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Theorem bposlem7 26793

Description: Lemma for bpos 26796. The function 𝐹 is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bposlem7.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
bposlem7.2	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
bposlem7.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
bposlem7.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
bposlem7.5	⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐴)
bposlem7.6	⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐵)

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem7	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (𝐹‘𝐵) < (𝐹‘𝐴)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑛 𝐵,𝑛 𝑛,𝐺 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑛) 𝐹(𝑥,𝑛) 𝐺(𝑥)

**Proof of Theorem bposlem7**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		bposlem7.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 13014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
3	2	rpsqrtcld 15358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℝ⁺)
4		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (log‘𝑥) = (log‘(√‘𝐵)))
5		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → 𝑥 = (√‘𝐵))
6	4, 5	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)))
7		bposlem7.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
8		ovex 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘𝐵) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(√‘𝐵)) = ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)))
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐵)) = ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)))
11		bposlem7.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
12	11	nnrpd 13014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
13	12	rpsqrtcld 15358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ⁺)
14		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (log‘𝑥) = (log‘(√‘𝐴)))
15		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → 𝑥 = (√‘𝐴))
16	14, 15	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)))
17		ovex 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)) ∈ V
18	16, 7, 17	fvmpt 6999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(√‘𝐴)) = ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)))
19	13, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐴)) = ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)))
20	10, 19	breq12d 5162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(√‘𝐵)) < (𝐺‘(√‘𝐴)) ↔ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) < ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴))))
21	13	rpred 13016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
22		bposlem7.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐴)
23	12	rprege0d 13023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
24		resqrtth 15202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
26	22, 25	breqtrrd 5177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2))
27	13	rpge0d 13020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘𝐴))
28		ere 16032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ∈ ℝ
29		0re 11216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
30		epos 16150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < e
31	29, 28, 30	ltleii 11337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ e
32		le2sq 14099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((e ∈ ℝ ∧ 0 ≤ e) ∧ ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐴))) → (e ≤ (√‘𝐴) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2)))
33	28, 31, 32	mpanl12 701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐴)) → (e ≤ (√‘𝐴) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2)))
34	21, 27, 33	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e ≤ (√‘𝐴) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2)))
35	26, 34	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (√‘𝐴))
36	3	rpred 13016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℝ)
37		bposlem7.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐵)
38	2	rprege0d 13023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
39		resqrtth 15202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵)
41	37, 40	breqtrrd 5177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2))
42	3	rpge0d 13020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘𝐵))
43		le2sq 14099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((e ∈ ℝ ∧ 0 ≤ e) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐵))) → (e ≤ (√‘𝐵) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2)))
44	28, 31, 43	mpanl12 701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐵)) → (e ≤ (√‘𝐵) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2)))
45	36, 42, 44	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e ≤ (√‘𝐵) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2)))
46	41, 45	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (√‘𝐵))
47		logdivlt 26129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ e ≤ (√‘𝐴)) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ e ≤ (√‘𝐵))) → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) < ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴))))
48	21, 35, 36, 46, 47	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) < ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴))))
49	21, 36, 27, 42	lt2sqd 14219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2)))
50	20, 48, 49	3bitr2rd 308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2) ↔ (𝐺‘(√‘𝐵)) < (𝐺‘(√‘𝐴))))
51	25, 40	breq12d 5162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2) ↔ 𝐴 < 𝐵))
52		relogcl 26084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
53		rerpdivcl 13004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((log‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
54	52, 53	mpancom 687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → ((log‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
