	ledivmul2d 13110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ↔ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
101	97, 100	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))
102	91, 101	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
103		1t1e1 12407	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
104	103	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 · 1)
105	104	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 · 1))
106	4, 34	remulcld 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
107		0le1 11765	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
108	107	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
109		1lt2 12416	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
111		knoppndvlem18.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
112	66, 2, 66, 106, 108, 110, 108, 111	ltmul12ad 12188	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
113	105, 112	eqbrtrd 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
114	2	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
115	4	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
116	114, 115, 57	mulassd 11263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
117	116	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
118	113, 117	breqtrd 5150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
119	49, 35, 118	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
120		expnbnd 14255	. . . 4 ⊢ ((if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
121	119, 120	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
122	102, 121	reximddv 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
123		nnssnn0 12509	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ₀
124		ssrexv 4033	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ₀ → (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))))
125	123, 124	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
126	122, 125	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2933 ∃wrex 3061 ⊆ wss 3931 ifcif 4505 class class class wbr 5124 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℂcc 11132 ℝcr 11133 0cc0 11134 1c1 11135 · cmul 11139 < clt 11274 ≤ cle 11275 -cneg 11472 / cdiv 11899 ℕcn 12245 2c2 12300 ℕ₀cn0 12506 ℤcz 12593 ℝ⁺crp 13013 (,)cioo 13367 ↑cexp 14084 abscabs 15258

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2708 ax-sep 5271 ax-nul 5281 ax-pow 5340 ax-pr 5407 ax-un 7734 ax-cnex 11190 ax-resscn 11191 ax-1cn 11192 ax-icn 11193 ax-addcl 11194 ax-addrcl 11195 ax-mulcl 11196 ax-mulrcl 11197 ax-mulcom 11198 ax-addass 11199 ax-mulass 11200 ax-distr 11201 ax-i2m1 11202 ax-1ne0 11203 ax-1rid 11204 ax-rnegex 11205 ax-rrecex 11206 ax-cnre 11207 ax-pre-lttri 11208 ax-pre-lttrn 11209 ax-pre-ltadd 11210 ax-pre-mulgt0 11211 ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2810 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3062 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3421 df-v 3466 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-op 4613 df-uni 4889 df-iun 4974 df-br 5125 df-opab 5187 df-mpt 5207 df-tr 5235 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6295 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7867 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-er 8724 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-sup 9459 df-inf 9460 df-pnf 11276 df-mnf 11277 df-xr 11278 df-ltxr 11279 df-le 11280 df-sub 11473 df-neg 11474 df-div 11900 df-nn 12246 df-2 12308 df-3 12309 df-n0 12507 df-z 12594 df-uz 12858 df-rp 13014 df-ioo 13371 df-fl 13814 df-seq 14025 df-exp 14085 df-cj 15123 df-re 15124 df-im 15125 df-sqrt 15259 df-abs 15260

This theorem is referenced by: knoppndvlem22 36556

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