MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  argregt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem argregt0 26562
Description: Closure of the argument of a complex number with positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
argregt0 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))

Proof of Theorem argregt0
StepHypRef Expression
1 recl 15089 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2 gt0ne0 11709 . . . . . 6 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0)
31, 2sylan 578 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0)
4 fveq2 6892 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = (โ„œโ€˜0))
5 re0 15131 . . . . . . 7 (โ„œโ€˜0) = 0
64, 5eqtrdi 2781 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = 0)
76necon3i 2963 . . . . 5 ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†’ ๐ด โ‰  0)
83, 7syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
9 logcl 26520 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
108, 9syldan 589 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
1110imcld 15174 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
12 coshalfpi 26422 . . . . . 6 (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) = 0
13 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜๐ด))
14 abscl 15257 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1514adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1615recnd 11272 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
1716mul01d 11443 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 0) = 0)
18 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
19 absrpcl 15267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
208, 19syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
2120rpne0d 13053 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰  0)
2218, 16, 21divcld 12020 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ด / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
2315, 22remul2d 15206 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((absโ€˜๐ด) ยท (๐ด / (absโ€˜๐ด)))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด)))))
2418, 16, 21divcan2d 12022 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (๐ด / (absโ€˜๐ด))) = ๐ด)
2524fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((absโ€˜๐ด) ยท (๐ด / (absโ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜๐ด))
2623, 25eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜๐ด))
2713, 17, 263brtr4d 5175 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 0) < ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด)))))
28 0re 11246 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3022recld 15173 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
3129, 30, 20ltmul2d 13090 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))) โ†” ((absโ€˜๐ด) ยท 0) < ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))))))
3227, 31mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))))
33 efiarg 26559 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (๐ด / (absโ€˜๐ด)))
348, 33syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (๐ด / (absโ€˜๐ด)))
3534fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) = (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))))
3632, 35breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
37 recosval 16112 . . . . . . . . 9 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
3811, 37syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
3936, 38breqtrrd 5171 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
40 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
4140a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
4211recnd 11272 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
43 cosneg 16123 . . . . . . . . . 10 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
45 fveqeq2 6901 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ ((cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” (cosโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
4644, 45syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
4711absord 15394 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆจ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
4841, 46, 47mpjaod 858 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
4939, 48breqtrrd 5171 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
5012, 49eqbrtrid 5178 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) < (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
5142abscld 15415 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
5242absge0d 15423 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
53 logimcl 26521 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
548, 53syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
5554simpld 493 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
56 pire 26411 . . . . . . . . . . 11 ฯ€ โˆˆ โ„
5756renegcli 11551 . . . . . . . . . 10 -ฯ€ โˆˆ โ„
58 ltle 11332 . . . . . . . . . 10 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
5957, 11, 58sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
6055, 59mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
6154simprd 494 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)
62 absle 15294 . . . . . . . . 9 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€ โ†” (-ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)))
6311, 56, 62sylancl 584 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€ โ†” (-ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)))
6460, 61, 63mpbir2and 711 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€)
6528, 56elicc2i 13422 . . . . . . 7 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ (0[,]ฯ€) โ†” ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆง (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€))
6651, 52, 64, 65syl3anbrc 1340 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ (0[,]ฯ€))
67 halfpire 26417 . . . . . . 7 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
68 pirp 26414 . . . . . . . 8 ฯ€ โˆˆ โ„+
69 rphalfcl 13033 . . . . . . . 8 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+)
70 rpge0 13019 . . . . . . . 8 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (ฯ€ / 2))
7168, 69, 70mp2b 10 . . . . . . 7 0 โ‰ค (ฯ€ / 2)
72 rphalflt 13035 . . . . . . . . 9 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯ€ / 2) < ฯ€)
7368, 72ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ฯ€ / 2) < ฯ€
7467, 56, 73ltleii 11367 . . . . . . 7 (ฯ€ / 2) โ‰ค ฯ€
7528, 56elicc2i 13422 . . . . . . 7 ((ฯ€ / 2) โˆˆ (0[,]ฯ€) โ†” ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฯ€ / 2) โˆง (ฯ€ / 2) โ‰ค ฯ€))
7667, 71, 74, 75mpbir3an 1338 . . . . . 6 (ฯ€ / 2) โˆˆ (0[,]ฯ€)
77 cosord 26483 . . . . . 6 (((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ (0[,]ฯ€) โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ (0[,]ฯ€)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < (ฯ€ / 2) โ†” (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) < (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
7866, 76, 77sylancl 584 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < (ฯ€ / 2) โ†” (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) < (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
7950, 78mpbird 256 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < (ฯ€ / 2))
80 abslt 15293 . . . . 5 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < (ฯ€ / 2) โ†” (-(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2))))
8111, 67, 80sylancl 584 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < (ฯ€ / 2) โ†” (-(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2))))
8279, 81mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2)))
8382simpld 493 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
8482simprd 494 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2))
8567renegcli 11551 . . . 4 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
8685rexri 11302 . . 3 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
8767rexri 11302 . . 3 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
88 elioo2 13397 . . 3 ((-(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„* โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)) โ†” ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2))))
8986, 87, 88mp2an 690 . 2 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)) โ†” ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2)))
9011, 83, 84, 89syl3anbrc 1340 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  ici 11140   ยท cmul 11143  โ„*cxr 11277   < clt 11278   โ‰ค cle 11279  -cneg 11475   / cdiv 11901  2c2 12297  โ„+crp 13006  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359  โ„œcre 15076  โ„‘cim 15077  abscabs 15213  expce 16037  cosccos 16040  ฯ€cpi 16042  logclog 26506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508
This theorem is referenced by:  logcnlem4  26597  atanlogsublem  26865
  Copyright terms: Public domain W3C validator