MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iserodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iserodd 16767
Description: Collect the odd terms in a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iserodd.f ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
iserodd.h (𝑛 = ((2 Β· π‘˜) + 1) β†’ 𝐡 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
iserodd (πœ‘ β†’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))) ⇝ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   𝐢,𝑛   π‘˜,𝑛,πœ‘
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜,𝑛)   𝐡(𝑛)   𝐢(π‘˜)

Proof of Theorem iserodd
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12863 . 2 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 nnuz 12864 . 2 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3 0zd 12569 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
4 1zzd 12592 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
5 2nn0 12488 . . . . . 6 2 ∈ β„•0
65a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•0)
7 nn0mulcl 12507 . . . . 5 ((2 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2 Β· π‘š) ∈ β„•0)
86, 7sylan 580 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2 Β· π‘š) ∈ β„•0)
9 nn0p1nn 12510 . . . 4 ((2 Β· π‘š) ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· π‘š) + 1) ∈ β„•)
108, 9syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· π‘š) + 1) ∈ β„•)
1110fmpttd 7114 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)):β„•0βŸΆβ„•)
12 nn0mulcl 12507 . . . . . 6 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑖) ∈ β„•0)
136, 12sylan 580 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑖) ∈ β„•0)
1413nn0red 12532 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑖) ∈ ℝ)
15 peano2nn0 12511 . . . . . 6 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 + 1) ∈ β„•0)
16 nn0mulcl 12507 . . . . . 6 ((2 ∈ β„•0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (𝑖 + 1)) ∈ β„•0)
176, 15, 16syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (𝑖 + 1)) ∈ β„•0)
1817nn0red 12532 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
19 1red 11214 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ ℝ)
20 nn0re 12480 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
2120adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
2221ltp1d 12143 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 < (𝑖 + 1))
23 1red 11214 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ ℝ)
2420, 23readdcld 11242 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
25 2rp 12978 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
2625a1i 11 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ ℝ+)
2720, 24, 26ltmul2d 13057 . . . . . 6 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (2 Β· 𝑖) < (2 Β· (𝑖 + 1))))
2827adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (2 Β· 𝑖) < (2 Β· (𝑖 + 1))))
2922, 28mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑖) < (2 Β· (𝑖 + 1)))
3014, 18, 19, 29ltadd1dd 11824 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· 𝑖) + 1) < ((2 Β· (𝑖 + 1)) + 1))
31 oveq2 7416 . . . . . 6 (π‘š = 𝑖 β†’ (2 Β· π‘š) = (2 Β· 𝑖))
3231oveq1d 7423 . . . . 5 (π‘š = 𝑖 β†’ ((2 Β· π‘š) + 1) = ((2 Β· 𝑖) + 1))
33 eqid 2732 . . . . 5 (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))
34 ovex 7441 . . . . 5 ((2 Β· 𝑖) + 1) ∈ V
3532, 33, 34fvmpt 6998 . . . 4 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘–) = ((2 Β· 𝑖) + 1))
3635adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘–) = ((2 Β· 𝑖) + 1))
3715adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖 + 1) ∈ β„•0)
38 oveq2 7416 . . . . . 6 (π‘š = (𝑖 + 1) β†’ (2 Β· π‘š) = (2 Β· (𝑖 + 1)))
3938oveq1d 7423 . . . . 5 (π‘š = (𝑖 + 1) β†’ ((2 Β· π‘š) + 1) = ((2 Β· (𝑖 + 1)) + 1))
40 ovex 7441 . . . . 5 ((2 Β· (𝑖 + 1)) + 1) ∈ V
4139, 33, 40fvmpt 6998 . . . 4 ((𝑖 + 1) ∈ β„•0 β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜(𝑖 + 1)) = ((2 Β· (𝑖 + 1)) + 1))
4237, 41syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜(𝑖 + 1)) = ((2 Β· (𝑖 + 1)) + 1))
4330, 36, 423brtr4d 5180 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘–) < ((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜(𝑖 + 1)))
44 eldifi 4126 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
45 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
46 0cnd 11206 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 0 ∈ β„‚)
47 nnz 12578 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
49 odd2np1 16283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„€ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛))
51 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
52 nnm1nn0 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5352ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5453nn0red 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
5525a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ 2 ∈ ℝ+)
5653nn0ge0d 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ 0 ≀ (𝑛 βˆ’ 1))
5754, 55, 56divge0d 13055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ 0 ≀ ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))
58 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)
5958oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 1) = (𝑛 βˆ’ 1))
60 2cn 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ β„‚
61 zcn 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
6261ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
63 mulcl 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
