Theorem argregt0 26920

Description: Closure of the argument of a complex number with positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
argregt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

Proof of Theorem argregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 15257	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11762	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
3	1, 2	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
4		fveq2 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘0))
5		re0 15299	. . . . . . 7 ⊢ (ℜ‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = 0)
7	6	necon3i 2988	. . . . 5 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
9		logcl 26878	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	imcld 15342	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		coshalfpi 26780	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
13		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
14		abscl 15425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
17	16	mul01d 11490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) = 0)
18		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19		absrpcl 15435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
20	8, 19	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
21	20	rpne0d 13150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
22	18, 16, 21	divcld 12074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
23	15, 22	remul2d 15374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
24	18, 16, 21	divcan2d 12076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴))) = 𝐴)
25	24	fveq2d 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℜ‘𝐴))
26	23, 25	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℜ‘𝐴))
27	13, 17, 26	3brtr4d 5137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
28		0re 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
30	22	recld 15341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
31	29, 30, 20	ltmul2d 13187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ↔ ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))))
32	27, 31	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
33		efiarg 26917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
34	8, 33	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
35	34	fveq2d 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
36	32, 35	breqtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
37		recosval 16284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ → (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
38	11, 37	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
39	36, 38	breqtrrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
40		fveq2 6877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
42	11	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
43		cosneg 16295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ → (cos‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
45		fveqeq2 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)) → ((cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ↔ (cos‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
46	44, 45	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
47	11	absord 15563	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)) ∨ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴))))
48	41, 46, 47	mpjaod 874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
49	39, 48	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
50	12, 49	eqbrtrid 5140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘(π / 2)) < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
51	42	abscld 15586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
52	42	absge0d 15594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
53		logimcl 26879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
54	8, 53	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
55	54	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
56		pire 26765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
57	56	renegcli 11600	. . . . . . . . . 10 ⊢ -π ∈ ℝ
58		ltle 11379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
59	57, 11, 58	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
60	55, 59	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
61	54	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
62		absle 15463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
63	11, 56, 62	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
64	60, 61, 63	mpbir2and 726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
65	28, 56	elicc2i 13524	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ (0[,]π) ↔ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
66	51, 52, 64, 65	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ (0[,]π))
67		halfpire 26775	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
68		pirp 26772	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ+
69		rphalfcl 13130	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
70		rpge0 13115	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 2))
71	68, 69, 70	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (π / 2)
72		rphalflt 13132	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
73	68, 72	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) < π
74	67, 56, 73	ltleii 11414	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ≤ π
75	28, 56	elicc2i 13524	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) ∈ (0[,]π) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ π))
76	67, 71, 74, 75	mpbir3an 1360	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ (0[,]π)
77		cosord 26841	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ (0[,]π) ∧ (π / 2) ∈ (0[,]π)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (cos‘(π / 2)) < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))))
78	66, 76, 77	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (cos‘(π / 2)) < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))))
79	50, 78	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2))
80		abslt 15462	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (-(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))))
81	11, 67, 80	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (-(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))))
82	79, 81	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2)))
83	82	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)))
84	82	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))
85	67	renegcli 11600	. . . 4 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
86	85	rexri 11348	. . 3 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
87	67	rexri 11348	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
88		elioo2 13498	. . 3 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))))
89	86, 87, 88	mp2an 705	. 2 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2)))
90	11, 83, 84, 89	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  ici 11183   · cmul 11186  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  -cneg 11523   / cdiv 11954  2c2 12378  ℝ⁺crp 13101  (,)cioo 13457  [,]cicc 13460  ℜcre 15244  ℑcim 15245  abscabs 15381  expce 16207  cosccos 16210  πcpi 16212  logclog 26864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-log 26866

This theorem is used by:  logcnlem4  26955  atanlogsublem  27225