Theorem iserodd 16772

Description: Collect the odd terms in a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iserodd.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
iserodd.h	⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
iserodd	⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))) ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑛   𝑘,𝑛,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem iserodd

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12868	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		nnuz 12869	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		0zd 12574	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4		1zzd 12597	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5		2nn0 12493	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
7		nn0mulcl 12512	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑚) ∈ ℕ0)
8	6, 7	sylan 578	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑚) ∈ ℕ0)
9		nn0p1nn 12515	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑚) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑚) + 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑚) + 1) ∈ ℕ)
11	10	fmpttd 7115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)):ℕ0⟶ℕ)
12		nn0mulcl 12512	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) ∈ ℕ0)
13	6, 12	sylan 578	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12537	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) ∈ ℝ)
15		peano2nn0 12516	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
16		nn0mulcl 12512	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0) → (2 · (𝑖 + 1)) ∈ ℕ0)
17	6, 15, 16	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑖 + 1)) ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12537	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
19		1red 11219	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
20		nn0re 12485	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
21	20	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
22	21	ltp1d 12148	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
23		1red 11219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
24	20, 23	readdcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
25		2rp 12983	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
27	20, 24, 26	ltmul2d 13062	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (2 · 𝑖) < (2 · (𝑖 + 1))))
28	27	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (2 · 𝑖) < (2 · (𝑖 + 1))))
29	22, 28	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) < (2 · (𝑖 + 1)))
30	14, 18, 19, 29	ltadd1dd 11829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑖) + 1) < ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
31		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑖))
32	31	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑖) + 1))
33		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))
34		ovex 7444	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑖) + 1) ∈ V
35	32, 33, 34	fvmpt 6997	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖) = ((2 · 𝑖) + 1))
36	35	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖) = ((2 · 𝑖) + 1))
37	15	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
38		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑖 + 1) → (2 · 𝑚) = (2 · (𝑖 + 1)))
39	38	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑖 + 1) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
40		ovex 7444	. . . . 5 ⊢ ((2 · (𝑖 + 1)) + 1) ∈ V
41	39, 33, 40	fvmpt 6997	. . . 4 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘(𝑖 + 1)) = ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
42	37, 41	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘(𝑖 + 1)) = ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
43	30, 36, 42	3brtr4d 5179	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖) < ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘(𝑖 + 1)))
44		eldifi 4125	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
45		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
46		0cnd 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → 0 ∈ ℂ)
47		nnz 12583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
48	47	adantl 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
49		odd2np1 16288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛))
51		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℤ)
52		nnm1nn0 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
53	52	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
54	53	nn0red 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
55	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 2 ∈ ℝ+)
56	53	nn0ge0d 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 0 ≤ (𝑛 − 1))
57	54, 55, 56	divge0d 13060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 0 ≤ ((𝑛 − 1) / 2))
58		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)
59	58	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (𝑛 − 1))
60		2cn 12291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℂ
61		zcn 12567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
62	61	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℂ)
63		mulcl 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
64	60, 62, 63	sylancr 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
65		ax-1cn 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
66		pncan 11470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
67	64, 65, 66	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
68	59, 67	eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (𝑛 − 1) = (2 · 𝑘))
69	68	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((𝑛 − 1) / 2) = ((2 · 𝑘) / 2))
70		2cnd 12294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
71		2ne0 12320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ≠ 0
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 2 ≠ 0)
73	62, 70, 72	divcan3d 11999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((2 · 𝑘) / 2) = 𝑘)
74	69, 73	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((𝑛 − 1) / 2) = 𝑘)
75	57, 74	breqtrd 5173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 0 ≤ 𝑘)
76		elnn0z 12575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
77	51, 75, 76	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
78	77	ex 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0))
79		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)
80	79	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1))
81	78, 80	jca2 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1))))
82	81	reximdv2 3162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1)))
83	50, 82	sylbid 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1)))
84		iserodd.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
85		iserodd.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 = 𝐶)
86	85	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
87	84, 86	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 ∈ ℂ))
88	87	rexlimdva 3153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 ∈ ℂ))
89	88	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 ∈ ℂ))
90	83, 89	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛 → 𝐵 ∈ ℂ))
91	90	imp 405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → 𝐵 ∈ ℂ)
92	46, 91	ifclda 4562	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) ∈ ℂ)
93		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
94	93	fvmpt2 7008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
95	45, 92, 94	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
96	44, 95	sylan2 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
97		eldif 3957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))))
98		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑘))
99	98	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
100	99	cbvmptv 5260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑘) + 1))
101	100	elrnmpt 5954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ V → (𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1)))
102	101	elv 3478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1))
103	83, 102	imbitrrdi 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛 → 𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))))
104	103	con1d 145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) → 2 ∥ 𝑛))
105	104	impr 453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → 2 ∥ 𝑛)
106	97, 105	sylan2b 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → 2 ∥ 𝑛)
107	106	iftrued 4535	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) = 0)
108	96, 107	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0)
109	108	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0)
110		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0
111		nffvmpt1 6901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗)
112	111	nfeq1 2916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0
113		fveqeq2 6899	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0 ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0))
114	110, 112, 113	cbvralw 3301	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0)
115	109, 114	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0)
116	115	r19.21bi 3246	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0)
117	92	fmpttd 7115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵)):ℕ⟶ℂ)
118	117	ffvelcdmda 7085	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) ∈ ℂ)
119		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
120		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)
121	120	fvmpt2 7008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
122	119, 84, 121	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
123		ovex 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ V
124	99, 33, 123	fvmpt 6997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
125	124	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
126	125	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((2 · 𝑘) + 1)))
127		breq2 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
128	127, 85	ifbieq2d 4553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶))
129		nn0mulcl 12512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
130	6, 129	sylan 578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
131		nn0p1nn 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
133		2z 12598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
134		nn0z 12587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
135	134	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
136		dvdsmul1 16225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑘))
137	133, 135, 136	sylancr 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∥ (2 · 𝑘))
138	130	nn0zd 12588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
139		2nn 12289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
141		1lt2 12387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
142	141	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 < 2)
143		ndvdsp1 16358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑘) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ (2 · 𝑘) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
144	138, 140, 142, 143	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (2 · 𝑘) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
145	137, 144	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1))
146	145	iffalsed 4538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶) = 𝐶)
147	146, 84	eqeltrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶) ∈ ℂ)
148	93, 128, 132, 147	fvmptd3 7020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((2 · 𝑘) + 1)) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶))
149	126, 148, 146	3eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) = 𝐶)
150	122, 149	eqtr4d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)))
151	150	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)))
152		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘))
153		nffvmpt1 6901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑖)
154	153	nfeq1 2916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖))
155		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑖))
156		2fveq3 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
157	155, 156	eqeq12d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖))))
158	152, 154, 157	cbvralw 3301	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) ↔ ∀𝑖 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
159	151, 158	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
160	159	r19.21bi 3246	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
161	1, 2, 3, 4, 11, 43, 116, 118, 160	isercoll2 15619	1 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))) ⇝ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3472   ∖ cdif 3944  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448   / cdiv 11875  ℕcn 12216  2c2 12271  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ℝ⁺crp 12978  seqcseq 13970   ⇝ cli 15432   ∥ cdvds 16201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-dvds 16202

This theorem is referenced by:  atantayl3  26680  leibpilem2  26682