MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  argimgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem argimgt0 26356
Description: Closure of the argument of a complex number with positive imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
argimgt0 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ (0(,)Ο€))

Proof of Theorem argimgt0
StepHypRef Expression
1 imcl 15062 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
2 gt0ne0 11683 . . . . . 6 (((β„‘β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜π΄) β‰  0)
31, 2sylan 578 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜π΄) β‰  0)
4 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 β†’ (β„‘β€˜π΄) = (β„‘β€˜0))
5 im0 15104 . . . . . . 7 (β„‘β€˜0) = 0
64, 5eqtrdi 2786 . . . . . 6 (𝐴 = 0 β†’ (β„‘β€˜π΄) = 0)
76necon3i 2971 . . . . 5 ((β„‘β€˜π΄) β‰  0 β†’ 𝐴 β‰  0)
83, 7syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 𝐴 β‰  0)
9 logcl 26313 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
108, 9syldan 589 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
1110imcld 15146 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
12 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 0 < (β„‘β€˜π΄))
13 abscl 15229 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1413adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1514recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ β„‚)
1615mul01d 11417 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· 0) = 0)
17 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
18 absrpcl 15239 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
198, 18syldan 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
2019rpne0d 13025 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (absβ€˜π΄) β‰  0)
2117, 15, 20divcld 11994 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (𝐴 / (absβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
2214, 21immul2d 15179 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜((absβ€˜π΄) Β· (𝐴 / (absβ€˜π΄)))) = ((absβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄)))))
2317, 15, 20divcan2d 11996 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· (𝐴 / (absβ€˜π΄))) = 𝐴)
2423fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜((absβ€˜π΄) Β· (𝐴 / (absβ€˜π΄)))) = (β„‘β€˜π΄))
2522, 24eqtr3d 2772 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄)))) = (β„‘β€˜π΄))
2612, 16, 253brtr4d 5179 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· 0) < ((absβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄)))))
27 0re 11220 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 0 ∈ ℝ)
2921imcld 15146 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
3028, 29, 19ltmul2d 13062 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (0 < (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄))) ↔ ((absβ€˜π΄) Β· 0) < ((absβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄))))))
3126, 30mpbird 256 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 0 < (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄))))
32 efiarg 26351 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))) = (𝐴 / (absβ€˜π΄)))
338, 32syldan 589 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))) = (𝐴 / (absβ€˜π΄)))
3433fveq2d 6894 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) = (β„‘β€˜(𝐴 / (absβ€˜π΄))))
3531, 34breqtrrd 5175 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 0 < (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))))
36 resinval 16082 . . . . . 6 ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) = (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))))
3711, 36syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) = (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))))
3835, 37breqtrrd 5175 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 0 < (sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
3911resincld 16090 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
4039lt0neg2d 11788 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (0 < (sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) ↔ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) < 0))
4138, 40mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) < 0)
42 pire 26204 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ ℝ
43 readdcl 11195 . . . . . . . . . . 11 (((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∈ ℝ)
4411, 42, 43sylancl 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∈ ℝ)
4544adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∈ ℝ)
46 df-neg 11451 . . . . . . . . . . . 12 -Ο€ = (0 βˆ’ Ο€)
47 logimcl 26314 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ Ο€))
488, 47syldan 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ Ο€))
4948simpld 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ -Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))
5042renegcli 11525 . . . . . . . . . . . . . 14 -Ο€ ∈ ℝ
51 ltle 11306 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) β†’ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
5250, 11, 51sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) β†’ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
5349, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))
5446, 53eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (0 βˆ’ Ο€) ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))
5542a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
5628, 55, 11lesubaddd 11815 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((0 βˆ’ Ο€) ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ↔ 0 ≀ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€)))
5754, 56mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 0 ≀ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€))
5857adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ 0 ≀ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€))
5911, 28, 55leadd1d 11812 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0 ↔ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ≀ (0 + Ο€)))
6059biimpa 475 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ≀ (0 + Ο€))
61 picn 26205 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ β„‚
6261addlidi 11406 . . . . . . . . . 10 (0 + Ο€) = Ο€
6360, 62breqtrdi 5188 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ≀ Ο€)
6427, 42elicc2i 13394 . . . . . . . . 9 (((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∈ (0[,]Ο€) ↔ (((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∧ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ≀ Ο€))
6545, 58, 63, 64syl3anbrc 1341 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∈ (0[,]Ο€))
66 sinq12ge0 26254 . . . . . . . 8 (((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€) ∈ (0[,]Ο€) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€)))
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€)))
6811recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
69 sinppi 26235 . . . . . . . . 9 ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€)) = -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (sinβ€˜((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€)) = -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
7170adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ (sinβ€˜((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) + Ο€)) = -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
7267, 71breqtrd 5173 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0) β†’ 0 ≀ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
7372ex 411 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0 β†’ 0 ≀ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))))
7473con3d 152 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (Β¬ 0 ≀ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) β†’ Β¬ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0))
7539renegcld 11645 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
76 ltnle 11297 . . . . 5 ((-(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (-(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))))
7775, 27, 76sylancl 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (-(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ -(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))))
78 ltnle 11297 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ) β†’ (0 < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ↔ Β¬ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0))
7927, 11, 78sylancr 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (0 < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ↔ Β¬ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ 0))
8074, 77, 793imtr4d 293 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (-(sinβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) < 0 β†’ 0 < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
8141, 80mpd 15 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ 0 < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))
8248simprd 494 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ Ο€)
83 rpre 12986 . . . . . . . . 9 (-𝐴 ∈ ℝ+ β†’ -𝐴 ∈ ℝ)
8483renegcld 11645 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ ℝ+ β†’ --𝐴 ∈ ℝ)
85 negneg 11514 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ --𝐴 = 𝐴)
8685adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ --𝐴 = 𝐴)
8786eleq1d 2816 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (--𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
8884, 87imbitrid 243 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (-𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ ℝ))
89 lognegb 26334 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) = Ο€))
908, 89syldan 589 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) = Ο€))
91 reim0b 15070 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ (β„‘β€˜π΄) = 0))
9291adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ (β„‘β€˜π΄) = 0))
9388, 90, 923imtr3d 292 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) = Ο€ β†’ (β„‘β€˜π΄) = 0))
9493necon3d 2959 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ ((β„‘β€˜π΄) β‰  0 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) β‰  Ο€))
953, 94mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) β‰  Ο€)
9695necomd 2994 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ Ο€ β‰  (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))
9711, 55, 82, 96leneltd 11372 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) < Ο€)
98 0xr 11265 . . 3 0 ∈ ℝ*
9942rexri 11276 . . 3 Ο€ ∈ ℝ*
100 elioo2 13369 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ (0(,)Ο€) ↔ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ 0 < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) < Ο€)))
10198, 99, 100mp2an 688 . 2 ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ (0(,)Ο€) ↔ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ 0 < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) < Ο€))
10211, 81, 97, 101syl3anbrc 1341 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 < (β„‘β€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ (0(,)Ο€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  β„‘cim 15049  abscabs 15185  expce 16009  sincsin 16011  Ο€cpi 16014  logclog 26299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301
This theorem is referenced by:  argimlt0  26357  logneg2  26359  logcnlem3  26388  atanlogaddlem  26654
  Copyright terms: Public domain W3C validator