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Theorem bposlem7 26800

Description: Lemma for bpos 26803. The function 𝐹 is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bposlem7.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
bposlem7.2	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
bposlem7.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
bposlem7.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
bposlem7.5	⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐴)
bposlem7.6	⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐵)

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem7	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (𝐹‘𝐵) < (𝐹‘𝐴)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑛 𝐵,𝑛 𝑛,𝐺 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑛) 𝐹(𝑥,𝑛) 𝐺(𝑥)

**Proof of Theorem bposlem7**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		bposlem7.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 13016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
3	2	rpsqrtcld 15360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℝ⁺)
4		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (log‘𝑥) = (log‘(√‘𝐵)))
5		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → 𝑥 = (√‘𝐵))
6	4, 5	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)))
7		bposlem7.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
8		ovex 7444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘𝐵) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(√‘𝐵)) = ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)))
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐵)) = ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)))
11		bposlem7.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
12	11	nnrpd 13016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
13	12	rpsqrtcld 15360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ⁺)
14		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (log‘𝑥) = (log‘(√‘𝐴)))
15		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → 𝑥 = (√‘𝐴))
16	14, 15	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)))
17		ovex 7444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)) ∈ V
18	16, 7, 17	fvmpt 6998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(√‘𝐴)) = ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)))
19	13, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐴)) = ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)))
20	10, 19	breq12d 5161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(√‘𝐵)) < (𝐺‘(√‘𝐴)) ↔ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) < ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴))))
21	13	rpred 13018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
22		bposlem7.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐴)
23	12	rprege0d 13025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
24		resqrtth 15204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
26	22, 25	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2))
27	13	rpge0d 13022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘𝐴))
28		ere 16034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ∈ ℝ
29		0re 11218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
30		epos 16152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < e
31	29, 28, 30	ltleii 11339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ e
32		le2sq 14101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((e ∈ ℝ ∧ 0 ≤ e) ∧ ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐴))) → (e ≤ (√‘𝐴) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2)))
33	28, 31, 32	mpanl12 700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐴)) → (e ≤ (√‘𝐴) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2)))
34	21, 27, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e ≤ (√‘𝐴) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2)))
35	26, 34	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (√‘𝐴))
36	3	rpred 13018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℝ)
37		bposlem7.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐵)
38	2	rprege0d 13025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
39		resqrtth 15204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵)
41	37, 40	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2))
42	3	rpge0d 13022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘𝐵))
43		le2sq 14101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((e ∈ ℝ ∧ 0 ≤ e) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐵))) → (e ≤ (√‘𝐵) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2)))
44	28, 31, 43	mpanl12 700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐵)) → (e ≤ (√‘𝐵) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2)))
45	36, 42, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e ≤ (√‘𝐵) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2)))
46	41, 45	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (√‘𝐵))
47		logdivlt 26136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ e ≤ (√‘𝐴)) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ e ≤ (√‘𝐵))) → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) < ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴))))
48	21, 35, 36, 46, 47	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) < ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴))))
49	21, 36, 27, 42	lt2sqd 14221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2)))
50	20, 48, 49	3bitr2rd 307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2) ↔ (𝐺‘(√‘𝐵)) < (𝐺‘(√‘𝐴))))
51	25, 40	breq12d 5161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2) ↔ 𝐴 < 𝐵))
52		relogcl 26091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
53		rerpdivcl 13006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((log‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
54	52, 53	mpancom 686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → ((log‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
55	7, 54	fmpti 7113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺:ℝ⁺⟶ℝ
56	55	ffvelcdmi 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘𝐵) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(√‘𝐵)) ∈ ℝ)
57	3, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐵)) ∈ ℝ)
58	55	ffvelcdmi 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
59	13, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
60		2rp 12981	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
61		rpsqrtcl 15213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ⁺ → (√‘2) ∈ ℝ⁺)
62	60, 61	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (√‘2) ∈ ℝ⁺)
63	57, 59, 62	ltmul2d 13060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(√‘𝐵)) < (𝐺‘(√‘𝐴)) ↔ ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴)))))
64	50, 51, 63	3bitr3d 308	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴)))))
65	64	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴)))))
66	11	nnred 12229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
67	1	nnred 12229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
68		2re 12288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
69		2pos 12317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
70	68, 69	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
72		ltdiv1 12080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 2) < (𝐵 / 2)))
73	66, 67, 71, 72	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 2) < (𝐵 / 2)))
74	12	rphalfcld 13030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ⁺)
