knoppndvlem18 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem18 36751

Description: Lemma for knoppndv 36756. (Contributed by Asger C. Ipsen, 14-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem18.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem18.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem18.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem18.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem18.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem18.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem18	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑗 𝐷,𝑗 𝑗,𝐸 𝑗,𝐺 𝑗,𝑁 𝜑,𝑗

**Proof of Theorem knoppndvlem18**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		knoppndvlem18.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnred 12172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5	2, 4	remulcld 11174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
8		2pos 12260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
10	3	nngt0d 12206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
11	2, 4, 9, 10	mulgt0d 11300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
12	11	gt0ne0d 11713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ≠ 0)
14		nnz 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
16	7, 13, 15	expnegd 14088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
17	16	adantrr 718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
18		2rp 12922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
20		knoppndvlem18.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
21	19, 20	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐷 ∈ ℝ⁺))
22		rpmulcl 12942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐷 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
25	5, 11	elrpd 12958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
27	26, 15	rpexpcld 14182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ⁺)
28	27	adantrr 718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ⁺)
29	24	rprecred 12972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
30		knoppndvlem18.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
31	30	knoppndvlem3 36736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
32	31	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
33	32	recnd 11172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	abscld 15374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
35	5, 34	remulcld 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
37		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ₀)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
39	36, 38	reexpcld 14098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
40	39	adantrr 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
41	28	rpred 12961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
42		knoppndvlem18.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
43	42	rpred 12961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
44		knoppndvlem18.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
45	44	rpred 12961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
46	44	rpne0d 12966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0)
47	43, 45, 46	redivcld 11981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
48	23	rprecred 12972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
49	47, 48	ifcld 4528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
51	48, 47	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ))
52		max1 13112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
55		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
56	29, 50, 40, 54, 55	lelttrd 11303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
57	34	recnd 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
59	7, 58, 38	mulexpd 14096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) = (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)))
60	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
61	60, 38	reexpcld 14098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ∈ ℝ)
62		1red 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
63	27	rpred 12961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
64	27	rpge0d 12965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
65	33	absge0d 15382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
66		1red 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
67	31	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
68	34, 66, 67	ltled 11293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≤ 1)
69	34, 65, 68	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
71	70, 38	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀))
72		exple1 14112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
74	61, 62, 63, 64, 73	lemul2ad 12094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1))
75	63	recnd 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℂ)
76	75	mulridd 11161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1) = ((2 · 𝑁)↑𝑗))
77	74, 76	breqtrd 5126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
78	59, 77	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
79	78	adantrr 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
80	29, 40, 41, 56, 79	ltletrd 11305	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < ((2 · 𝑁)↑𝑗))
81	24, 28, 80	ltrec1d 12981	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)) < (2 · 𝐷))
82	17, 81	eqbrtrd 5122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷))
83		nnnegz 12503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → -𝑗 ∈ ℤ)
84	83	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → -𝑗 ∈ ℤ)
85	6, 13, 84	reexpclzd 14184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) ∈ ℝ)
86	20	rpred 12961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
87	86	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
88	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ⁺)
89	85, 87, 88	ltdivmuld 13012	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
90	89	adantrr 718	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
91	82, 90	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷)
92	47	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
93		max2 13114	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
94	51, 93	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
95	94	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
96	50, 40, 55	ltled 11293	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
97	92, 50, 40, 95, 96	letrd 11302	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
98	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ∈ ℝ)
99	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
100	98, 40, 99	ledivmul2d 13015	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ↔ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
101	97, 100	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))
102	91, 101	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
103		1t1e1 12314	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
104	103	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 · 1)
105	104	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 · 1))
106	4, 34	remulcld 11174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
107		0le1 11672	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
108	107	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
109		1lt2 12323	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
111		knoppndvlem18.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
112	66, 2, 66, 106, 108, 110, 108, 111	ltmul12ad 12095	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
113	105, 112	eqbrtrd 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
114	2	recnd 11172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
115	4	recnd 11172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
116	114, 115, 57	mulassd 11167	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
117	116	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
118	113, 117	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
119	49, 35, 118	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
120		expnbnd 14167	. . . 4 ⊢ ((if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
121	119, 120	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
122	102, 121	reximddv 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
123		nnssnn0 12416	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ₀
124		ssrexv 4005	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ₀ → (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))))
125	123, 124	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
126	122, 125	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∃wrex 3062 ⊆ wss 3903 ifcif 4481 class class class wbr 5100 ‘cfv 6500 (class class class)co 7368 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 · cmul 11043 < clt 11178 ≤ cle 11179 -cneg 11377 / cdiv 11806 ℕcn 12157 2c2 12212 ℕ₀cn0 12413 ℤcz 12500 ℝ⁺crp 12917 (,)cioo 13273 ↑cexp 13996 abscabs 15169

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5312 ax-pr 5379 ax-un 7690 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-iun 4950 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5527 df-eprel 5532 df-po 5540 df-so 5541 df-fr 5585 df-we 5587 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-pred 6267 df-ord 6328 df-on 6329 df-lim 6330 df-suc 6331 df-iota 6456 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7325 df-ov 7371 df-oprab 7372 df-mpo 7373 df-om 7819 df-1st 7943 df-2nd 7944 df-frecs 8233 df-wrecs 8264 df-recs 8313 df-rdg 8351 df-er 8645 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-sup 9357 df-inf 9358 df-pnf 11180 df-mnf 11181 df-xr 11182 df-ltxr 11183 df-le 11184 df-sub 11378 df-neg 11379 df-div 11807 df-nn 12158 df-2 12220 df-3 12221 df-n0 12414 df-z 12501 df-uz 12764 df-rp 12918 df-ioo 13277 df-fl 13724 df-seq 13937 df-exp 13997 df-cj 15034 df-re 15035 df-im 15036 df-sqrt 15170 df-abs 15171

This theorem is referenced by: knoppndvlem22 36755

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