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Theorem iserodd 15833
Description: Collect the odd terms in a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iserodd.f ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
iserodd.h (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
iserodd (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))) ⇝ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑛   𝑘,𝑛,𝜑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem iserodd
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11927 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 nnuz 11928 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
3 0zd 11640 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4 1zzd 11660 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5 2nn0 11561 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
7 nn0mulcl 11580 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑚) ∈ ℕ0)
86, 7sylan 575 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑚) ∈ ℕ0)
9 nn0p1nn 11583 . . . 4 ((2 · 𝑚) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑚) + 1) ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑚) + 1) ∈ ℕ)
1110fmpttd 6579 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)):ℕ0⟶ℕ)
12 nn0mulcl 11580 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) ∈ ℕ0)
136, 12sylan 575 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) ∈ ℕ0)
1413nn0red 11603 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) ∈ ℝ)
15 peano2nn0 11584 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
16 nn0mulcl 11580 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0) → (2 · (𝑖 + 1)) ∈ ℕ0)
176, 15, 16syl2an 589 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑖 + 1)) ∈ ℕ0)
1817nn0red 11603 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
19 1red 10298 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
20 nn0re 11552 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
2120adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
2221ltp1d 11212 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
23 1red 10298 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
2420, 23readdcld 10327 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
25 2rp 12038 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
2625a1i 11 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
2720, 24, 26ltmul2d 12117 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (2 · 𝑖) < (2 · (𝑖 + 1))))
2827adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (2 · 𝑖) < (2 · (𝑖 + 1))))
2922, 28mpbid 223 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) < (2 · (𝑖 + 1)))
3014, 18, 19, 29ltadd1dd 10896 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑖) + 1) < ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
31 oveq2 6854 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑖 → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑖))
3231oveq1d 6861 . . . . 5 (𝑚 = 𝑖 → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑖) + 1))
33 eqid 2765 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))
34 ovex 6878 . . . . 5 ((2 · 𝑖) + 1) ∈ V
3532, 33, 34fvmpt 6475 . . . 4 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖) = ((2 · 𝑖) + 1))
3635adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖) = ((2 · 𝑖) + 1))
3715adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
38 oveq2 6854 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑖 + 1) → (2 · 𝑚) = (2 · (𝑖 + 1)))
3938oveq1d 6861 . . . . 5 (𝑚 = (𝑖 + 1) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
40 ovex 6878 . . . . 5 ((2 · (𝑖 + 1)) + 1) ∈ V
4139, 33, 40fvmpt 6475 . . . 4 ((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘(𝑖 + 1)) = ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
4237, 41syl 17 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘(𝑖 + 1)) = ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
4330, 36, 423brtr4d 4843 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖) < ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘(𝑖 + 1)))
44 eldifi 3896 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
45 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
46 0cnd 10290 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → 0 ∈ ℂ)
47 nnz 11651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
4847adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
49 odd2np1 15361 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛))
51 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℤ)
52 nnm1nn0 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5352ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5453nn0red 11603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
5525a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 2 ∈ ℝ+)
5653nn0ge0d 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 0 ≤ (𝑛 − 1))
5754, 55, 56divge0d 12115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 0 ≤ ((𝑛 − 1) / 2))
58 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)
5958oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (𝑛 − 1))
60 2cn 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
61 zcn 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
6261ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℂ)
63 mulcl 10277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
6460, 62, 63sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
65 ax-1cn 10251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
66 pncan 10545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
6764, 65, 66sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
6859, 67eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (𝑛 − 1) = (2 · 𝑘))
6968oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((𝑛 − 1) / 2) = ((2 · 𝑘) / 2))
70 2cnd 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
71 2ne0 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 2 ≠ 0)
7362, 70, 72divcan3d 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((2 · 𝑘) / 2) = 𝑘)
7469, 73eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((𝑛 − 1) / 2) = 𝑘)
7557, 74breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 0 ≤ 𝑘)
76 elnn0z 11641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
7751, 75, 76sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7877ex 401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0))
79 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)
8079eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1))
8178, 80jca2 509 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ0𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1))))
8281reximdv2 3160 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1)))
8350, 82sylbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1)))
84 iserodd.f . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
85 iserodd.h . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 = 𝐶)
8685eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
8784, 86syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 ∈ ℂ))
