Theorem bposlem7 27355

Description: Lemma for bpos 27358. The function 𝐹 is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bposlem7.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
bposlem7.2	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
bposlem7.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
bposlem7.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
bposlem7.5	⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐴)
bposlem7.6	⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
bposlem7	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (𝐹‘𝐵) < (𝐹‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem bposlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bposlem7.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 13036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	2	rpsqrtcld 15440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℝ+)
4		fveq2 6868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (log‘𝑥) = (log‘(√‘𝐵)))
5		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → 𝑥 = (√‘𝐵))
6	4, 5	oveq12d 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)))
7		bposlem7.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
8		ovex 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(√‘𝐵)) = ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)))
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐵)) = ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)))
11		bposlem7.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
12	11	nnrpd 13036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
13	12	rpsqrtcld 15440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)
14		fveq2 6868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (log‘𝑥) = (log‘(√‘𝐴)))
15		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → 𝑥 = (√‘𝐴))
16	14, 15	oveq12d 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)))
17		ovex 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)) ∈ V
18	16, 7, 17	fvmpt 6976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(√‘𝐴)) = ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)))
19	13, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐴)) = ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)))
20	10, 19	breq12d 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(√‘𝐵)) < (𝐺‘(√‘𝐴)) ↔ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) < ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴))))
21	13	rpred 13038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
22		bposlem7.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐴)
23	12	rprege0d 13045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
24		resqrtth 15283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
26	22, 25	breqtrrd 5129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2))
27	13	rpge0d 13042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘𝐴))
28		ere 16120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ∈ ℝ
29		0re 11184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
30		epos 16240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < e
31	29, 28, 30	ltleii 11307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ e
32		le2sq 14148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((e ∈ ℝ ∧ 0 ≤ e) ∧ ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐴))) → (e ≤ (√‘𝐴) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2)))
33	28, 31, 32	mpanl12 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐴)) → (e ≤ (√‘𝐴) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2)))
34	21, 27, 33	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e ≤ (√‘𝐴) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2)))
35	26, 34	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (√‘𝐴))
36	3	rpred 13038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℝ)
37		bposlem7.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐵)
38	2	rprege0d 13045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
39		resqrtth 15283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵)
41	37, 40	breqtrrd 5129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2))
42	3	rpge0d 13042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘𝐵))
43		le2sq 14148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((e ∈ ℝ ∧ 0 ≤ e) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐵))) → (e ≤ (√‘𝐵) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2)))
44	28, 31, 43	mpanl12 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐵)) → (e ≤ (√‘𝐵) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2)))
45	36, 42, 44	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e ≤ (√‘𝐵) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2)))
46	41, 45	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (√‘𝐵))
47		logdivlt 26687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ e ≤ (√‘𝐴)) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ e ≤ (√‘𝐵))) → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) < ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴))))
48	21, 35, 36, 46, 47	syl22anc 849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) < ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴))))
49	21, 36, 27, 42	lt2sqd 14270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2)))
50	20, 48, 49	3bitr2rd 310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2) ↔ (𝐺‘(√‘𝐵)) < (𝐺‘(√‘𝐴))))
51	25, 40	breq12d 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2) ↔ 𝐴 < 𝐵))
52		relogcl 26641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
53		rerpdivcl 13026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
54	52, 53	mpancom 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
55	7, 54	fmpti 7094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺:ℝ+⟶ℝ
56	55	ffvelcdmi 7065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(√‘𝐵)) ∈ ℝ)
57	3, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐵)) ∈ ℝ)
58	55	ffvelcdmi 7065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
59	13, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
60		2rp 12999	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
61		rpsqrtcl 15292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ+)
62	60, 61	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (√‘2) ∈ ℝ+)
63	57, 59, 62	ltmul2d 13080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(√‘𝐵)) < (𝐺‘(√‘𝐴)) ↔ ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴)))))
64	50, 51, 63	3bitr3d 311	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴)))))
65	64	biimpd 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴)))))
66	11	nnred 12226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
67	1	nnred 12226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
68		2re 12293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
69		2pos 12323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
70	68, 69	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
72		ltdiv1 12057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 2) < (𝐵 / 2)))
73	66, 67, 71, 72	syl3anc 1391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 2) < (𝐵 / 2)))
74	12	rphalfcld 13050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
75	74	rpred 13038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
76	28, 68	remulcli 11199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (e · 2) ∈ ℝ
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ∈ ℝ)
78	28	resqcli 14200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (e↑2) ∈ ℝ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ∈ ℝ)
80		egt2lt3 16239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
81	80	simpli 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < e
