MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  argregt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem argregt0 26499
Description: Closure of the argument of a complex number with positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
argregt0 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))

Proof of Theorem argregt0
StepHypRef Expression
1 recl 15063 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2 gt0ne0 11683 . . . . . 6 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0)
31, 2sylan 579 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0)
4 fveq2 6885 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = (โ„œโ€˜0))
5 re0 15105 . . . . . . 7 (โ„œโ€˜0) = 0
64, 5eqtrdi 2782 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = 0)
76necon3i 2967 . . . . 5 ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†’ ๐ด โ‰  0)
83, 7syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
9 logcl 26457 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
108, 9syldan 590 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
1110imcld 15148 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
12 coshalfpi 26359 . . . . . 6 (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) = 0
13 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜๐ด))
14 abscl 15231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1615recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
1716mul01d 11417 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 0) = 0)
18 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
19 absrpcl 15241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
208, 19syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
2120rpne0d 13027 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰  0)
2218, 16, 21divcld 11994 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ด / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
2315, 22remul2d 15180 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((absโ€˜๐ด) ยท (๐ด / (absโ€˜๐ด)))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด)))))
2418, 16, 21divcan2d 11996 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (๐ด / (absโ€˜๐ด))) = ๐ด)
2524fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((absโ€˜๐ด) ยท (๐ด / (absโ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜๐ด))
2623, 25eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜๐ด))
2713, 17, 263brtr4d 5173 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 0) < ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด)))))
28 0re 11220 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3022recld 15147 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
3129, 30, 20ltmul2d 13064 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))) โ†” ((absโ€˜๐ด) ยท 0) < ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))))))
3227, 31mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))))
33 efiarg 26496 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (๐ด / (absโ€˜๐ด)))
348, 33syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (๐ด / (absโ€˜๐ด)))
3534fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) = (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))))
3632, 35breqtrrd 5169 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
37 recosval 16086 . . . . . . . . 9 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
3811, 37syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
3936, 38breqtrrd 5169 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
40 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
4140a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
4211recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
43 cosneg 16097 . . . . . . . . . 10 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
45 fveqeq2 6894 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ ((cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” (cosโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
4644, 45syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
4711absord 15368 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆจ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
4841, 46, 47mpjaod 857 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
4939, 48breqtrrd 5169 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
5012, 49eqbrtrid 5176 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) < (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
5142abscld 15389 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
5242absge0d 15397 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
53 logimcl 26458 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
548, 53syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
5554simpld 494 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
56 pire 26348 . . . . . . . . . . 11 ฯ€ โˆˆ โ„
5756renegcli 11525 . . . . . . . . . 10 -ฯ€ โˆˆ โ„
58 ltle 11306 . . . . . . . . . 10 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
5957, 11, 58sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
6055, 59mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
6154simprd 495 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)
62 absle 15268 . . . . . . . . 9 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€ โ†” (-ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)))
6311, 56, 62sylancl 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€ โ†” (-ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)))
6460, 61, 63mpbir2and 710 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€)
6528, 56elicc2i 13396 . . . . . . 7 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ (0[,]ฯ€) โ†” ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆง (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€))
6651, 52, 64, 65syl3anbrc 1340 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ (0[,]ฯ€))
67 halfpire 26354 . . . . . . 7 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
68 pirp 26351 . . . . . . . 8 ฯ€ โˆˆ โ„+
69 rphalfcl 13007 . . . . . . . 8 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+)
70 rpge0 12993 . . . . . . . 8 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (ฯ€ / 2))
7168, 69, 70mp2b 10 . . . . . . 7 0 โ‰ค (ฯ€ / 2)
72 rphalflt 13009 . . . . . . . . 9 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯ€ / 2) < ฯ€)
7368, 72ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ฯ€ / 2) < ฯ€
7467, 56, 73ltleii 11341 . . . . . . 7 (ฯ€ / 2) โ‰ค ฯ€
7528, 56elicc2i 13396 . . . . . . 7 ((ฯ€ / 2) โˆˆ (0[,]ฯ€) โ†” ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฯ€ / 2) โˆง (ฯ€ / 2) โ‰ค ฯ€))
7667, 71, 74, 75mpbir3an 1338 . . . . . 6 (ฯ€ / 2) โˆˆ (0[,]ฯ€)
77 cosord 26420 . . . . . 6 (((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ (0[,]ฯ€) โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ (0[,]ฯ€)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < (ฯ€ / 2) โ†” (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) < (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
7866, 76, 77sylancl 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < (ฯ€ / 2) โ†” (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) < (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
7950, 78mpbird 257 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < (ฯ€ / 2))
80 abslt 15267 . . . . 5 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < (ฯ€ / 2) โ†” (-(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2))))
8111, 67, 80sylancl 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < (ฯ€ / 2) โ†” (-(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2))))
8279, 81mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2)))
8382simpld 494 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
8482simprd 495 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2))
8567renegcli 11525 . . . 4 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
8685rexri 11276 . . 3 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
8767rexri 11276 . . 3 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
88 elioo2 13371 . . 3 ((-(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„* โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)) โ†” ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2))))
8986, 87, 88mp2an 689 . 2 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)) โ†” ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2)))
9011, 83, 84, 89syl3anbrc 1340 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  ici 11114   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  โ„+crp 12980  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  โ„œcre 15050  โ„‘cim 15051  abscabs 15187  expce 16011  cosccos 16014  ฯ€cpi 16016  logclog 26443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445
This theorem is referenced by:  logcnlem4  26534  atanlogsublem  26802
  Copyright terms: Public domain W3C validator