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Theorem ltmul12a 11209
Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltmul12a ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 < 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem ltmul12a
StepHypRef Expression
1 simplll 791 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 < 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simpllr 793 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 < 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 simpll 783 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4 simprl 787 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 < 𝐷)) → 0 ≤ 𝐶)
53, 4jca 507 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 < 𝐷)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
65ad2ant2l 752 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 < 𝐷))) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
7 ltle 10445 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
87imp 397 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
98adantrl 707 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴𝐵)
109ad2ant2r 753 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 < 𝐷))) → 𝐴𝐵)
11 lemul1a 11207 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
121, 2, 6, 10, 11syl31anc 1496 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 < 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
13 simplrl 795 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
14 simplrr 796 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15 simpllr 793 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 0re 10358 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
17 lelttr 10447 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
1816, 17mp3an1 1576 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
1918imp 397 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
2019adantlr 706 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
21 ltmul2 11204 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)))
2213, 14, 15, 20, 21syl112anc 1497 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)))
2322biimpa 470 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))
2423anasss 460 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐷)) → (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))
2524adantrrl 715 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 < 𝐷))) → (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))
26 remulcl 10337 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
2726ad2ant2r 753 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
28 remulcl 10337 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
2928ad2ant2lr 754 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
30 remulcl 10337 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
3130ad2ant2l 752 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
32 lelttr 10447 . . . . 5 (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)))
3327, 29, 31, 32syl3anc 1494 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)))
3433adantr 474 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 < 𝐷))) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)))
3512, 25, 34mp2and 690 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 < 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))
3635an4s 650 1 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 < 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2164   class class class wbr 4873  (class class class)co 6905  cr 10251  0cc0 10252   · cmul 10257   < clt 10391  cle 10392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588
This theorem is referenced by:  ltmul12ad  11295  hgt750lem2  31268  expmordi  38348  tgblthelfgott  42526  tgoldbach  42528
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