82	68, 28, 81	ltleii 11307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≤ e
83	68, 28, 28	lemul2i 12116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < e → (2 ≤ e ↔ (e · 2) ≤ (e · e)))
84	30, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ≤ e ↔ (e · 2) ≤ (e · e))
85	82, 84	mpbi 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (e · 2) ≤ (e · e)
86	28	recni 11197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ e ∈ ℂ
87	86	sqvali 14194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (e↑2) = (e · e)
88	85, 87	breqtrri 5128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (e · 2) ≤ (e↑2)
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ≤ (e↑2))
90	77, 79, 66, 89, 22	letrd 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ≤ 𝐴)
91		lemuldiv 12073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((e · 2) ≤ 𝐴 ↔ e ≤ (𝐴 / 2)))
92	28, 70, 91	mp3an13 1474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((e · 2) ≤ 𝐴 ↔ e ≤ (𝐴 / 2)))
93	66, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((e · 2) ≤ 𝐴 ↔ e ≤ (𝐴 / 2)))
94	90, 93	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (𝐴 / 2))
95	2	rphalfcld 13050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℝ+)
96	95	rpred 13038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℝ)
97	77, 79, 67, 89, 37	letrd 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ≤ 𝐵)
98		lemuldiv 12073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((e · 2) ≤ 𝐵 ↔ e ≤ (𝐵 / 2)))
99	28, 70, 98	mp3an13 1474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((e · 2) ≤ 𝐵 ↔ e ≤ (𝐵 / 2)))
100	67, 99	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((e · 2) ≤ 𝐵 ↔ e ≤ (𝐵 / 2)))
101	97, 100	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (𝐵 / 2))
102		logdivlt 26687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝐴 / 2)) ∧ ((𝐵 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝐵 / 2))) → ((𝐴 / 2) < (𝐵 / 2) ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
103	75, 94, 96, 101, 102	syl22anc 849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) < (𝐵 / 2) ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
104	73, 103	bitrd 281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
105		fveq2 6868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / 2) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐵 / 2)))
106		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / 2) → 𝑥 = (𝐵 / 2))
107	105, 106	oveq12d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / 2) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)))
108		ovex 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) ∈ V
109	107, 7, 108	fvmpt 6976	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / 2) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(𝐵 / 2)) = ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)))
110	95, 109	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐵 / 2)) = ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)))
111		fveq2 6868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 2) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐴 / 2)))
112		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 2) → 𝑥 = (𝐴 / 2))
113	111, 112	oveq12d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 2) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
114		ovex 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)) ∈ V
115	113, 7, 114	fvmpt 6976	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(𝐴 / 2)) = ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
116	74, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐴 / 2)) = ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
117	110, 116	breq12d 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(𝐵 / 2)) < (𝐺‘(𝐴 / 2)) ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
118	55	ffvelcdmi 7065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / 2) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(𝐵 / 2)) ∈ ℝ)
119	95, 118	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐵 / 2)) ∈ ℝ)
120	55	ffvelcdmi 7065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
121	74, 120	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
122		9nn 12317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
123		4nn 12302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ
124		nnrp 13006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
125		nnrp 13006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
126		rpdivcl 13021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (9 / 4) ∈ ℝ+)
127	124, 125, 126	syl2an 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → (9 / 4) ∈ ℝ+)
128	122, 123, 127	mp2an 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 / 4) ∈ ℝ+
129	128	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (9 / 4) ∈ ℝ+)
130	119, 121, 129	ltmul2d 13080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(𝐵 / 2)) < (𝐺‘(𝐴 / 2)) ↔ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
131	104, 117, 130	3bitr2d 309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
132	131	biimpd 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
133	65, 132	jcad 520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
134		sqrt2re 16283	. . . . . . 7 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
135		remulcl 11159	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(√‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) ∈ ℝ)
136	134, 57, 135	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) ∈ ℝ)
137		9re 12318	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
138		4re 12303	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
139		4ne0 12330	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
140	137, 138, 139	redivcli 11959	. . . . . . 7 ⊢ (9 / 4) ∈ ℝ
141		remulcl 11159	. . . . . . 7 ⊢ (((9 / 4) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝐵 / 2)) ∈ ℝ) → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) ∈ ℝ)
142	140, 119, 141	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) ∈ ℝ)
143		remulcl 11159	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∈ ℝ)
144	134, 59, 143	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∈ ℝ)
145		remulcl 11159	. . . . . . 7 ⊢ (((9 / 4) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
146	140, 121, 145	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
147		lt2add 11673	. . . . . 6 ⊢ (((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) ∈ ℝ) ∧ (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)) → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
148	136, 142, 144, 146, 147	syl22anc 849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
149	133, 148	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
150		ltmul2 12043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (2 · 𝐴) < (2 · 𝐵)))
151	66, 67, 71, 150	syl3anc 1391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (2 · 𝐴) < (2 · 𝐵)))
152		rpmulcl 13019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
153	60, 12, 152	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
154	153	rpsqrtcld 15440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ+)
155		rpmulcl 13019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ+)
156	60, 2, 155	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ+)
157	156	rpsqrtcld 15440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
158		rprege0 13010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ+ → ((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐴))))
159		rprege0 13010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ+ → ((√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐵))))
