Theorem argimgt0 26828

Description: Closure of the argument of a complex number with positive imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
argimgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))

Proof of Theorem argimgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 15186	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11694	. . . . . 6 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
3	1, 2	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
4		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
5		im0 15228	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
7	6	necon3i 2992	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
9		logcl 26784	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	imcld 15270	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘𝐴))
13		abscl 15353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
16	15	mul01d 11424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) = 0)
17		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18		absrpcl 15363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
19	8, 18	syldan 603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
20	19	rpne0d 13081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
21	17, 15, 20	divcld 12006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
22	14, 21	immul2d 15303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = ((abs‘𝐴) · (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
23	17, 15, 20	divcan2d 12008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴))) = 𝐴)
24	23	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((abs‘𝐴) · (𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℑ‘𝐴))
25	22, 24	eqtr3d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))) = (ℑ‘𝐴))
26	12, 16, 25	3brtr4d 5145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴)))))
27		0re 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
29	21	imcld 15270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
30	28, 29, 19	ltmul2d 13118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) ↔ ((abs‘𝐴) · 0) < ((abs‘𝐴) · (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))))
31	26, 30	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
32		efiarg 26823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
33	8, 32	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
34	33	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = (ℑ‘(𝐴 / (abs‘𝐴))))
35	31, 34	breqtrrd 5141	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
36		resinval 16213	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ → (sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
37	11, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
38	35, 37	breqtrrd 5141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
39	11	resincld 16221	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
40	39	lt0neg2d 11799	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ↔ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < 0))
41	38, 40	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < 0)
42		pire 26670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
43		readdcl 11198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ ℝ)
44	11, 42, 43	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ ℝ)
45	44	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ ℝ)
46		df-neg 11459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π = (0 − π)
47		logimcl 26785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
48	8, 47	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
49	48	simpld 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
50	42	renegcli 11534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ∈ ℝ
51		ltle 11313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
52	50, 11, 51	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
53	49, 52	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
54	46, 53	eqbrtrrid 5149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
55	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
56	28, 55, 11	lesubaddd 11826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((0 − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)))
57	54, 56	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π))
58	57	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → 0 ≤ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π))
59	11, 28, 55	leadd1d 11823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0 ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ≤ (0 + π)))
60	59	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ≤ (0 + π))
61		picn 26672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
62	61	addlidi 11413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + π) = π
63	60, 62	breqtrdi 5154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ≤ π)
64	27, 42	elicc2i 13455	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ (0[,]π) ↔ (((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ≤ π))
65	45, 58, 63, 64	syl3anbrc 1362	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ (0[,]π))
66		sinq12ge0 26724	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) + π) ∈ (0[,]π) → 0 ≤ (sin‘((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)))
67	65, 66	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → 0 ≤ (sin‘((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)))
68	11	recnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
69		sinppi 26705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ → (sin‘((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)) = -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (sin‘((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)) = -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
71	70	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → (sin‘((ℑ‘(log‘𝐴)) + π)) = -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
72	67, 71	breqtrd 5139	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0) → 0 ≤ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
73	72	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0 → 0 ≤ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
74	73	con3d 153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (¬ 0 ≤ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) → ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0))
75	39	renegcld 11656	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
76		ltnle 11304	. . . . 5 ⊢ ((-(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
77	75, 27, 76	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴)))))
78		ltnle 11304	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0))
79	27, 11, 78	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ 0))
80	74, 77, 79	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-(sin‘(ℑ‘(log‘𝐴))) < 0 → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴))))
81	41, 80	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)))
82	48	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
83		rpre 13041	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
84	83	renegcld 11656	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → --𝐴 ∈ ℝ)
85		negneg 11523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
86	85	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → --𝐴 = 𝐴)
87	86	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (--𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
88	84, 87	imbitrid 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ))
89		lognegb 26806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
90	8, 89	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
91		reim0b 15194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
92	91	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
93	88, 90, 92	3imtr3d 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (ℑ‘𝐴) = 0))
94	93	necon3d 2981	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π))
95	3, 94	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π)
96	95	necomd 3015	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ≠ (ℑ‘(log‘𝐴)))
97	11, 55, 82, 96	leneltd 11379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
98		0xr 11271	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
99	42	rexri 11282	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ*
100		elioo2 13429	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)))
101	98, 99, 100	mp2an 705	. 2 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
102	11, 81, 97, 101	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  0cc0 11115  ici 11117   + caddc 11118   · cmul 11120  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258   ≤ cle 11259   − cmin 11456  -cneg 11457   / cdiv 11886  ℝ⁺crp 13032  (,)cioo 13388  [,]cicc 13391  ℑcim 15173  abscabs 15309  expce 16137  sincsin 16139  πcpi 16142  logclog 26770

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-fac 14328  df-bc 14357  df-hash 14385  df-shft 15128  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-limsup 15546  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-ef 16143  df-sin 16145  df-cos 16146  df-pi 16148  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-prds 17522  df-xrs 17578  df-qtop 17583  df-imas 17584  df-xps 17586  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-mulg 19178  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-lp 23343  df-perf 23344  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-haus 23522  df-tx 23770  df-hmeo 23963  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-xms 24528  df-ms 24529  df-tms 24530  df-cncf 25088  df-limc 26076  df-dv 26077  df-log 26772

This theorem is used by:  argimlt0  26829  logneg2  26831  logcnlem3  26860  atanlogaddlem  27129