knoppndvlem18 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem18 36495

Description: Lemma for knoppndv 36500. (Contributed by Asger C. Ipsen, 14-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem18.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem18.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem18.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem18.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem18.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem18.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem18	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑗 𝐷,𝑗 𝑗,𝐸 𝑗,𝐺 𝑗,𝑁 𝜑,𝑗

**Proof of Theorem knoppndvlem18**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		knoppndvlem18.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnred 12308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5	2, 4	remulcld 11320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
8		2pos 12396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
10	3	nngt0d 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
11	2, 4, 9, 10	mulgt0d 11445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
12	11	gt0ne0d 11854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ≠ 0)
14		nnz 12660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
16	7, 13, 15	expnegd 14203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
17	16	adantrr 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
18		2rp 13062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
20		knoppndvlem18.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
21	19, 20	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐷 ∈ ℝ⁺))
22		rpmulcl 13080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐷 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
25	5, 11	elrpd 13096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
27	26, 15	rpexpcld 14296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ⁺)
28	27	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ⁺)
29	24	rprecred 13110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
30		knoppndvlem18.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
31	30	knoppndvlem3 36480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
32	31	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
33	32	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	abscld 15485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
35	5, 34	remulcld 11320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
37		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ₀)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
39	36, 38	reexpcld 14213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
40	39	adantrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
41	28	rpred 13099	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
42		knoppndvlem18.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
43	42	rpred 13099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
44		knoppndvlem18.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
45	44	rpred 13099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
46	44	rpne0d 13104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0)
47	43, 45, 46	redivcld 12122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
48	23	rprecred 13110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
49	47, 48	ifcld 4594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
51	48, 47	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ))
52		max1 13247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
55		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
56	29, 50, 40, 54, 55	lelttrd 11448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
57	34	recnd 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
59	7, 58, 38	mulexpd 14211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) = (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)))
60	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
61	60, 38	reexpcld 14213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ∈ ℝ)
62		1red 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
63	27	rpred 13099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
64	27	rpge0d 13103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
65	33	absge0d 15493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
66		1red 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
67	31	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
68	34, 66, 67	ltled 11438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≤ 1)
69	34, 65, 68	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
71	70, 38	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀))
72		exple1 14226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
74	61, 62, 63, 64, 73	lemul2ad 12235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1))
75	63	recnd 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℂ)
76	75	mulridd 11307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1) = ((2 · 𝑁)↑𝑗))
77	74, 76	breqtrd 5192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
78	59, 77	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
79	78	adantrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
80	29, 40, 41, 56, 79	ltletrd 11450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < ((2 · 𝑁)↑𝑗))
81	24, 28, 80	ltrec1d 13119	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)) < (2 · 𝐷))
82	17, 81	eqbrtrd 5188	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷))
83		nnnegz 12642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → -𝑗 ∈ ℤ)
84	83	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → -𝑗 ∈ ℤ)
85	6, 13, 84	reexpclzd 14298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) ∈ ℝ)
86	20	rpred 13099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
87	86	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
88	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ⁺)
89	85, 87, 88	ltdivmuld 13150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
90	89	adantrr 716	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
91	82, 90	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷)
92	47	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
93		max2 13249	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
94	51, 93	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
95	94	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
96	50, 40, 55	ltled 11438	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
97	92, 50, 40, 95, 96	letrd 11447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
98	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ∈ ℝ)
99	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
100	98, 40, 99	ledivmul2d 13153	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ↔ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
101	97, 100	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))
102	91, 101	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
103		1t1e1 12455	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
104	103	eqcomi 2749	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 · 1)
105	104	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 · 1))
106	4, 34	remulcld 11320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
107		0le1 11813	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
108	107	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
109		1lt2 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
111		knoppndvlem18.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
112	66, 2, 66, 106, 108, 110, 108, 111	ltmul12ad 12236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
113	105, 112	eqbrtrd 5188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
114	2	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
115	4	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
116	114, 115, 57	mulassd 11313	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
117	116	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
118	113, 117	breqtrd 5192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
119	49, 35, 118	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
120		expnbnd 14281	. . . 4 ⊢ ((if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
121	119, 120	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
122	102, 121	reximddv 3177	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
123		nnssnn0 12556	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ₀
124		ssrexv 4078	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ₀ → (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))))
125	123, 124	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
126	122, 125	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2946 ∃wrex 3076 ⊆ wss 3976 ifcif 4548 class class class wbr 5166 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 ℂcc 11182 ℝcr 11183 0cc0 11184 1c1 11185 · cmul 11189 < clt 11324 ≤ cle 11325 -cneg 11521 / cdiv 11947 ℕcn 12293 2c2 12348 ℕ₀cn0 12553 ℤcz 12639 ℝ⁺crp 13057 (,)cioo 13407 ↑cexp 14112 abscabs 15283

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4932 df-iun 5017 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-er 8763 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-sup 9511 df-inf 9512 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-n0 12554 df-z 12640 df-uz 12904 df-rp 13058 df-ioo 13411 df-fl 13843 df-seq 14053 df-exp 14113 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-abs 15285

This theorem is referenced by: knoppndvlem22 36499

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