Theorem iserodd 16806

Description: Collect the odd terms in a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iserodd.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
iserodd.h	⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
iserodd	⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))) ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑛   𝑘,𝑛,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem iserodd

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12826	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		nnuz 12827	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		0zd 12536	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4		1zzd 12558	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5		2nn0 12454	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
7		nn0mulcl 12473	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑚) ∈ ℕ0)
8	6, 7	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑚) ∈ ℕ0)
9		nn0p1nn 12476	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑚) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑚) + 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑚) + 1) ∈ ℕ)
11	10	fmpttd 7067	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)):ℕ0⟶ℕ)
12		nn0mulcl 12473	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) ∈ ℕ0)
13	6, 12	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) ∈ ℝ)
15		peano2nn0 12477	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
16		nn0mulcl 12473	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0) → (2 · (𝑖 + 1)) ∈ ℕ0)
17	6, 15, 16	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑖 + 1)) ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
19		1red 11145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
20		nn0re 12446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
22	21	ltp1d 12086	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
23		1red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
24	20, 23	readdcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
25		2rp 12947	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
27	20, 24, 26	ltmul2d 13028	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (2 · 𝑖) < (2 · (𝑖 + 1))))
28	27	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (2 · 𝑖) < (2 · (𝑖 + 1))))
29	22, 28	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) < (2 · (𝑖 + 1)))
30	14, 18, 19, 29	ltadd1dd 11761	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑖) + 1) < ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
31		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑖))
32	31	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑖) + 1))
33		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))
34		ovex 7400	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑖) + 1) ∈ V
35	32, 33, 34	fvmpt 6947	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖) = ((2 · 𝑖) + 1))
36	35	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖) = ((2 · 𝑖) + 1))
37	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
38		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑖 + 1) → (2 · 𝑚) = (2 · (𝑖 + 1)))
39	38	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑖 + 1) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
40		ovex 7400	. . . . 5 ⊢ ((2 · (𝑖 + 1)) + 1) ∈ V
41	39, 33, 40	fvmpt 6947	. . . 4 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘(𝑖 + 1)) = ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
42	37, 41	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘(𝑖 + 1)) = ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
43	30, 36, 42	3brtr4d 5117	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖) < ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘(𝑖 + 1)))
44		eldifi 4071	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
45		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
46		0cnd 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → 0 ∈ ℂ)
47		nnz 12545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
49		odd2np1 16310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛))
51		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℤ)
52		nnm1nn0 12478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
53	52	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
54	53	nn0red 12499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
55	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 2 ∈ ℝ+)
56	53	nn0ge0d 12501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 0 ≤ (𝑛 − 1))
57	54, 55, 56	divge0d 13026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 0 ≤ ((𝑛 − 1) / 2))
58		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)
59	58	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (𝑛 − 1))
60		2cn 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℂ
61		zcn 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
62	61	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℂ)
63		mulcl 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
64	60, 62, 63	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
65		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
66		pncan 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
67	64, 65, 66	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
68	59, 67	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (𝑛 − 1) = (2 · 𝑘))
69	68	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((𝑛 − 1) / 2) = ((2 · 𝑘) / 2))
70		2cnd 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
71		2ne0 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ≠ 0
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 2 ≠ 0)
73	62, 70, 72	divcan3d 11936	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((2 · 𝑘) / 2) = 𝑘)
74	69, 73	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((𝑛 − 1) / 2) = 𝑘)
75	57, 74	breqtrd 5111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 0 ≤ 𝑘)
76		elnn0z 12537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
77	51, 75, 76	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
78	77	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0))
79		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)
80	79	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1))
81	78, 80	jca2 513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1))))
82	81	reximdv2 3147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1)))
83	50, 82	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1)))
84		iserodd.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
85		iserodd.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 = 𝐶)
86	85	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
87	84, 86	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 ∈ ℂ))
88	87	rexlimdva 3138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 ∈ ℂ))
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 ∈ ℂ))
90	83, 89	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛 → 𝐵 ∈ ℂ))
91	90	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → 𝐵 ∈ ℂ)
92	46, 91	ifclda 4502	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) ∈ ℂ)
93		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
94	93	fvmpt2 6959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
95	45, 92, 94	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
96	44, 95	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
97		eldif 3899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))))
98		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑘))
99	98	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
100	99	cbvmptv 5189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑘) + 1))
101	100	elrnmpt 5913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ V → (𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1)))
102	101	elv 3434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1))
103	83, 102	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛 → 𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))))
104	103	con1d 145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) → 2 ∥ 𝑛))
105	104	impr 454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → 2 ∥ 𝑛)
106	97, 105	sylan2b 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → 2 ∥ 𝑛)
107	106	iftrued 4474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) = 0)
108	96, 107	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0)
109	108	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0)
110		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0
111		nffvmpt1 6851	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗)
112	111	nfeq1 2914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0
113		fveqeq2 6849	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0 ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0))
114	110, 112, 113	cbvralw 3279	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0)
115	109, 114	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0)
116	115	r19.21bi 3229	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0)
117	92	fmpttd 7067	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵)):ℕ⟶ℂ)
118	117	ffvelcdmda 7036	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) ∈ ℂ)
119		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
120		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)
121	120	fvmpt2 6959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
122	119, 84, 121	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
123		ovex 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ V
124	99, 33, 123	fvmpt 6947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
125	124	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
126	125	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((2 · 𝑘) + 1)))
127		breq2 5089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
128	127, 85	ifbieq2d 4493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶))
129		nn0mulcl 12473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
130	6, 129	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
131		nn0p1nn 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
133		2z 12559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
134		nn0z 12548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
135	134	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
136		dvdsmul1 16246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑘))
137	133, 135, 136	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∥ (2 · 𝑘))
138	130	nn0zd 12549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
139		2nn 12254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
141		1lt2 12347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
142	141	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 < 2)
143		ndvdsp1 16380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑘) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ (2 · 𝑘) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
144	138, 140, 142, 143	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (2 · 𝑘) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
145	137, 144	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1))
146	145	iffalsed 4477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶) = 𝐶)
147	146, 84	eqeltrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶) ∈ ℂ)
148	93, 128, 132, 147	fvmptd3 6971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((2 · 𝑘) + 1)) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶))
149	126, 148, 146	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) = 𝐶)
150	122, 149	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)))
151	150	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)))
152		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘))
153		nffvmpt1 6851	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑖)
154	153	nfeq1 2914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖))
155		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑖))
156		2fveq3 6845	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
157	155, 156	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖))))
158	152, 154, 157	cbvralw 3279	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) ↔ ∀𝑖 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
159	151, 158	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
160	159	r19.21bi 3229	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
161	1, 2, 3, 4, 11, 43, 116, 118, 160	isercoll2 15631	1 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))) ⇝ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886  ifcif 4466   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℝ⁺crp 12942  seqcseq 13963   ⇝ cli 15446   ∥ cdvds 16221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-dvds 16222

This theorem is referenced by:  atantayl3  26903  leibpilem2  26905