MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmul12a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmul12a 12074
Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltmul12a ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))

Proof of Theorem ltmul12a
StepHypRef Expression
1 simplll 772 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 simpllr 773 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 simpll 764 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
4 simprl 768 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
53, 4jca 511 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ))
65ad2ant2l 743 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ))
7 ltle 11306 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต))
87imp 406 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
98adantrl 713 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
109ad2ant2r 744 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
11 lemul1a 12072 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))
121, 2, 6, 10, 11syl31anc 1370 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))
13 simplrl 774 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
14 simplrr 775 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
15 simpllr 773 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
16 0re 11220 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
17 lelttr 11308 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
1816, 17mp3an1 1444 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
1918imp 406 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
2019adantlr 712 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
21 ltmul2 12069 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ถ < ๐ท โ†” (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)))
2213, 14, 15, 20, 21syl112anc 1371 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ถ < ๐ท โ†” (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)))
2322biimpa 476 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง ๐ถ < ๐ท) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
2423anasss 466 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐ถ < ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
2524adantrrl 721 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
26 remulcl 11197 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2726ad2ant2r 744 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
28 remulcl 11197 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2928ad2ant2lr 745 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
30 remulcl 11197 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
3130ad2ant2l 743 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
32 lelttr 11308 . . . . 5 (((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ) โˆง (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)))
3327, 29, 31, 32syl3anc 1368 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ) โˆง (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)))
3433adantr 480 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ) โˆง (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)))
3512, 25, 34mp2and 696 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
3635an4s 657 1 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451
This theorem is referenced by:  ltmul12ad  12159  expmordi  14137  hgt750lem2  34193  3cubeslem1  42000  tgblthelfgott  47055  tgoldbach  47057
  Copyright terms: Public domain W3C validator