knoppndvlem18 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem18 36503

Description: Lemma for knoppndv 36508. (Contributed by Asger C. Ipsen, 14-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem18.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem18.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem18.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem18.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem18.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem18.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem18	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑗 𝐷,𝑗 𝑗,𝐸 𝑗,𝐺 𝑗,𝑁 𝜑,𝑗

**Proof of Theorem knoppndvlem18**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		knoppndvlem18.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnred 12143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5	2, 4	remulcld 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
8		2pos 12231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
10	3	nngt0d 12177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
11	2, 4, 9, 10	mulgt0d 11271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
12	11	gt0ne0d 11684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ≠ 0)
14		nnz 12492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
16	7, 13, 15	expnegd 14060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
17	16	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
18		2rp 12898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
20		knoppndvlem18.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
21	19, 20	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐷 ∈ ℝ⁺))
22		rpmulcl 12918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐷 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
25	5, 11	elrpd 12934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
27	26, 15	rpexpcld 14154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ⁺)
28	27	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ⁺)
29	24	rprecred 12948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
30		knoppndvlem18.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
31	30	knoppndvlem3 36488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
32	31	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
33	32	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	abscld 15346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
35	5, 34	remulcld 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
37		nnnn0 12391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ₀)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
39	36, 38	reexpcld 14070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
40	39	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
41	28	rpred 12937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
42		knoppndvlem18.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
43	42	rpred 12937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
44		knoppndvlem18.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
45	44	rpred 12937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
46	44	rpne0d 12942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0)
47	43, 45, 46	redivcld 11952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
48	23	rprecred 12948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
49	47, 48	ifcld 4523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
51	48, 47	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ))
52		max1 13087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
55		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
56	29, 50, 40, 54, 55	lelttrd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
57	34	recnd 11143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
59	7, 58, 38	mulexpd 14068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) = (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)))
60	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
61	60, 38	reexpcld 14070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ∈ ℝ)
62		1red 11116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
63	27	rpred 12937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
64	27	rpge0d 12941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
65	33	absge0d 15354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
66		1red 11116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
67	31	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
68	34, 66, 67	ltled 11264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≤ 1)
69	34, 65, 68	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
71	70, 38	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀))
72		exple1 14084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
74	61, 62, 63, 64, 73	lemul2ad 12065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1))
75	63	recnd 11143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℂ)
76	75	mulridd 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1) = ((2 · 𝑁)↑𝑗))
77	74, 76	breqtrd 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
78	59, 77	eqbrtrd 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
79	78	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
80	29, 40, 41, 56, 79	ltletrd 11276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < ((2 · 𝑁)↑𝑗))
81	24, 28, 80	ltrec1d 12957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)) < (2 · 𝐷))
82	17, 81	eqbrtrd 5114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷))
83		nnnegz 12474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → -𝑗 ∈ ℤ)
84	83	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → -𝑗 ∈ ℤ)
85	6, 13, 84	reexpclzd 14156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) ∈ ℝ)
86	20	rpred 12937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
87	86	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
88	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ⁺)
89	85, 87, 88	ltdivmuld 12988	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
90	89	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
91	82, 90	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷)
92	47	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
93		max2 13089	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
94	51, 93	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
95	94	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
96	50, 40, 55	ltled 11264	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
97	92, 50, 40, 95, 96	letrd 11273	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
98	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ∈ ℝ)
99	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
100	98, 40, 99	ledivmul2d 12991	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ↔ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
101	97, 100	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))
102	91, 101	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
103		1t1e1 12285	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
104	103	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 · 1)
105	104	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 · 1))
106	4, 34	remulcld 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
107		0le1 11643	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
108	107	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
109		1lt2 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
111		knoppndvlem18.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
112	66, 2, 66, 106, 108, 110, 108, 111	ltmul12ad 12066	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
113	105, 112	eqbrtrd 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
114	2	recnd 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
115	4	recnd 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
116	114, 115, 57	mulassd 11138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
117	116	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
118	113, 117	breqtrd 5118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
119	49, 35, 118	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
120		expnbnd 14139	. . . 4 ⊢ ((if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
121	119, 120	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
122	102, 121	reximddv 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
123		nnssnn0 12387	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ₀
124		ssrexv 4005	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ₀ → (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))))
125	123, 124	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
126	122, 125	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ∧ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∃wrex 3053 ⊆ wss 3903 ifcif 4476 class class class wbr 5092 ‘cfv 6482 (class class class)co 7349 ℂcc 11007 ℝcr 11008 0cc0 11009 1c1 11010 · cmul 11014 < clt 11149 ≤ cle 11150 -cneg 11348 / cdiv 11777 ℕcn 12128 2c2 12183 ℕ₀cn0 12384 ℤcz 12471 ℝ⁺crp 12893 (,)cioo 13248 ↑cexp 13968 abscabs 15141

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5235 ax-nul 5245 ax-pow 5304 ax-pr 5371 ax-un 7671 ax-cnex 11065 ax-resscn 11066 ax-1cn 11067 ax-icn 11068 ax-addcl 11069 ax-addrcl 11070 ax-mulcl 11071 ax-mulrcl 11072 ax-mulcom 11073 ax-addass 11074 ax-mulass 11075 ax-distr 11076 ax-i2m1 11077 ax-1ne0 11078 ax-1rid 11079 ax-rnegex 11080 ax-rrecex 11081 ax-cnre 11082 ax-pre-lttri 11083 ax-pre-lttrn 11084 ax-pre-ltadd 11085 ax-pre-mulgt0 11086 ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3395 df-v 3438 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4285 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-op 4584 df-uni 4859 df-iun 4943 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5174 df-tr 5200 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6249 df-ord 6310 df-on 6311 df-lim 6312 df-suc 6313 df-iota 6438 df-fun 6484 df-fn 6485 df-f 6486 df-f1 6487 df-fo 6488 df-f1o 6489 df-fv 6490 df-riota 7306 df-ov 7352 df-oprab 7353 df-mpo 7354 df-om 7800 df-1st 7924 df-2nd 7925 df-frecs 8214 df-wrecs 8245 df-recs 8294 df-rdg 8332 df-er 8625 df-en 8873 df-dom 8874 df-sdom 8875 df-sup 9332 df-inf 9333 df-pnf 11151 df-mnf 11152 df-xr 11153 df-ltxr 11154 df-le 11155 df-sub 11349 df-neg 11350 df-div 11778 df-nn 12129 df-2 12191 df-3 12192 df-n0 12385 df-z 12472 df-uz 12736 df-rp 12894 df-ioo 13252 df-fl 13696 df-seq 13909 df-exp 13969 df-cj 15006 df-re 15007 df-im 15008 df-sqrt 15142 df-abs 15143

This theorem is referenced by: knoppndvlem22 36507

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