160		lt2sq 14147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐴))) ∧ ((√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐵)))) → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2)))
161	158, 159, 160	syl2an 605	. . . . . . . 8 ⊢ (((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ+) → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2)))
162	154, 157, 161	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2)))
163	153	rprege0d 13045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)))
164		resqrtth 15283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)) → ((√‘(2 · 𝐴))↑2) = (2 · 𝐴))
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐴))↑2) = (2 · 𝐴))
166	156	rprege0d 13045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐵)))
167		resqrtth 15283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐵)) → ((√‘(2 · 𝐵))↑2) = (2 · 𝐵))
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐵))↑2) = (2 · 𝐵))
169	165, 168	breq12d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2) ↔ (2 · 𝐴) < (2 · 𝐵)))
170	162, 169	bitr2d 282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) < (2 · 𝐵) ↔ (√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵))))
171		1lt2 12391	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
172		rplogcl 26670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
173	68, 171, 172	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ+
174	173	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ+)
175	154, 157, 174	ltdiv2d 13061	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
176	151, 170, 175	3bitrd 307	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
177	176	biimpd 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
178	149, 177	jcad 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
179	136, 142	readdcld 11212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) ∈ ℝ)
180		rpre 13003	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
181	173, 180	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
182		rerpdivcl 13026	. . . . 5 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ+) → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) ∈ ℝ)
183	181, 157, 182	sylancr 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) ∈ ℝ)
184	144, 146	readdcld 11212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∈ ℝ)
185		rerpdivcl 13026	. . . . 5 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ+) → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))) ∈ ℝ)
186	181, 154, 185	sylancr 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))) ∈ ℝ)
187		lt2add 11673	. . . 4 ⊢ ((((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) ∈ ℝ) ∧ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))) ∈ ℝ)) → (((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))) → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
188	179, 183, 184, 186, 187	syl22anc 849	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))) → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
189	178, 188	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
190		2fveq3 6873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(√‘𝑛)) = (𝐺‘(√‘𝐵)))
191	190	oveq2d 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) = ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))))
192		fvoveq1 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘(𝐵 / 2)))
193	192	oveq2d 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2))) = ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))))
194	191, 193	oveq12d 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) = (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))))
195		oveq2 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝐵))
196	195	fveq2d 6872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝐵)))
197	196	oveq2d 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛))) = ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))))
198	194, 197	oveq12d 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))))
199		bposlem7.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
200		ovex 7430	. . . . 5 ⊢ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) ∈ V
201	198, 199, 200	fvmpt 6976	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐵) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))))
202	1, 201	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))))
203		2fveq3 6873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝐺‘(√‘𝑛)) = (𝐺‘(√‘𝐴)))
204	203	oveq2d 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) = ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))))
205		fvoveq1 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘(𝐴 / 2)))
206	205	oveq2d 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2))) = ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))
207	204, 206	oveq12d 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) = (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
208		oveq2 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝐴))
209	208	fveq2d 6872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝐴)))
210	209	oveq2d 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛))) = ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))
211	207, 210	oveq12d 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
212		ovex 7430	. . . . 5 ⊢ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))) ∈ V
213	211, 199, 212	fvmpt 6976	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐴) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
214	11, 213	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
215	202, 214	breq12d 5114	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < (𝐹‘𝐴) ↔ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
216	189, 215	sylibrd 261	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (𝐹‘𝐵) < (𝐹‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   · cmul 11079   < clt 11217   ≤ cle 11218   / cdiv 11845  ℕcn 12211  2c2 12273  3c3 12274  4c4 12275  9c9 12280  ℝ⁺crp 12994  ↑cexp 14075  √csqrt 15261  eceu 16093  logclog 26620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-inf2 9597  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-of 7661  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8142  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-map 8811  df-pm 8812  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fsupp 9309  df-fi 9358  df-sup 9389  df-inf 9390  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-q 12951  df-rp 12995  df-xneg 13115  df-xadd 13116  df-xmul 13117  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13803  df-mod 13881  df-seq 14016  df-exp 14076  df-fac 14288  df-bc 14317  df-hash 14345  df-shft 15081  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-limsup 15499  df-clim 15516  df-rlim 15517  df-sum 15715  df-ef 16098  df-e 16099  df-sin 16100  df-cos 16101  df-pi 16103  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-rest 17452  df-topn 17453  df-0g 17471  df-gsum 17472  df-topgen 17473  df-pt 17474  df-prds 17477  df-xrs 17533  df-qtop 17538  df-imas 17539  df-xps 17541  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-acs 17618  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-mulg 19111  df-cntz 19358  df-cmn 19823  df-psmet 21417  df-xmet 21418  df-met 21419  df-bl 21420  df-mopn 21421  df-fbas 21422  df-fg 21423  df-cnfld 21426  df-top 22955  df-topon 22972  df-topsp 22994  df-bases 23007  df-cld 23080  df-ntr 23081  df-cls 23082  df-nei 23159  df-lp 23197  df-perf 23198  df-cn 23288  df-cnp 23289  df-haus 23376  df-tx 23623  df-hmeo 23816  df-fil 23907  df-fm 23999  df-flim 24000  df-flf 24001  df-xms 24381  df-ms 24382  df-tms 24383  df-cncf 24941  df-limc 25929  df-dv 25930  df-log 26622

This theorem is referenced by:  bposlem9  27357