6460, 62, 63sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
65 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ β„‚
66 pncan 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 Β· π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 1) = (2 Β· π‘˜))
6764, 65, 66sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 1) = (2 Β· π‘˜))
6859, 67eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) = (2 Β· π‘˜))
6968oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 1) / 2) = ((2 Β· π‘˜) / 2))
70 2cnd 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ 2 ∈ β„‚)
71 2ne0 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 β‰  0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ 2 β‰  0)
7362, 70, 72divcan3d 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ ((2 Β· π‘˜) / 2) = π‘˜)
7469, 73eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 1) / 2) = π‘˜)
7557, 74breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ 0 ≀ π‘˜)
76 elnn0z 12570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„•0 ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 0 ≀ π‘˜))
7751, 75, 76sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
7877ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛) β†’ π‘˜ ∈ β„•0))
79 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛)
8079eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛) β†’ 𝑛 = ((2 Β· π‘˜) + 1))
8178, 80jca2 514 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑛 = ((2 Β· π‘˜) + 1))))
8281reximdv2 3164 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((2 Β· π‘˜) + 1) = 𝑛 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑛 = ((2 Β· π‘˜) + 1)))
8350, 82sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑛 = ((2 Β· π‘˜) + 1)))
84 iserodd.f . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
85 iserodd.h . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = ((2 Β· π‘˜) + 1) β†’ 𝐡 = 𝐢)
8685eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = ((2 Β· π‘˜) + 1) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ 𝐢 ∈ β„‚))
8784, 86syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑛 = ((2 Β· π‘˜) + 1) β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
8887rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑛 = ((2 Β· π‘˜) + 1) β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
8988adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑛 = ((2 Β· π‘˜) + 1) β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
9083, 89syld 47 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
9190imp 407 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
9246, 91ifclda 4563 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡) ∈ β„‚)
93 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))
9493fvmpt2 7009 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜π‘›) = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))
9545, 92, 94syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜π‘›) = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))
9644, 95sylan2 593 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜π‘›) = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))
97 eldif 3958 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (β„• βˆ– ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))) ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 𝑛 ∈ ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))))
98 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = π‘˜ β†’ (2 Β· π‘š) = (2 Β· π‘˜))
9998oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = π‘˜ β†’ ((2 Β· π‘š) + 1) = ((2 Β· π‘˜) + 1))
10099cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘˜) + 1))
101100elrnmpt 5955 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V β†’ (𝑛 ∈ ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑛 = ((2 Β· π‘˜) + 1)))
102101elv 3480 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑛 = ((2 Β· π‘˜) + 1))
10383, 102syl6ibr 251 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 β†’ 𝑛 ∈ ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))))
104103con1d 145 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Β¬ 𝑛 ∈ ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)) β†’ 2 βˆ₯ 𝑛))
105104impr 455 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 𝑛 ∈ ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)))) β†’ 2 βˆ₯ 𝑛)
10697, 105sylan2b 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)))) β†’ 2 βˆ₯ 𝑛)
107106iftrued 4536 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)))) β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡) = 0)
10896, 107eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„• βˆ– ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜π‘›) = 0)
109108ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ (β„• βˆ– ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)))((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜π‘›) = 0)
110 nfv 1917 . . . . 5 Ⅎ𝑗((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜π‘›) = 0
111 nffvmpt1 6902 . . . . . 6 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜π‘—)
112111nfeq1 2918 . . . . 5 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜π‘—) = 0
113 fveqeq2 6900 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜π‘›) = 0 ↔ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜π‘—) = 0))
114110, 112, 113cbvralw 3303 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ (β„• βˆ– ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)))((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜π‘›) = 0 ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„• βˆ– ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)))((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜π‘—) = 0)
