MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmul12a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmul12a 12110
Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltmul12a ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))

Proof of Theorem ltmul12a
StepHypRef Expression
1 simplll 773 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 simpllr 774 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 simpll 765 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
4 simprl 769 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
53, 4jca 510 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ))
65ad2ant2l 744 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ))
7 ltle 11342 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต))
87imp 405 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
98adantrl 714 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
109ad2ant2r 745 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
11 lemul1a 12108 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))
121, 2, 6, 10, 11syl31anc 1370 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))
13 simplrl 775 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
14 simplrr 776 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
15 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
16 0re 11256 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
17 lelttr 11344 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
1816, 17mp3an1 1444 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
1918imp 405 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
2019adantlr 713 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
21 ltmul2 12105 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ถ < ๐ท โ†” (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)))
2213, 14, 15, 20, 21syl112anc 1371 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ถ < ๐ท โ†” (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)))
2322biimpa 475 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง ๐ถ < ๐ท) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
2423anasss 465 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐ถ < ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
2524adantrrl 722 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
26 remulcl 11233 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2726ad2ant2r 745 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
28 remulcl 11233 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2928ad2ant2lr 746 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
30 remulcl 11233 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
3130ad2ant2l 744 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
32 lelttr 11344 . . . . 5 (((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ) โˆง (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)))
3327, 29, 31, 32syl3anc 1368 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ) โˆง (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)))
3433adantr 479 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ) โˆง (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)))
3512, 25, 34mp2and 697 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
3635an4s 658 1 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„cr 11147  0cc0 11148   ยท cmul 11153   < clt 11288   โ‰ค cle 11289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487
This theorem is referenced by:  ltmul12ad  12195  expmordi  14173  hgt750lem2  34325  3cubeslem1  42153  tgblthelfgott  47202  tgoldbach  47204
  Copyright terms: Public domain W3C validator