Theorem argregt0 26652

Description: Closure of the argument of a complex number with positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
argregt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

Proof of Theorem argregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 15149	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11728	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
3	1, 2	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
4		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘0))
5		re0 15191	. . . . . . 7 ⊢ (ℜ‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = 0)
7	6	necon3i 2973	. . . . 5 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
9		logcl 26610	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	imcld 15234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		coshalfpi 26511	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
13		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
14		abscl 15317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
17	16	mul01d 11460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) = 0)
18		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19		absrpcl 15327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
20	8, 19	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
21	20	rpne0d 13082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
22	18, 16, 21	divcld 12043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
23	15, 22	remul2d 15266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
24	18, 16, 21	divcan2d 12045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴))) = 𝐴)
25	24	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℜ‘𝐴))
26	23, 25	eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℜ‘𝐴))
27	13, 17, 26	3brtr4d 5175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
28		0re 11263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
30	22	recld 15233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
31	29, 30, 20	ltmul2d 13119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ↔ ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))))
32	27, 31	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
33		efiarg 26649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
34	8, 33	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
35	34	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = (ℜ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
36	32, 35	breqtrrd 5171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
37		recosval 16172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ → (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
38	11, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
39	36, 38	breqtrrd 5171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
40		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
42	11	recnd 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
43		cosneg 16183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ → (cos‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
45		fveqeq2 6915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)) → ((cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ↔ (cos‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
46	44, 45	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
47	11	absord 15454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐴)) ∨ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴))))
48	41, 46, 47	mpjaod 861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (cos‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
49	39, 48	breqtrrd 5171	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
50	12, 49	eqbrtrid 5178	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (cos‘(π / 2)) < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
51	42	abscld 15475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
52	42	absge0d 15483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
53		logimcl 26611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
54	8, 53	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
55	54	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
56		pire 26500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
57	56	renegcli 11570	. . . . . . . . . 10 ⊢ -π ∈ ℝ
58		ltle 11349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
59	57, 11, 58	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
60	55, 59	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
61	54	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
62		absle 15354	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
63	11, 56, 62	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
64	60, 61, 63	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
65	28, 56	elicc2i 13453	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ (0[,]π) ↔ ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
66	51, 52, 64, 65	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ (0[,]π))
67		halfpire 26506	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
68		pirp 26503	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ+
69		rphalfcl 13062	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
70		rpge0 13048	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 2))
71	68, 69, 70	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (π / 2)
72		rphalflt 13064	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
73	68, 72	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) < π
74	67, 56, 73	ltleii 11384	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ≤ π
75	28, 56	elicc2i 13453	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) ∈ (0[,]π) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ π))
76	67, 71, 74, 75	mpbir3an 1342	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ (0[,]π)
77		cosord 26573	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ (0[,]π) ∧ (π / 2) ∈ (0[,]π)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (cos‘(π / 2)) < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))))
78	66, 76, 77	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (cos‘(π / 2)) < (cos‘(abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))))
79	50, 78	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2))
80		abslt 15353	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (-(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))))
81	11, 67, 80	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < (π / 2) ↔ (-(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))))
82	79, 81	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2)))
83	82	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)))
84	82	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))
85	67	renegcli 11570	. . . 4 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
86	85	rexri 11319	. . 3 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
87	67	rexri 11319	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
88		elioo2 13428	. . 3 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2))))
89	86, 87, 88	mp2an 692	. 2 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < (π / 2)))
90	11, 83, 84, 89	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  ici 11157   · cmul 11160  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  ℝ⁺crp 13034  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  ℜcre 15136  ℑcim 15137  abscabs 15273  expce 16097  cosccos 16100  πcpi 16102  logclog 26596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598

This theorem is referenced by:  logcnlem4  26687  atanlogsublem  26958