55	7, 54	fmpti 7112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺:ℝ⁺⟶ℝ
56	55	ffvelcdmi 7086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘𝐵) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(√‘𝐵)) ∈ ℝ)
57	3, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐵)) ∈ ℝ)
58	55	ffvelcdmi 7086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
59	13, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
60		2rp 12979	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
61		rpsqrtcl 15211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ⁺ → (√‘2) ∈ ℝ⁺)
62	60, 61	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (√‘2) ∈ ℝ⁺)
63	57, 59, 62	ltmul2d 13058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(√‘𝐵)) < (𝐺‘(√‘𝐴)) ↔ ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴)))))
64	50, 51, 63	3bitr3d 309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴)))))
65	64	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴)))))
66	11	nnred 12227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
67	1	nnred 12227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
68		2re 12286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
69		2pos 12315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
70	68, 69	pm3.2i 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
72		ltdiv1 12078	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 2) < (𝐵 / 2)))
73	66, 67, 71, 72	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 2) < (𝐵 / 2)))
74	12	rphalfcld 13028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ⁺)
75	74	rpred 13016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
76	28, 68	remulcli 11230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (e · 2) ∈ ℝ
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ∈ ℝ)
78	28	resqcli 14150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (e↑2) ∈ ℝ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ∈ ℝ)
80		egt2lt3 16149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
81	80	simpli 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < e
82	68, 28, 81	ltleii 11337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≤ e
83	68, 28, 28	lemul2i 12137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < e → (2 ≤ e ↔ (e · 2) ≤ (e · e)))
84	30, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ≤ e ↔ (e · 2) ≤ (e · e))
85	82, 84	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (e · 2) ≤ (e · e)
86	28	recni 11228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ e ∈ ℂ
87	86	sqvali 14144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (e↑2) = (e · e)
88	85, 87	breqtrri 5176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (e · 2) ≤ (e↑2)
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ≤ (e↑2))
90	77, 79, 66, 89, 22	letrd 11371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ≤ 𝐴)
91		lemuldiv 12094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((e · 2) ≤ 𝐴 ↔ e ≤ (𝐴 / 2)))
92	28, 70, 91	mp3an13 1453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((e · 2) ≤ 𝐴 ↔ e ≤ (𝐴 / 2)))
93	66, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((e · 2) ≤ 𝐴 ↔ e ≤ (𝐴 / 2)))
94	90, 93	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (𝐴 / 2))
95	2	rphalfcld 13028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℝ⁺)
96	95	rpred 13016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℝ)
97	77, 79, 67, 89, 37	letrd 11371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ≤ 𝐵)
98		lemuldiv 12094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((e · 2) ≤ 𝐵 ↔ e ≤ (𝐵 / 2)))
99	28, 70, 98	mp3an13 1453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((e · 2) ≤ 𝐵 ↔ e ≤ (𝐵 / 2)))
100	67, 99	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((e · 2) ≤ 𝐵 ↔ e ≤ (𝐵 / 2)))
101	97, 100	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (𝐵 / 2))
102		logdivlt 26129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝐴 / 2)) ∧ ((𝐵 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝐵 / 2))) → ((𝐴 / 2) < (𝐵 / 2) ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
103	75, 94, 96, 101, 102	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) < (𝐵 / 2) ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
104	73, 103	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
105		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / 2) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐵 / 2)))
106		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / 2) → 𝑥 = (𝐵 / 2))
107	105, 106	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / 2) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)))
108		ovex 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) ∈ V
109	107, 7, 108	fvmpt 6999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(𝐵 / 2)) = ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)))
110	95, 109	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐵 / 2)) = ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)))
111		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 2) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐴 / 2)))
112		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 2) → 𝑥 = (𝐴 / 2))
113	111, 112	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 2) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
114		ovex 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)) ∈ V
115	113, 7, 114	fvmpt 6999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(𝐴 / 2)) = ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
116	74, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐴 / 2)) = ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
117	110, 116	breq12d 5162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(𝐵 / 2)) < (𝐺‘(𝐴 / 2)) ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
118	55	ffvelcdmi 7086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(𝐵 / 2)) ∈ ℝ)
119	95, 118	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐵 / 2)) ∈ ℝ)
120	55	ffvelcdmi 7086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
