MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  argimgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem argimgt0 26574
Description: Closure of the argument of a complex number with positive imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
argimgt0 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ (0(,)Ο€))

Proof of Theorem argimgt0
StepHypRef Expression
1 imcl 15100 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
2 gt0ne0 11719 . . . . . 6 (((β„‘β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜π΄) β‰  0)
31, 2sylan 578 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜π΄) β‰  0)
4 fveq2 6902 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 β†’ (β„‘β€˜π΄) = (β„‘β€˜0))
5 im0 15142 . . . . . . 7 (β„‘β€˜0) = 0
64, 5eqtrdi 2784 . . . . . 6 (𝐴 = 0 β†’ (β„‘β€˜π΄) = 0)
76necon3i 2970 . . . . 5 ((β„‘β€˜π΄) β‰  0 β†’ 𝐴 β‰  0)
83, 7syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 𝐴 β‰  0)
9 logcl 26530 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
108, 9syldan 589 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
1110imcld 15184 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
12 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 0 < (β„‘β€˜π΄))
13 abscl 15267 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1413adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1514recnd 11282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ β„‚)
1615mul01d 11453 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· 0) = 0)
17 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
18 absrpcl 15277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
198, 18syldan 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
2019rpne0d 13063 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (absβ€˜π΄) β‰  0)
2117, 15, 20divcld 12030 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (𝐴 / (absβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
2214, 21immul2d 15217 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜((absβ€˜π΄) Β· (𝐴 / (absβ€˜π΄)))) = ((absβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄)))))
2317, 15, 20divcan2d 12032 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· (𝐴 / (absβ€˜π΄))) = 𝐴)
2423fveq2d 6906 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜((absβ€˜π΄) Β· (𝐴 / (absβ€˜π΄)))) = (β„‘β€˜π΄))
2522, 24eqtr3d 2770 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄)))) = (β„‘β€˜π΄))
2612, 16, 253brtr4d 5184 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· 0) < ((absβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄)))))
27 0re 11256 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 0 ∈ ℝ)
2921imcld 15184 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
3028, 29, 19ltmul2d 13100 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (0 < (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄))) ↔ ((absβ€˜π΄) Β· 0) < ((absβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄))))))
3126, 30mpbird 256 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 0 < (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄))))
32 efiarg 26569 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))) = (𝐴 / (absβ€˜π΄)))
338, 32syldan 589 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))) = (𝐴 / (absβ€˜π΄)))
3433fveq2d 6906 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) = (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄))))
3531, 34breqtrrd 5180 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 0 < (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))))
36 resinval 16121 . . . . . 6 ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) = (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))))
3711, 36syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) = (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))))
3835, 37breqtrrd 5180 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 0 < (sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
3911resincld 16129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
4039lt0neg2d 11824 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (0 < (sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) ↔ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) < 0))
4138, 40mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) < 0)
42 pire 26421 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ ℝ
43 readdcl 11231 . . . . . . . . . . 11 (((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∈ ℝ)
4411, 42, 43sylancl 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∈ ℝ)
4544adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∈ ℝ)
46 df-neg 11487 . . . . . . . . . . . 12 -Ο€ = (0 βˆ’ Ο€)
47 logimcl 26531 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ Ο€))
488, 47syldan 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ Ο€))
4948simpld 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ -Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))
5042renegcli 11561 . . . . . . . . . . . . . 14 -Ο€ ∈ ℝ
51 ltle 11342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) β†’ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
5250, 11, 51sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) β†’ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
5349, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))
5446, 53eqbrtrrid 5188 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (0 βˆ’ Ο€) ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))
5542a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
5628, 55, 11lesubaddd 11851 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((0 βˆ’ Ο€) ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ↔ 0 ≀ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€)))
5754, 56mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 0 ≀ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€))
5857adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ 0 ≀ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€))
5911, 28, 55leadd1d 11848 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0 ↔ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ≀ (0 + Ο€)))
6059biimpa 475 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ≀ (0 + Ο€))
61 picn 26422 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ β„‚
6261addlidi 11442 . . . . . . . . . 10 (0 + Ο€) = Ο€
6360, 62breqtrdi 5193 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ≀ Ο€)
6427, 42elicc2i 13432 . . . . . . . . 9 (((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∈ (0[,]Ο€) ↔ (((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∧ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ≀ Ο€))
6545, 58, 63, 64syl3anbrc 1340 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∈ (0[,]Ο€))
66 sinq12ge0 26471 . . . . . . . 8 (((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∈ (0[,]Ο€) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€)))
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€)))
6811recnd 11282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
69 sinppi 26452 . . . . . . . . 9 ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€)) = -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (sinβ€˜((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€)) = -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
7170adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ (sinβ€˜((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€)) = -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
7267, 71breqtrd 5178 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ 0 ≀ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
7372ex 411 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0 β†’ 0 ≀ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))))
7473con3d 152 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (Β¬ 0 ≀ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) β†’ Β¬ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0))
7539renegcld 11681 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
76 ltnle 11333 . . . . 5 ((-(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (-(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))))
7775, 27, 76sylancl 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (-(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))))
78 ltnle 11333 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ) β†’ (0 < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ↔ Β¬ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0))
7927, 11, 78sylancr 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (0 < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ↔ Β¬ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0))
8074, 77, 793imtr4d 293 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (-(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) < 0 β†’ 0 < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
8141, 80mpd 15 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 0 < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))
8248simprd 494 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ Ο€)
83 rpre 13024 . . . . . . . . 9 (-𝐴 ∈ ℝ+ β†’ -𝐴 ∈ ℝ)
8483renegcld 11681 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ ℝ+ β†’ --𝐴 ∈ ℝ)
85 negneg 11550 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ --𝐴 = 𝐴)
8685adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ --𝐴 = 𝐴)
8786eleq1d 2814 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (--𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
8884, 87imbitrid 243 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (-𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ ℝ))
89 lognegb 26552 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) = Ο€))
908, 89syldan 589 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) = Ο€))
91 reim0b 15108 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ (β„‘β€˜π΄) = 0))
9291adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ (β„‘β€˜π΄) = 0))
9388, 90, 923imtr3d 292 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) = Ο€ β†’ (β„‘β€˜π΄) = 0))
9493necon3d 2958 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((β„‘β€˜π΄) β‰  0 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) β‰  Ο€))
953, 94mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) β‰  Ο€)
9695necomd 2993 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ Ο€ β‰  (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))
9711, 55, 82, 96leneltd 11408 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) < Ο€)
98 0xr 11301 . . 3 0 ∈ ℝ*
9942rexri 11312 . . 3 Ο€ ∈ ℝ*
100 elioo2 13407 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ (0(,)Ο€) ↔ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ 0 < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) < Ο€)))
10198, 99, 100mp2an 690 . 2 ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ (0(,)Ο€) ↔ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ 0 < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) < Ο€))
10211, 81, 97, 101syl3anbrc 1340 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ (0(,)Ο€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  β„cr 11147  0cc0 11148  ici 11150   + caddc 11151   Β· cmul 11153  β„*cxr 11287   < clt 11288   ≀ cle 11289   βˆ’ cmin 11484  -cneg 11485   / cdiv 11911  β„+crp 13016  (,)cioo 13366  [,]cicc 13369  β„‘cim 15087  abscabs 15223  expce 16047  sincsin 16049  Ο€cpi 16052  logclog 26516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-ef 16053  df-sin 16055  df-cos 16056  df-pi 16058  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26518
This theorem is referenced by:  argimlt0  26575  logneg2  26577  logcnlem3  26606  atanlogaddlem  26873
  Copyright terms: Public domain W3C validator