Theorem argregt0 26587

Description: Closure of the argument of a complex number with positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
argregt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

Proof of Theorem argregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 15063	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11606	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
3	1, 2	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
4		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘0))
5		re0 15105	. . . . . . 7 ⊢ (ℜ‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = 0)
7	6	necon3i 2965	. . . . 5 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
9		logcl 26545	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	imcld 15148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		coshalfpi 26446	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
13		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
14		abscl 15231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
17	16	mul01d 11336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) = 0)
18		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19		absrpcl 15241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
20	8, 19	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
21	20	rpne0d 12982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
22	18, 16, 21	divcld 11922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
23	15, 22	remul2d 15180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
24	18, 16, 21	divcan2d 11924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴))) = 𝐴)
25	24	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℜ‘𝐴))
26	23, 25	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℜ‘𝐴))
27	13, 17, 26	3brtr4d 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
28		0re 11137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
30	22	recld 15147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
31	29, 30, 20	ltmul2d 13019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ↔ ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))))
32	27, 31	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
33		efiarg 26584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
34	8, 33	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
35	34	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
36	32, 35	breqtrrd 5114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
37		recosval 16094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ → (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
38	11, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
39	36, 38	breqtrrd 5114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
40		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
42	11	recnd 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
43		cosneg 16105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ → (cos‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
45		fveqeq2 6843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)) → ((cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ↔ (cos‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
46	44, 45	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
47	11	absord 15369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)) ∨ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴))))
48	41, 46, 47	mpjaod 861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
49	39, 48	breqtrrd 5114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
50	12, 49	eqbrtrid 5121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘(π / 2)) < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
51	42	abscld 15392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
52	42	absge0d 15400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
53		logimcl 26546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
54	8, 53	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
55	54	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
56		pire 26434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
57	56	renegcli 11446	. . . . . . . . . 10 ⊢ -π ∈ ℝ
58		ltle 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
59	57, 11, 58	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
60	55, 59	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
61	54	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
62		absle 15269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
63	11, 56, 62	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
64	60, 61, 63	mpbir2and 714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
65	28, 56	elicc2i 13356	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ (0[,]π) ↔ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
66	51, 52, 64, 65	syl3anbrc 1345	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ (0[,]π))
67		halfpire 26441	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
68		pirp 26438	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ+
69		rphalfcl 12962	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
70		rpge0 12947	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 2))
71	68, 69, 70	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (π / 2)
72		rphalflt 12964	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
73	68, 72	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) < π
74	67, 56, 73	ltleii 11260	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ≤ π
75	28, 56	elicc2i 13356	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) ∈ (0[,]π) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ π))
76	67, 71, 74, 75	mpbir3an 1343	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ (0[,]π)
77		cosord 26508	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ (0[,]π) ∧ (π / 2) ∈ (0[,]π)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (cos‘(π / 2)) < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))))
78	66, 76, 77	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (cos‘(π / 2)) < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))))
79	50, 78	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2))
80		abslt 15268	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (-(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))))
81	11, 67, 80	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (-(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))))
82	79, 81	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2)))
83	82	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)))
84	82	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))
85	67	renegcli 11446	. . . 4 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
86	85	rexri 11194	. . 3 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
87	67	rexri 11194	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
88		elioo2 13330	. . 3 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))))
89	86, 87, 88	mp2an 693	. 2 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2)))
90	11, 83, 84, 89	syl3anbrc 1345	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  ici 11031   · cmul 11034  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12227  ℝ⁺crp 12933  (,)cioo 13289  [,]cicc 13292  ℜcre 15050  ℑcim 15051  abscabs 15187  expce 16017  cosccos 16020  πcpi 16022  logclog 26531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533

This theorem is referenced by:  logcnlem4  26622  atanlogsublem  26892