Theorem argregt0 26667

Description: Closure of the argument of a complex number with positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
argregt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

Proof of Theorem argregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 15146	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11726	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
3	1, 2	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
4		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘0))
5		re0 15188	. . . . . . 7 ⊢ (ℜ‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = 0)
7	6	necon3i 2971	. . . . 5 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
9		logcl 26625	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	imcld 15231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		coshalfpi 26526	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
13		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
14		abscl 15314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
17	16	mul01d 11458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) = 0)
18		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19		absrpcl 15324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
20	8, 19	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
21	20	rpne0d 13080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
22	18, 16, 21	divcld 12041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
23	15, 22	remul2d 15263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
24	18, 16, 21	divcan2d 12043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴))) = 𝐴)
25	24	fveq2d 6911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℜ‘𝐴))
26	23, 25	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℜ‘𝐴))
27	13, 17, 26	3brtr4d 5180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
28		0re 11261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
30	22	recld 15230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
31	29, 30, 20	ltmul2d 13117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ↔ ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))))
32	27, 31	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
33		efiarg 26664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
34	8, 33	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
35	34	fveq2d 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
36	32, 35	breqtrrd 5176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
37		recosval 16169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ → (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
38	11, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
39	36, 38	breqtrrd 5176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
40		fveq2 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
42	11	recnd 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
43		cosneg 16180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ → (cos‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
45		fveqeq2 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)) → ((cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ↔ (cos‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
46	44, 45	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
47	11	absord 15451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)) ∨ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴))))
48	41, 46, 47	mpjaod 860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
49	39, 48	breqtrrd 5176	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
50	12, 49	eqbrtrid 5183	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘(π / 2)) < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
51	42	abscld 15472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
52	42	absge0d 15480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
53		logimcl 26626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
54	8, 53	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
55	54	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
56		pire 26515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
57	56	renegcli 11568	. . . . . . . . . 10 ⊢ -π ∈ ℝ
58		ltle 11347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
59	57, 11, 58	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
60	55, 59	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
61	54	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
62		absle 15351	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
63	11, 56, 62	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
64	60, 61, 63	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
65	28, 56	elicc2i 13450	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ (0[,]π) ↔ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
66	51, 52, 64, 65	syl3anbrc 1342	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ (0[,]π))
67		halfpire 26521	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
68		pirp 26518	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ+
69		rphalfcl 13060	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
70		rpge0 13046	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 2))
71	68, 69, 70	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (π / 2)
72		rphalflt 13062	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
73	68, 72	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) < π
74	67, 56, 73	ltleii 11382	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ≤ π
75	28, 56	elicc2i 13450	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) ∈ (0[,]π) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ π))
76	67, 71, 74, 75	mpbir3an 1340	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ (0[,]π)
77		cosord 26588	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ (0[,]π) ∧ (π / 2) ∈ (0[,]π)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (cos‘(π / 2)) < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))))
78	66, 76, 77	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (cos‘(π / 2)) < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))))
79	50, 78	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2))
80		abslt 15350	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (-(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))))
81	11, 67, 80	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (-(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))))
82	79, 81	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2)))
83	82	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)))
84	82	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))
85	67	renegcli 11568	. . . 4 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
86	85	rexri 11317	. . 3 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
87	67	rexri 11317	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
88		elioo2 13425	. . 3 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))))
89	86, 87, 88	mp2an 692	. 2 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2)))
90	11, 83, 84, 89	syl3anbrc 1342	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  ici 11155   · cmul 11158  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  ℝ⁺crp 13032  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  ℜcre 15133  ℑcim 15134  abscabs 15270  expce 16094  cosccos 16097  πcpi 16099  logclog 26611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613

This theorem is referenced by:  logcnlem4  26702  atanlogsublem  26973