121	74, 120	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
122		9nn 12310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
123		4nn 12295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ
124		nnrp 12985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ⁺)
125		nnrp 12985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ⁺)
126		rpdivcl 12999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℝ⁺ ∧ 4 ∈ ℝ⁺) → (9 / 4) ∈ ℝ⁺)
127	124, 125, 126	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → (9 / 4) ∈ ℝ⁺)
128	122, 123, 127	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 / 4) ∈ ℝ⁺
129	128	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (9 / 4) ∈ ℝ⁺)
130	119, 121, 129	ltmul2d 13058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(𝐵 / 2)) < (𝐺‘(𝐴 / 2)) ↔ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
131	104, 117, 130	3bitr2d 307	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
132	131	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
133	65, 132	jcad 514	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
134		sqrt2re 16193	. . . . . . 7 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
135		remulcl 11195	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(√‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) ∈ ℝ)
136	134, 57, 135	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) ∈ ℝ)
137		9re 12311	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
138		4re 12296	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
139		4ne0 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
140	137, 138, 139	redivcli 11981	. . . . . . 7 ⊢ (9 / 4) ∈ ℝ
141		remulcl 11195	. . . . . . 7 ⊢ (((9 / 4) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝐵 / 2)) ∈ ℝ) → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) ∈ ℝ)
142	140, 119, 141	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) ∈ ℝ)
143		remulcl 11195	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∈ ℝ)
144	134, 59, 143	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∈ ℝ)
145		remulcl 11195	. . . . . . 7 ⊢ (((9 / 4) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
146	140, 121, 145	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
147		lt2add 11699	. . . . . 6 ⊢ (((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) ∈ ℝ) ∧ (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)) → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
148	136, 142, 144, 146, 147	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
149	133, 148	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
150		ltmul2 12065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (2 · 𝐴) < (2 · 𝐵)))
151	66, 67, 71, 150	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (2 · 𝐴) < (2 · 𝐵)))
152		rpmulcl 12997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ⁺)
153	60, 12, 152	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ⁺)
154	153	rpsqrtcld 15358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ⁺)
155		rpmulcl 12997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ⁺)
156	60, 2, 155	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ⁺)
157	156	rpsqrtcld 15358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ⁺)
158		rprege0 12989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ⁺ → ((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐴))))
159		rprege0 12989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ⁺ → ((√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐵))))
160		lt2sq 14098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐴))) ∧ ((√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐵)))) → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2)))
161	158, 159, 160	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ⁺ ∧ (√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ⁺) → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2)))
162	154, 157, 161	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2)))
163	153	rprege0d 13023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)))
164		resqrtth 15202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)) → ((√‘(2 · 𝐴))↑2) = (2 · 𝐴))
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐴))↑2) = (2 · 𝐴))
166	156	rprege0d 13023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐵)))
167		resqrtth 15202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐵)) → ((√‘(2 · 𝐵))↑2) = (2 · 𝐵))
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐵))↑2) = (2 · 𝐵))
169	165, 168	breq12d 5162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2) ↔ (2 · 𝐴) < (2 · 𝐵)))
170	162, 169	bitr2d 280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) < (2 · 𝐵) ↔ (√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵))))
171		1lt2 12383	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
172		rplogcl 26112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ⁺)
173	68, 171, 172	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ⁺
174	173	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ⁺)
175	154, 157, 174	ltdiv2d 13039	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
176	151, 170, 175	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
177	176	biimpd 228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
178	149, 177	jcad 514	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
179	136, 142	readdcld 11243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) ∈ ℝ)
180		rpre 12982	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ⁺ → (log‘2) ∈ ℝ)
181	173, 180	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
182		rerpdivcl 13004	. . . . 5 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ⁺) → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) ∈ ℝ)
183	181, 157, 182	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) ∈ ℝ)
184	144, 146	readdcld 11243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∈ ℝ)
185		rerpdivcl 13004	. . . . 5 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ⁺) → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))) ∈ ℝ)
