MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  argregt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem argregt0 25981
Description: Closure of the argument of a complex number with positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
argregt0 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))

Proof of Theorem argregt0
StepHypRef Expression
1 recl 15001 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2 gt0ne0 11625 . . . . . 6 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0)
31, 2sylan 581 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0)
4 fveq2 6843 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = (โ„œโ€˜0))
5 re0 15043 . . . . . . 7 (โ„œโ€˜0) = 0
64, 5eqtrdi 2789 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = 0)
76necon3i 2973 . . . . 5 ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†’ ๐ด โ‰  0)
83, 7syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
9 logcl 25940 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
108, 9syldan 592 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
1110imcld 15086 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
12 coshalfpi 25842 . . . . . 6 (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) = 0
13 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜๐ด))
14 abscl 15169 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1514adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1615recnd 11188 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
1716mul01d 11359 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 0) = 0)
18 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
19 absrpcl 15179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
208, 19syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
2120rpne0d 12967 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰  0)
2218, 16, 21divcld 11936 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ด / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
2315, 22remul2d 15118 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((absโ€˜๐ด) ยท (๐ด / (absโ€˜๐ด)))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด)))))
2418, 16, 21divcan2d 11938 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (๐ด / (absโ€˜๐ด))) = ๐ด)
2524fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((absโ€˜๐ด) ยท (๐ด / (absโ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜๐ด))
2623, 25eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜๐ด))
2713, 17, 263brtr4d 5138 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 0) < ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด)))))
28 0re 11162 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3022recld 15085 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
3129, 30, 20ltmul2d 13004 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))) โ†” ((absโ€˜๐ด) ยท 0) < ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))))))
3227, 31mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))))
33 efiarg 25978 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (๐ด / (absโ€˜๐ด)))
348, 33syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (๐ด / (absโ€˜๐ด)))
3534fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) = (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))))
3632, 35breqtrrd 5134 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
37 recosval 16023 . . . . . . . . 9 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
3811, 37syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
3936, 38breqtrrd 5134 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
40 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
4140a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
4211recnd 11188 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
43 cosneg 16034 . . . . . . . . . 10 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
45 fveqeq2 6852 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ ((cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” (cosโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
4644, 45syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
4711absord 15306 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆจ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
4841, 46, 47mpjaod 859 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
4939, 48breqtrrd 5134 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
5012, 49eqbrtrid 5141 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) < (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
5142abscld 15327 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
5242absge0d 15335 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
53 logimcl 25941 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
548, 53syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
5554simpld 496 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
56 pire 25831 . . . . . . . . . . 11 ฯ€ โˆˆ โ„
5756renegcli 11467 . . . . . . . . . 10 -ฯ€ โˆˆ โ„
58 ltle 11248 . . . . . . . . . 10 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
5957, 11, 58sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
6055, 59mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
6154simprd 497 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)
62 absle 15206 . . . . . . . . 9 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€ โ†” (-ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)))
6311, 56, 62sylancl 587 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€ โ†” (-ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)))
6460, 61, 63mpbir2and 712 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€)
6528, 56elicc2i 13336 . . . . . . 7 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ (0[,]ฯ€) โ†” ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆง (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€))
6651, 52, 64, 65syl3anbrc 1344 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ (0[,]ฯ€))
67 halfpire 25837 . . . . . . 7 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
68 pirp 25834 . . . . . . . 8 ฯ€ โˆˆ โ„+
69 rphalfcl 12947 . . . . . . . 8 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+)
70 rpge0 12933 . . . . . . . 8 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (ฯ€ / 2))
7168, 69, 70mp2b 10 . . . . . . 7 0 โ‰ค (ฯ€ / 2)
72 rphalflt 12949 . . . . . . . . 9 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯ€ / 2) < ฯ€)
7368, 72ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ฯ€ / 2) < ฯ€
7467, 56, 73ltleii 11283 . . . . . . 7 (ฯ€ / 2) โ‰ค ฯ€
7528, 56elicc2i 13336 . . . . . . 7 ((ฯ€ / 2) โˆˆ (0[,]ฯ€) โ†” ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฯ€ / 2) โˆง (ฯ€ / 2) โ‰ค ฯ€))
7667, 71, 74, 75mpbir3an 1342 . . . . . 6 (ฯ€ / 2) โˆˆ (0[,]ฯ€)
77 cosord 25903 . . . . . 6 (((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ (0[,]ฯ€) โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ (0[,]ฯ€)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < (ฯ€ / 2) โ†” (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) < (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
7866, 76, 77sylancl 587 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < (ฯ€ / 2) โ†” (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) < (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
7950, 78mpbird 257 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < (ฯ€ / 2))
80 abslt 15205 . . . . 5 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < (ฯ€ / 2) โ†” (-(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2))))
8111, 67, 80sylancl 587 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < (ฯ€ / 2) โ†” (-(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2))))
8279, 81mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2)))
8382simpld 496 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
8482simprd 497 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2))
8567renegcli 11467 . . . 4 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
8685rexri 11218 . . 3 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
8767rexri 11218 . . 3 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
88 elioo2 13311 . . 3 ((-(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„* โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)) โ†” ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2))))
8986, 87, 88mp2an 691 . 2 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)) โ†” ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -(ฯ€ / 2) < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < (ฯ€ / 2)))
9011, 83, 84, 89syl3anbrc 1344 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  ici 11058   ยท cmul 11061  โ„*cxr 11193   < clt 11194   โ‰ค cle 11195  -cneg 11391   / cdiv 11817  2c2 12213  โ„+crp 12920  (,)cioo 13270  [,]cicc 13273  โ„œcre 14988  โ„‘cim 14989  abscabs 15125  expce 15949  cosccos 15952  ฯ€cpi 15954  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928
This theorem is referenced by:  logcnlem4  26016  atanlogsublem  26281
  Copyright terms: Public domain W3C validator