115109, 114sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„• βˆ– ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)))((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜π‘—) = 0)
116115r19.21bi 3248 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„• βˆ– ran (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1)))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜π‘—) = 0)
11792fmpttd 7114 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡)):β„•βŸΆβ„‚)
118117ffvelcdmda 7086 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
119 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
120 eqid 2732 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)
121120fvmpt2 7009 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = 𝐢)
122119, 84, 121syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = 𝐢)
123 ovex 7441 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ V
12499, 33, 123fvmpt 6998 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘˜) = ((2 Β· π‘˜) + 1))
125124adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘˜) = ((2 Β· π‘˜) + 1))
126125fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘˜)) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((2 Β· π‘˜) + 1)))
127 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((2 Β· π‘˜) + 1) β†’ (2 βˆ₯ 𝑛 ↔ 2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) + 1)))
128127, 85ifbieq2d 4554 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((2 Β· π‘˜) + 1) β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡) = if(2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) + 1), 0, 𝐢))
129 nn0mulcl 12507 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•0)
1306, 129sylan 580 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•0)
131 nn0p1nn 12510 . . . . . . . . 9 ((2 Β· π‘˜) ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•)
132130, 131syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•)
133 2z 12593 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„€
134 nn0z 12582 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
135134adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
136 dvdsmul1 16220 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 2 βˆ₯ (2 Β· π‘˜))
137133, 135, 136sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 2 βˆ₯ (2 Β· π‘˜))
138130nn0zd 12583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„€)
139 2nn 12284 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
141 1lt2 12382 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 1 < 2)
143 ndvdsp1 16353 . . . . . . . . . . . 12 (((2 Β· π‘˜) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„• ∧ 1 < 2) β†’ (2 βˆ₯ (2 Β· π‘˜) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) + 1)))
144138, 140, 142, 143syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (2 Β· π‘˜) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) + 1)))
145137, 144mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) + 1))
146145iffalsed 4539 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) + 1), 0, 𝐢) = 𝐢)
147146, 84eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) + 1), 0, 𝐢) ∈ β„‚)
14893, 128, 132, 147fvmptd3 7021 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) = if(2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) + 1), 0, 𝐢))
149126, 148, 1463eqtrd 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘˜)) = 𝐢)
150122, 149eqtr4d 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘˜)))
151150ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘˜)))
152 nfv 1917 . . . . 5 Ⅎ𝑖((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘˜))
153 nffvmpt1 6902 . . . . . 6 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)β€˜π‘–)
154153nfeq1 2918 . . . . 5 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)β€˜π‘–) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘–))
155 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)β€˜π‘–))
156 2fveq3 6896 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘˜)) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘–)))
157155, 156eqeq12d 2748 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)β€˜π‘–) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘–))))
158152, 154, 157cbvralw 3303 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘˜)) ↔ βˆ€π‘– ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)β€˜π‘–) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘–)))
159151, 158sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)β€˜π‘–) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘–)))
160159r19.21bi 3248 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)β€˜π‘–) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))β€˜((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· π‘š) + 1))β€˜π‘–)))
1611, 2, 3, 4, 11, 43, 116, 118, 160isercoll2 15614 1 (πœ‘ β†’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐢)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 𝐡))) ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  β„•cn 12211  2c2 12266  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  β„+crp 12973  seqcseq 13965   ⇝ cli 15427   βˆ₯ cdvds 16196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-dvds 16197
This theorem is referenced by:  atantayl3  26441  leibpilem2  26443
  Copyright terms: Public domain W3C validator