knoppndvlem18 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem18 34992

Description: Lemma for knoppndv 34997. (Contributed by Asger C. Ipsen, 14-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem18.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem18.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem18.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem18.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem18.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem18.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem18	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑗 𝐷,𝑗 𝑗,𝐸 𝑗,𝐺 𝑗,𝑁 𝜑,𝑗

**Proof of Theorem knoppndvlem18**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		knoppndvlem18.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnred 12168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5	2, 4	remulcld 11185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
8		2pos 12256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
10	3	nngt0d 12202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
11	2, 4, 9, 10	mulgt0d 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
12	11	gt0ne0d 11719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
13	12	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ≠ 0)
14		nnz 12520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
15	14	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
16	7, 13, 15	expnegd 14058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
17	16	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
18		2rp 12920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
20		knoppndvlem18.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
21	19, 20	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐷 ∈ ℝ⁺))
22		rpmulcl 12938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐷 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
24	23	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
25	5, 11	elrpd 12954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
26	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
27	26, 15	rpexpcld 14150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ⁺)
28	27	adantrr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ⁺)
29	24	rprecred 12968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
30		knoppndvlem18.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
31	30	knoppndvlem3 34977	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
32	31	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
33	32	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	abscld 15321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
35	5, 34	remulcld 11185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
37		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ₀)
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
39	36, 38	reexpcld 14068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
40	39	adantrr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
41	28	rpred 12957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
42		knoppndvlem18.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
43	42	rpred 12957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
44		knoppndvlem18.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
45	44	rpred 12957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
46	44	rpne0d 12962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0)
47	43, 45, 46	redivcld 11983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
48	23	rprecred 12968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
49	47, 48	ifcld 4532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
50	49	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
51	48, 47	jca 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ))
52		max1 13104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
54	53	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
55		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
56	29, 50, 40, 54, 55	lelttrd 11313	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
57	34	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
59	7, 58, 38	mulexpd 14066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) = (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)))
60	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
61	60, 38	reexpcld 14068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ∈ ℝ)
62		1red 11156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
63	27	rpred 12957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
64	27	rpge0d 12961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
65	33	absge0d 15329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
66		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
67	31	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
68	34, 66, 67	ltled 11303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≤ 1)
69	34, 65, 68	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
71	70, 38	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀))
72		exple1 14081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
74	61, 62, 63, 64, 73	lemul2ad 12095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1))
75	63	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℂ)
76	75	mulid1d 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1) = ((2 · 𝑁)↑𝑗))
77	74, 76	breqtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
78	59, 77	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
79	78	adantrr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
80	29, 40, 41, 56, 79	ltletrd 11315	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < ((2 · 𝑁)↑𝑗))
81	24, 28, 80	ltrec1d 12977	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)) < (2 · 𝐷))
82	17, 81	eqbrtrd 5127	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷))
83		nnnegz 12502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → -𝑗 ∈ ℤ)
84	83	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → -𝑗 ∈ ℤ)
85	6, 13, 84	reexpclzd 14152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) ∈ ℝ)
86	20	rpred 12957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
87	86	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
88	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ⁺)
89	85, 87, 88	ltdivmuld 13008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
90	89	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
91	82, 90	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷)
92	47	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
93		max2 13106	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
94	51, 93	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
95	94	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
96	50, 40, 55	ltled 11303	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
97	92, 50, 40, 95, 96	letrd 11312	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
98	43	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ∈ ℝ)
99	44	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
100	98, 40, 99	ledivmul2d 13011	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ↔ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
101	97, 100	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))
102	91, 101	jca 512	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
103		1t1e1 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
104	103	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 · 1)
105	104	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 · 1))
106	4, 34	remulcld 11185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
107		0le1 11678	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
108	107	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
109		1lt2 12324	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
111		knoppndvlem18.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
112	66, 2, 66, 106, 108, 110, 108, 111	ltmul12ad 12096	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
113	105, 112	eqbrtrd 5127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
114	2	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
115	4	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
116	114, 115, 57	mulassd 11178	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
117	116	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
118	113, 117	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
119	49, 35, 118	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
120		expnbnd 14135	. . . 4 ⊢ ((if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
121	119, 120	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
122	102, 121	reximddv 3168	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
123		nnssnn0 12416	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ₀
124		ssrexv 4011	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ₀ → (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))))
125	123, 124	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
126	122, 125	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∃wrex 3073 ⊆ wss 3910 ifcif 4486 class class class wbr 5105 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ℂcc 11049 ℝcr 11050 0cc0 11051 1c1 11052 · cmul 11056 < clt 11189 ≤ cle 11190 -cneg 11386 / cdiv 11812 ℕcn 12153 2c2 12208 ℕ₀cn0 12413 ℤcz 12499 ℝ⁺crp 12915 (,)cioo 13264 ↑cexp 13967 abscabs 15119

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-er 8648 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-sup 9378 df-inf 9379 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-n0 12414 df-z 12500 df-uz 12764 df-rp 12916 df-ioo 13268 df-fl 13697 df-seq 13907 df-exp 13968 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121

This theorem is referenced by: knoppndvlem22 34996

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