186	181, 154, 185	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))) ∈ ℝ)
187		lt2add 11699	. . . 4 ⊢ ((((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) ∈ ℝ) ∧ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))) ∈ ℝ)) → (((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))) → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
188	179, 183, 184, 186, 187	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))) → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
189	178, 188	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
190		2fveq3 6897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(√‘𝑛)) = (𝐺‘(√‘𝐵)))
191	190	oveq2d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) = ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))))
192		fvoveq1 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘(𝐵 / 2)))
193	192	oveq2d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2))) = ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))))
194	191, 193	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) = (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))))
195		oveq2 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝐵))
196	195	fveq2d 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝐵)))
197	196	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛))) = ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))))
198	194, 197	oveq12d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))))
199		bposlem7.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
200		ovex 7442	. . . . 5 ⊢ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) ∈ V
201	198, 199, 200	fvmpt 6999	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐵) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))))
202	1, 201	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))))
203		2fveq3 6897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝐺‘(√‘𝑛)) = (𝐺‘(√‘𝐴)))
204	203	oveq2d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) = ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))))
205		fvoveq1 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘(𝐴 / 2)))
206	205	oveq2d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2))) = ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))
207	204, 206	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) = (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
208		oveq2 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝐴))
209	208	fveq2d 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝐴)))
210	209	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛))) = ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))
211	207, 210	oveq12d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
212		ovex 7442	. . . . 5 ⊢ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))) ∈ V
213	211, 199, 212	fvmpt 6999	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐴) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
214	11, 213	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
215	202, 214	breq12d 5162	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < (𝐹‘𝐴) ↔ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
216	189, 215	sylibrd 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (𝐹‘𝐵) < (𝐹‘𝐴)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 class class class wbr 5149 ↦ cmpt 5232 ‘cfv 6544 (class class class)co 7409 ℝcr 11109 0cc0 11110 1c1 11111 + caddc 11113 · cmul 11115 < clt 11248 ≤ cle 11249 / cdiv 11871 ℕcn 12212 2c2 12267 3c3 12268 4c4 12269 9c9 12274 ℝ⁺crp 12974 ↑cexp 14027 √csqrt 15180 eceu 16006 logclog 26063

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-inf2 9636 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 ax-pre-sup 11188 ax-addf 11189 ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-tp 4634 df-op 4636 df-uni 4910 df-int 4952 df-iun 5000 df-iin 5001 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-se 5633 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-isom 6553 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-of 7670 df-om 7856 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-supp 8147 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-1o 8466 df-2o 8467 df-er 8703 df-map 8822 df-pm 8823 df-ixp 8892 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-fsupp 9362 df-fi 9406 df-sup 9437 df-inf 9438 df-oi 9505 df-card 9934 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-4 12277 df-5 12278 df-6 12279 df-7 12280 df-8 12281 df-9 12282 df-n0 12473 df-z 12559 df-dec 12678 df-uz 12823 df-q 12933 df-rp 12975 df-xneg 13092 df-xadd 13093 df-xmul 13094 df-ioo 13328 df-ioc 13329 df-ico 13330 df-icc 13331 df-fz 13485 df-fzo 13628 df-fl 13757 df-mod 13835 df-seq 13967 df-exp 14028 df-fac 14234 df-bc 14263 df-hash 14291 df-shft 15014 df-cj 15046 df-re 15047 df-im 15048 df-sqrt 15182 df-abs 15183 df-limsup 15415 df-clim 15432 df-rlim 15433 df-sum 15633 df-ef 16011 df-e 16012 df-sin 16013 df-cos 16014 df-pi 16016 df-struct 17080 df-sets 17097 df-slot 17115 df-ndx 17127 df-base 17145 df-ress 17174 df-plusg 17210 df-mulr 17211 df-starv 17212 df-sca 17213 df-vsca 17214 df-ip 17215 df-tset 17216 df-ple 17217 df-ds 17219 df-unif 17220 df-hom 17221 df-cco 17222 df-rest 17368 df-topn 17369 df-0g 17387 df-gsum 17388 df-topgen 17389 df-pt 17390 df-prds 17393 df-xrs 17448 df-qtop 17453 df-imas 17454 df-xps 17456 df-mre 17530 df-mrc 17531 df-acs 17533 df-mgm 18561 df-sgrp 18610 df-mnd 18626 df-submnd 18672 df-mulg 18951 df-cntz 19181 df-cmn 19650 df-psmet 20936 df-xmet 20937 df-met 20938 df-bl 20939 df-mopn 20940 df-fbas 20941 df-fg 20942 df-cnfld 20945 df-top 22396 df-topon 22413 df-topsp 22435 df-bases 22449 df-cld 22523 df-ntr 22524 df-cls 22525 df-nei 22602 df-lp 22640 df-perf 22641 df-cn 22731 df-cnp 22732 df-haus 22819 df-tx 23066 df-hmeo 23259 df-fil 23350 df-fm 23442 df-flim 23443 df-flf 23444 df-xms 23826 df-ms 23827 df-tms 23828 df-cncf 24394 df-limc 25383 df-dv 25384 df-log 26065

This theorem is referenced by: bposlem9 26795

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