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Theorem knoppndvlem18 33041
Description: Lemma for knoppndv 33046. (Contributed by Asger C. Ipsen, 14-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem18.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem18.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem18.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
knoppndvlem18.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
knoppndvlem18.g (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
knoppndvlem18.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem18 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑗   𝐷,𝑗   𝑗,𝐸   𝑗,𝐺   𝑗,𝑁   𝜑,𝑗

Proof of Theorem knoppndvlem18
StepHypRef Expression
1 2re 11425 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3 knoppndvlem18.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnred 11367 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
52, 4remulcld 10387 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
65adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
76recnd 10385 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
8 2pos 11461 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 2)
103nngt0d 11400 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝑁)
112, 4, 9, 10mulgt0d 10511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
1211gt0ne0d 10916 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
1312adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ≠ 0)
14 nnz 11727 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
1514adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
167, 13, 15expnegd 13309 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
1716adantrr 708 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
18 2rp 12117 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
20 knoppndvlem18.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
2119, 20jca 507 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+))
22 rpmulcl 12137 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ+)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐷) ∈ ℝ+)
2423adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ+)
255, 11elrpd 12153 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
2625adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
2726, 15rpexpcld 13328 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ+)
2827adantrr 708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ+)
2924rprecred 12167 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
30 knoppndvlem18.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
3130knoppndvlem3 33026 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
3231simpld 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3332recnd 10385 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3433abscld 14552 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
355, 34remulcld 10387 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
3635adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
37 nnnn0 11626 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
3837adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3936, 38reexpcld 13319 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
4039adantrr 708 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
4128rpred 12156 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
42 knoppndvlem18.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
4342rpred 12156 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
44 knoppndvlem18.g . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
4544rpred 12156 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
4644rpne0d 12161 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ≠ 0)
4743, 45, 46redivcld 11179 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
4823rprecred 12167 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
4947, 48ifcld 4351 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
5049adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
5148, 47jca 507 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ))
52 max1 12304 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
5453adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
55 simprr 789 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
5629, 50, 40, 54, 55lelttrd 10514 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
5734recnd 10385 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
5857adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
597, 58, 38mulexpd 13317 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) = (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)))
6034adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6160, 38reexpcld 13319 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ∈ ℝ)
62 1red 10357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
6327rpred 12156 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
6427rpge0d 12160 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
6533absge0d 14560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
66 1red 10357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6731simprd 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
6834, 66, 67ltled 10504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝐶) ≤ 1)
6934, 65, 683jca 1162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
7069adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
7170, 38jca 507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0))
72 exple1 13214 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
7461, 62, 63, 64, 73lemul2ad 11294 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1))
7563recnd 10385 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℂ)
7675mulid1d 10374 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1) = ((2 · 𝑁)↑𝑗))
7774, 76breqtrd 4899 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
7859, 77eqbrtrd 4895 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
7978adantrr 708 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
8029, 40, 41, 56, 79ltletrd 10516 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < ((2 · 𝑁)↑𝑗))
8124, 28, 80ltrec1d 12176 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)) < (2 · 𝐷))
8217, 81eqbrtrd 4895 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷))
83 nnnegz 11707 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → -𝑗 ∈ ℤ)
8483adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → -𝑗 ∈ ℤ)
856, 13, 84reexpclzd 13330 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) ∈ ℝ)
8620rpred 12156 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
8786adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
8818a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
8985, 87, 88ltdivmuld 12207 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
9089adantrr 708 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
9182, 90mpbird 249 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷)
9247adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
93 max2 12306 . . . . . . . 8 (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
9451, 93syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
9594adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
9650, 40, 55ltled 10504 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
9792, 50, 40, 95, 96letrd 10513 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
9843adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ∈ ℝ)
9944adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐺 ∈ ℝ+)
10098, 40, 99ledivmul2d 12210 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ↔ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
10197, 100mpbid 224 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))
10291, 101jca 507 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
103 1t1e1 11520 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
104103eqcomi 2834 . . . . . . . 8 1 = (1 · 1)
105104a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 = (1 · 1))
1064, 34remulcld 10387 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
107 0le1 10875 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
108107a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 1)
109 1lt2 11529 . . . . . . . . 9 1 < 2
110109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < 2)
111 knoppndvlem18.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
11266, 2, 66, 106, 108, 110, 108, 111ltmul12ad 11295 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
113105, 112eqbrtrd 4895 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
1142recnd 10385 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
1154recnd 10385 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
116114, 115, 57mulassd 10380 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
117116eqcomd 2831 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
118113, 117breqtrd 4899 . . . . 5 (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
11949, 35, 1183jca 1162 . . . 4 (𝜑 → (if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
120 expnbnd 13287 . . . 4 ((if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
121119, 120syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
122102, 121reximddv 3226 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
123 nnssnn0 11621 . . 3 ℕ ⊆ ℕ0
124 ssrexv 3892 . . 3 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))))
125123, 124ax-mp 5 . 2 (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
126122, 125syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wrex 3118  wss 3798  ifcif 4306   class class class wbr 4873  cfv 6123  (class class class)co 6905  cc 10250  cr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   · cmul 10257   < clt 10391  cle 10392  -cneg 10586   / cdiv 11009  cn 11350  2c2 11406  0cn0 11618  cz 11704  +crp 12112  (,)cioo 12463  cexp 13154  abscabs 14351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-ioo 12467  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353
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