75	74	rpred 13018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
76	28, 68	remulcli 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (e · 2) ∈ ℝ
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ∈ ℝ)
78	28	resqcli 14152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (e↑2) ∈ ℝ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ∈ ℝ)
80		egt2lt3 16151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
81	80	simpli 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < e
82	68, 28, 81	ltleii 11339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≤ e
83	68, 28, 28	lemul2i 12139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < e → (2 ≤ e ↔ (e · 2) ≤ (e · e)))
84	30, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ≤ e ↔ (e · 2) ≤ (e · e))
85	82, 84	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (e · 2) ≤ (e · e)
86	28	recni 11230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ e ∈ ℂ
87	86	sqvali 14146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (e↑2) = (e · e)
88	85, 87	breqtrri 5175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (e · 2) ≤ (e↑2)
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ≤ (e↑2))
90	77, 79, 66, 89, 22	letrd 11373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ≤ 𝐴)
91		lemuldiv 12096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((e · 2) ≤ 𝐴 ↔ e ≤ (𝐴 / 2)))
92	28, 70, 91	mp3an13 1452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((e · 2) ≤ 𝐴 ↔ e ≤ (𝐴 / 2)))
93	66, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((e · 2) ≤ 𝐴 ↔ e ≤ (𝐴 / 2)))
94	90, 93	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (𝐴 / 2))
95	2	rphalfcld 13030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℝ⁺)
96	95	rpred 13018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℝ)
97	77, 79, 67, 89, 37	letrd 11373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ≤ 𝐵)
98		lemuldiv 12096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((e · 2) ≤ 𝐵 ↔ e ≤ (𝐵 / 2)))
99	28, 70, 98	mp3an13 1452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((e · 2) ≤ 𝐵 ↔ e ≤ (𝐵 / 2)))
100	67, 99	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((e · 2) ≤ 𝐵 ↔ e ≤ (𝐵 / 2)))
101	97, 100	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (𝐵 / 2))
102		logdivlt 26136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝐴 / 2)) ∧ ((𝐵 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝐵 / 2))) → ((𝐴 / 2) < (𝐵 / 2) ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
103	75, 94, 96, 101, 102	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) < (𝐵 / 2) ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
104	73, 103	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
105		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / 2) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐵 / 2)))
106		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / 2) → 𝑥 = (𝐵 / 2))
107	105, 106	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / 2) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)))
108		ovex 7444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) ∈ V
109	107, 7, 108	fvmpt 6998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(𝐵 / 2)) = ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)))
110	95, 109	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐵 / 2)) = ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)))
111		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 2) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐴 / 2)))
112		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 2) → 𝑥 = (𝐴 / 2))
113	111, 112	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 2) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
114		ovex 7444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)) ∈ V
115	113, 7, 114	fvmpt 6998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(𝐴 / 2)) = ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
116	74, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐴 / 2)) = ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
117	110, 116	breq12d 5161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(𝐵 / 2)) < (𝐺‘(𝐴 / 2)) ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
118	55	ffvelcdmi 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(𝐵 / 2)) ∈ ℝ)
119	95, 118	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐵 / 2)) ∈ ℝ)
120	55	ffvelcdmi 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
121	74, 120	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
122		9nn 12312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
123		4nn 12297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ
124		nnrp 12987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ⁺)
125		nnrp 12987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ⁺)
126		rpdivcl 13001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℝ⁺ ∧ 4 ∈ ℝ⁺) → (9 / 4) ∈ ℝ⁺)
127	124, 125, 126	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → (9 / 4) ∈ ℝ⁺)
128	122, 123, 127	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 / 4) ∈ ℝ⁺
129	128	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (9 / 4) ∈ ℝ⁺)
130	119, 121, 129	ltmul2d 13060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(𝐵 / 2)) < (𝐺‘(𝐴 / 2)) ↔ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
131	104, 117, 130	3bitr2d 306	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
132	131	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
133	65, 132	jcad 513	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
134		sqrt2re 16195	. . . . . . 7 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
135		remulcl 11197	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(√‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) ∈ ℝ)
136	134, 57, 135	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) ∈ ℝ)
137		9re 12313	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
138		4re 12298	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
139		4ne0 12322	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
140	137, 138, 139	redivcli 11983	. . . . . . 7 ⊢ (9 / 4) ∈ ℝ
141		remulcl 11197	. . . . . . 7 ⊢ (((9 / 4) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝐵 / 2)) ∈ ℝ) → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) ∈ ℝ)
142	140, 119, 141	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) ∈ ℝ)
143		remulcl 11197	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∈ ℝ)
144	134, 59, 143	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∈ ℝ)
145		remulcl 11197	. . . . . . 7 ⊢ (((9 / 4) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
146	140, 121, 145	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
147		lt2add 11701	. . . . . 6 ⊢ (((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) ∈ ℝ) ∧ (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)) → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
148	136, 142, 144, 146, 147	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
149	133, 148	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
150		ltmul2 12067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (2 · 𝐴) < (2 · 𝐵)))
151	66, 67, 71, 150	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (2 · 𝐴) < (2 · 𝐵)))
152		rpmulcl 12999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ⁺)
153	60, 12, 152	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ⁺)
154	153	rpsqrtcld 15360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ⁺)
155		rpmulcl 12999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ⁺)
