Theorem argimgt0 26655

Description: Closure of the argument of a complex number with positive imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
argimgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))

Proof of Theorem argimgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 15151	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11729	. . . . . 6 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
3	1, 2	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
4		fveq2 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
5		im0 15193	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
7	6	necon3i 2972	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
9		logcl 26611	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	imcld 15235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘𝐴))
13		abscl 15318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
16	15	mul01d 11461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) = 0)
17		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18		absrpcl 15328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
19	8, 18	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
20	19	rpne0d 13083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
21	17, 15, 20	divcld 12044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
22	14, 21	immul2d 15268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = ((abs‘𝐴) · (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
23	17, 15, 20	divcan2d 12046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴))) = 𝐴)
24	23	fveq2d 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℑ‘𝐴))
25	22, 24	eqtr3d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℑ‘𝐴))
26	12, 16, 25	3brtr4d 5174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
27		0re 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
29	21	imcld 15235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
30	28, 29, 19	ltmul2d 13120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ↔ ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))))
31	26, 30	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
32		efiarg 26650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
33	8, 32	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
34	33	fveq2d 6909	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
35	31, 34	breqtrrd 5170	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
36		resinval 16172	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ → (sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
37	11, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
38	35, 37	breqtrrd 5170	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
39	11	resincld 16180	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
40	39	lt0neg2d 11834	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ↔ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < 0))
41	38, 40	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < 0)
42		pire 26501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
43		readdcl 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ ℝ)
44	11, 42, 43	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ ℝ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ ℝ)
46		df-neg 11496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π = (0 − π)
47		logimcl 26612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
48	8, 47	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
49	48	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
50	42	renegcli 11571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ∈ ℝ
51		ltle 11350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
52	50, 11, 51	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
53	49, 52	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
54	46, 53	eqbrtrrid 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
55	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
56	28, 55, 11	lesubaddd 11861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((0 − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)))
57	54, 56	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → 0 ≤ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π))
59	11, 28, 55	leadd1d 11858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0 ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ≤ (0 + π)))
60	59	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ≤ (0 + π))
61		picn 26502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
62	61	addlidi 11450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + π) = π
63	60, 62	breqtrdi 5183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ≤ π)
64	27, 42	elicc2i 13454	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ (0[,]π) ↔ (((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ≤ π))
65	45, 58, 63, 64	syl3anbrc 1343	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ (0[,]π))
66		sinq12ge0 26551	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ (0[,]π) → 0 ≤ (sin‘((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)))
67	65, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → 0 ≤ (sin‘((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)))
68	11	recnd 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
69		sinppi 26532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ → (sin‘((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)) = -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (sin‘((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)) = -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
71	70	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → (sin‘((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)) = -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
72	67, 71	breqtrd 5168	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → 0 ≤ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
73	72	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0 → 0 ≤ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
74	73	con3d 152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (¬ 0 ≤ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) → ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0))
75	39	renegcld 11691	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
76		ltnle 11341	. . . . 5 ⊢ ((-(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
77	75, 27, 76	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
78		ltnle 11341	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0))
79	27, 11, 78	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0))
80	74, 77, 79	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < 0 → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴))))
81	41, 80	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)))
82	48	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
83		rpre 13044	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
84	83	renegcld 11691	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → --𝐴 ∈ ℝ)
85		negneg 11560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
86	85	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → --𝐴 = 𝐴)
87	86	eleq1d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (--𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
88	84, 87	imbitrid 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ))
89		lognegb 26633	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
90	8, 89	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
91		reim0b 15159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
92	91	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
93	88, 90, 92	3imtr3d 293	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (ℑ‘𝐴) = 0))
94	93	necon3d 2960	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π))
95	3, 94	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π)
96	95	necomd 2995	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ≠ (ℑ‘(log‘𝐴)))
97	11, 55, 82, 96	leneltd 11416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
98		0xr 11309	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
99	42	rexri 11320	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ*
100		elioo2 13429	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)))
101	98, 99, 100	mp2an 692	. 2 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
102	11, 81, 97, 101	syl3anbrc 1343	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  ici 11158   + caddc 11159   · cmul 11161  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  ℝ⁺crp 13035  (,)cioo 13388  [,]cicc 13391  ℑcim 15138  abscabs 15274  expce 16098  sincsin 16100  πcpi 16103  logclog 26597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599

This theorem is referenced by:  argimlt0  26656  logneg2  26658  logcnlem3  26687  atanlogaddlem  26957