Theorem argregt0 25452

Description: Closure of the argument of a complex number with positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
argregt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

Proof of Theorem argregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 14638	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11262	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
3	1, 2	sylan 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
4		fveq2 6695	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘0))
5		re0 14680	. . . . . . 7 ⊢ (ℜ‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = 0)
7	6	necon3i 2964	. . . . 5 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
9		logcl 25411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	syldan 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	imcld 14723	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		coshalfpi 25313	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
13		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
14		abscl 14807	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15	14	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	recnd 10826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
17	16	mul01d 10996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) = 0)
18		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19		absrpcl 14817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
20	8, 19	syldan 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
21	20	rpne0d 12598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
22	18, 16, 21	divcld 11573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
23	15, 22	remul2d 14755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
24	18, 16, 21	divcan2d 11575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴))) = 𝐴)
25	24	fveq2d 6699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℜ‘𝐴))
26	23, 25	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℜ‘𝐴))
27	13, 17, 26	3brtr4d 5071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
28		0re 10800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
30	22	recld 14722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
31	29, 30, 20	ltmul2d 12635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ↔ ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))))
32	27, 31	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
33		efiarg 25449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
34	8, 33	syldan 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
35	34	fveq2d 6699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
36	32, 35	breqtrrd 5067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
37		recosval 15660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ → (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
38	11, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
39	36, 38	breqtrrd 5067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
40		fveq2 6695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
42	11	recnd 10826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
43		cosneg 15671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ → (cos‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
45		fveqeq2 6704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)) → ((cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ↔ (cos‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
46	44, 45	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
47	11	absord 14944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)) ∨ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴))))
48	41, 46, 47	mpjaod 860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
49	39, 48	breqtrrd 5067	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
50	12, 49	eqbrtrid 5074	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘(π / 2)) < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
51	42	abscld 14965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
52	42	absge0d 14973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
53		logimcl 25412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
54	8, 53	syldan 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
55	54	simpld 498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
56		pire 25302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
57	56	renegcli 11104	. . . . . . . . . 10 ⊢ -π ∈ ℝ
58		ltle 10886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
59	57, 11, 58	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
60	55, 59	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
61	54	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
62		absle 14844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
63	11, 56, 62	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
64	60, 61, 63	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
65	28, 56	elicc2i 12966	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ (0[,]π) ↔ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
66	51, 52, 64, 65	syl3anbrc 1345	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ (0[,]π))
67		halfpire 25308	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
68		pirp 25305	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ+
69		rphalfcl 12578	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
70		rpge0 12564	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 2))
71	68, 69, 70	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (π / 2)
72		rphalflt 12580	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
73	68, 72	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) < π
74	67, 56, 73	ltleii 10920	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ≤ π
75	28, 56	elicc2i 12966	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) ∈ (0[,]π) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ π))
76	67, 71, 74, 75	mpbir3an 1343	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ (0[,]π)
77		cosord 25374	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ (0[,]π) ∧ (π / 2) ∈ (0[,]π)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (cos‘(π / 2)) < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))))
78	66, 76, 77	sylancl 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (cos‘(π / 2)) < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))))
79	50, 78	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2))
80		abslt 14843	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (-(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))))
81	11, 67, 80	sylancl 589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (-(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))))
82	79, 81	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2)))
83	82	simpld 498	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)))
84	82	simprd 499	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))
85	67	renegcli 11104	. . . 4 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
86	85	rexri 10856	. . 3 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
87	67	rexri 10856	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
88		elioo2 12941	. . 3 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))))
89	86, 87, 88	mp2an 692	. 2 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2)))
90	11, 83, 84, 89	syl3anbrc 1345	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  ℝcr 10693  0cc0 10694  ici 10696   · cmul 10699  ℝ^*cxr 10831   < clt 10832   ≤ cle 10833  -cneg 11028   / cdiv 11454  2c2 11850  ℝ⁺crp 12551  (,)cioo 12900  [,]cicc 12903  ℜcre 14625  ℑcim 14626  abscabs 14762  expce 15586  cosccos 15589  πcpi 15591  logclog 25397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772  ax-addf 10773  ax-mulf 10774

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-fi 9005  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-xneg 12669  df-xadd 12670  df-xmul 12671  df-ioo 12904  df-ioc 12905  df-ico 12906  df-icc 12907  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-fl 13332  df-mod 13408  df-seq 13540  df-exp 13601  df-fac 13805  df-bc 13834  df-hash 13862  df-shft 14595  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-limsup 14997  df-clim 15014  df-rlim 15015  df-sum 15215  df-ef 15592  df-sin 15594  df-cos 15595  df-pi 15597  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-starv 16764  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-unif 16772  df-hom 16773  df-cco 16774  df-rest 16881  df-topn 16882  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-topgen 16902  df-pt 16903  df-prds 16906  df-xrs 16961  df-qtop 16966  df-imas 16967  df-xps 16969  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-submnd 18173  df-mulg 18443  df-cntz 18665  df-cmn 19126  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-met 20311  df-bl 20312  df-mopn 20313  df-fbas 20314  df-fg 20315  df-cnfld 20318  df-top 21745  df-topon 21762  df-topsp 21784  df-bases 21797  df-cld 21870  df-ntr 21871  df-cls 21872  df-nei 21949  df-lp 21987  df-perf 21988  df-cn 22078  df-cnp 22079  df-haus 22166  df-tx 22413  df-hmeo 22606  df-fil 22697  df-fm 22789  df-flim 22790  df-flf 22791  df-xms 23172  df-ms 23173  df-tms 23174  df-cncf 23729  df-limc 24717  df-dv 24718  df-log 25399

This theorem is referenced by:  logcnlem4  25487  atanlogsublem  25752