Theorem argimgt0 26949

Description: Closure of the argument of a complex number with positive imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
argimgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))

Proof of Theorem argimgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 15287	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11788	. . . . . 6 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
3	1, 2	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
4		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
5		im0 15329	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
7	6	necon3i 2987	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
9		logcl 26905	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	imcld 15371	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘𝐴))
13		abscl 15454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
16	15	mul01d 11516	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) = 0)
17		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18		absrpcl 15464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
19	8, 18	syldan 603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
20	19	rpne0d 13176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
21	17, 15, 20	divcld 12100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
22	14, 21	immul2d 15404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = ((abs‘𝐴) · (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
23	17, 15, 20	divcan2d 12102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴))) = 𝐴)
24	23	fveq2d 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℑ‘𝐴))
25	22, 24	eqtr3d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℑ‘𝐴))
26	12, 16, 25	3brtr4d 5136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
27		0re 11317	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
29	21	imcld 15371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
30	28, 29, 19	ltmul2d 13213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ↔ ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))))
31	26, 30	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
32		efiarg 26944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
33	8, 32	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
34	33	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
35	31, 34	breqtrrd 5132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
36		resinval 16312	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ → (sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
37	11, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
38	35, 37	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
39	11	resincld 16320	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
40	39	lt0neg2d 11893	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ↔ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < 0))
41	38, 40	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < 0)
42		pire 26792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
43		readdcl 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ ℝ)
44	11, 42, 43	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ ℝ)
45	44	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ ℝ)
46		df-neg 11551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π = (0 − π)
47		logimcl 26906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ( -π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
48	8, 47	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ( -π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
49	48	simpld 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
50	42	renegcli 11626	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ∈ ℝ
51		ltle 11405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → ( -π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
52	50, 11, 51	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ( -π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
53	49, 52	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
54	46, 53	eqbrtrrid 5140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
55	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
56	28, 55, 11	lesubaddd 11920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((0 − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)))
57	54, 56	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π))
58	57	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → 0 ≤ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π))
59	11, 28, 55	leadd1d 11917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0 ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ≤ (0 + π)))
60	59	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ≤ (0 + π))
61		picn 26794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
62	61	addlidi 11505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + π) = π
63	60, 62	breqtrdi 5145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ≤ π)
64	27, 42	elicc2i 13550	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ (0[,]π) ↔ (((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ≤ π))
65	45, 58, 63, 64	syl3anbrc 1362	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ (0[,]π))
66		sinq12ge0 26846	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ (0[,]π) → 0 ≤ (sin‘((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)))
67	65, 66	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → 0 ≤ (sin‘((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)))
68	11	recnd 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
69		sinppi 26827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ → (sin‘((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)) = -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (sin‘((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)) = -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
71	70	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → (sin‘((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)) = -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
72	67, 71	breqtrd 5130	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → 0 ≤ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
73	72	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0 → 0 ≤ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
74	73	con3d 153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (¬ 0 ≤ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) → ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0))
75	39	renegcld 11750	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
76		ltnle 11396	. . . . 5 ⊢ (( -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ( -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
77	75, 27, 76	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ( -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
78		ltnle 11396	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0))
79	27, 11, 78	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0))
80	74, 77, 79	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ( -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < 0 → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴))))
81	41, 80	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)))
82	48	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
83		rpre 13136	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
84	83	renegcld 11750	. . . . . . . 8 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℝ+ → - -𝐴 ∈ ℝ)
85		negneg 11615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → - -𝐴 = 𝐴)
86	85	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → - -𝐴 = 𝐴)
87	86	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ( - -𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
88	84, 87	imbitrid 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ( -𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ))
89		lognegb 26927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ( -𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
90	8, 89	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ( -𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
91		reim0b 15295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
92	91	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
93	88, 90, 92	3imtr3d 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (ℑ‘𝐴) = 0))
94	93	necon3d 2976	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π))
95	3, 94	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π)
96	95	necomd 3010	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ≠ (ℑ‘(log‘𝐴)))
97	11, 55, 82, 96	leneltd 11471	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
98		0xr 11363	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
99	42	rexri 11374	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ*
100		elioo2 13524	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)))
101	98, 99, 100	mp2an 705	. 2 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
102	11, 81, 97, 101	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  ici 11209   + caddc 11210   · cmul 11212  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   ≤ cle 11351   − cmin 11548   -cneg 11549   / cdiv 11980  ℝ⁺crp 13127  (,)cioo 13483  [,]cicc 13486  ℑcim 15274  abscabs 15410  expce 16236  sincsin 16238  πcpi 16241  logclog 26891

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196  df-log 26893

This theorem is used by:  argimlt0  26950  logneg2  26952  logcnlem3  26981  atanlogaddlem  27250