8887rexlimdva 3178 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 ∈ ℂ))
8988adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 ∈ ℂ))
9083, 89syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛𝐵 ∈ ℂ))
9190imp 395 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → 𝐵 ∈ ℂ)
9246, 91ifclda 4279 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) ∈ ℂ)
93 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
9493fvmpt2 6484 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
9545, 92, 94syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
9644, 95sylan2 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
97 eldif 3744 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))))
98 vex 3353 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 ∈ V
99 oveq2 6854 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑘 → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑘))
10099oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑘 → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
101100cbvmptv 4911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑘) + 1))
102101elrnmpt 5543 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V → (𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1)))
10398, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1))
10483, 103syl6ibr 243 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))))
105104con1d 141 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) → 2 ∥ 𝑛))
106105impr 446 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → 2 ∥ 𝑛)
10797, 106sylan2b 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → 2 ∥ 𝑛)
108107iftrued 4253 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) = 0)
10996, 108eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0)
110109ralrimiva 3113 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0)
111 nfv 2009 . . . . 5 𝑗((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0
112 nffvmpt1 6390 . . . . . 6 𝑛((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗)
113112nfeq1 2921 . . . . 5 𝑛((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0
114 fveqeq2 6388 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0 ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0))
115111, 113, 114cbvral 3315 . . . 4 (∀𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0)
116110, 115sylib 209 . . 3 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0)
117116r19.21bi 3079 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0)
11892fmpttd 6579 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵)):ℕ⟶ℂ)
119118ffvelrnda 6553 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) ∈ ℂ)
120 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
121 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
122121fvmpt2 6484 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
123120, 84, 122syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
124 ovex 6878 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑘) + 1) ∈ V
125100, 33, 124fvmpt 6475 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
126125adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
127126fveq2d 6383 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((2 · 𝑘) + 1)))
128 nn0mulcl 11580 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
1296, 128sylan 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
130 nn0p1nn 11583 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
131129, 130syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
132 2z 11661 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
133 nn0z 11652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
134133adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
135 dvdsmul1 15302 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑘))
136132, 134, 135sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∥ (2 · 𝑘))
137129nn0zd 11732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
138 2nn 11349 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
140 1lt2 11453 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 < 2)
142 ndvdsp1 15430 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑘) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ (2 · 𝑘) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
143137, 139, 141, 142syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (2 · 𝑘) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
144136, 143mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1))
145144iffalsed 4256 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶) = 𝐶)
146145, 84eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶) ∈ ℂ)
147 breq2 4815 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
148147, 85ifbieq2d 4270 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶))
149148, 93fvmptg 6473 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ ∧ if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((2 · 𝑘) + 1)) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶))
150131, 146, 149syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((2 · 𝑘) + 1)) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶))
151127, 150, 1453eqtrd 2803 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) = 𝐶)
152123, 151eqtr4d 2802 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)))
153152ralrimiva 3113 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)))
154 nfv 2009 . . . . 5 𝑖((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘))
155 nffvmpt1 6390 . . . . . 6 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖)
156155nfeq1 2921 . . . . 5 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖))
157 fveq2 6379 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖))
158 2fveq3 6384 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
159157, 158eqeq12d 2780 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖))))
160154, 156, 159cbvral 3315 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) ↔ ∀𝑖 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
161153, 160sylib 209 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
162161r19.21bi 3079 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
1631, 2, 3, 4, 11, 43, 117, 119, 162isercoll2 14698 1 (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))) ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cdif 3731  ifcif 4245   class class class wbr 4811  cmpt 4890  ran crn 5280  cfv 6070  (class class class)co 6846  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198   < clt 10332  cle 10333  cmin 10524   / cdiv 10942  cn 11278  2c2 11331  0cn0 11542  cz 11628  +crp 12033  seqcseq 13013  cli 14514  cdvds 15279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-sup 8559  df-inf 8560  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-n0 11543  df-xnn0 11615  df-z 11629  df-uz 11892  df-rp 12034  df-fz 12539  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-shft 14106  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-clim 14518  df-dvds 15280
This theorem is referenced by:  atantayl3  24971  leibpilem2  24973
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