156	60, 2, 155	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ⁺)
157	156	rpsqrtcld 15360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ⁺)
158		rprege0 12991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ⁺ → ((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐴))))
159		rprege0 12991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ⁺ → ((√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐵))))
160		lt2sq 14100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐴))) ∧ ((√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐵)))) → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2)))
161	158, 159, 160	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ⁺ ∧ (√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ⁺) → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2)))
162	154, 157, 161	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2)))
163	153	rprege0d 13025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)))
164		resqrtth 15204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)) → ((√‘(2 · 𝐴))↑2) = (2 · 𝐴))
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐴))↑2) = (2 · 𝐴))
166	156	rprege0d 13025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐵)))
167		resqrtth 15204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐵)) → ((√‘(2 · 𝐵))↑2) = (2 · 𝐵))
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐵))↑2) = (2 · 𝐵))
169	165, 168	breq12d 5161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2) ↔ (2 · 𝐴) < (2 · 𝐵)))
170	162, 169	bitr2d 279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) < (2 · 𝐵) ↔ (√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵))))
171		1lt2 12385	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
172		rplogcl 26119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ⁺)
173	68, 171, 172	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ⁺
174	173	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ⁺)
175	154, 157, 174	ltdiv2d 13041	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
176	151, 170, 175	3bitrd 304	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
177	176	biimpd 228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
178	149, 177	jcad 513	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
179	136, 142	readdcld 11245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) ∈ ℝ)
180		rpre 12984	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ⁺ → (log‘2) ∈ ℝ)
181	173, 180	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
182		rerpdivcl 13006	. . . . 5 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ⁺) → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) ∈ ℝ)
183	181, 157, 182	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) ∈ ℝ)
184	144, 146	readdcld 11245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∈ ℝ)
185		rerpdivcl 13006	. . . . 5 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ⁺) → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))) ∈ ℝ)
186	181, 154, 185	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))) ∈ ℝ)
187		lt2add 11701	. . . 4 ⊢ ((((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) ∈ ℝ) ∧ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))) ∈ ℝ)) → (((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))) → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
188	179, 183, 184, 186, 187	syl22anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))) → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
189	178, 188	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
190		2fveq3 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(√‘𝑛)) = (𝐺‘(√‘𝐵)))
191	190	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) = ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))))
192		fvoveq1 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘(𝐵 / 2)))
193	192	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2))) = ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))))
194	191, 193	oveq12d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) = (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))))
195		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝐵))
196	195	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝐵)))
197	196	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛))) = ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))))
198	194, 197	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))))
199		bposlem7.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
200		ovex 7444	. . . . 5 ⊢ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) ∈ V
201	198, 199, 200	fvmpt 6998	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐵) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))))
202	1, 201	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))))
203		2fveq3 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝐺‘(√‘𝑛)) = (𝐺‘(√‘𝐴)))
204	203	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) = ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))))
205		fvoveq1 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘(𝐴 / 2)))
206	205	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2))) = ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))
207	204, 206	oveq12d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) = (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
208		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝐴))
209	208	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝐴)))
210	209	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛))) = ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))
211	207, 210	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
212		ovex 7444	. . . . 5 ⊢ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))) ∈ V
213	211, 199, 212	fvmpt 6998	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐴) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
214	11, 213	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
215	202, 214	breq12d 5161	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < (𝐹‘𝐴) ↔ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
216	189, 215	sylibrd 258	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (𝐹‘𝐵) < (𝐹‘𝐴)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 ‘cfv 6543 (class class class)co 7411 ℝcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 · cmul 11117 < clt 11250 ≤ cle 11251 / cdiv 11873 ℕcn 12214 2c2 12269 3c3 12270 4c4 12271 9c9 12276 ℝ⁺crp 12976 ↑cexp 14029 √csqrt 15182 eceu 16008 logclog 26070

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7727 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 ax-addf 11191 ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-of 7672 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-supp 8149 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-2o 8469 df-er 8705 df-map 8824 df-pm 8825 df-ixp 8894 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-fi 9408 df-sup 9439 df-inf 9440 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11252 df-mnf 11253 df-xr 11254 df-ltxr 11255 df-le 11256 df-sub 11448 df-neg 11449 df-div 11874 df-nn 12215 df-2 12277 df-3 12278 df-4 12279 df-5 12280 df-6 12281 df-7 12282 df-8 12283 df-9 12284 df-n0 12475 df-z 12561 df-dec 12680 df-uz 12825 df-q 12935 df-rp 12977 df-xneg 13094 df-xadd 13095 df-xmul 13096 df-ioo 13330 df-ioc 13331 df-ico 13332 df-icc 13333 df-fz 13487 df-fzo 13630 df-fl 13759 df-mod 13837 df-seq 13969 df-exp 14030 df-fac 14236 df-bc 14265 df-hash 14293 df-shft 15016 df-cj 15048 df-re 15049 df-im 15050 df-sqrt 15184 df-abs 15185 df-limsup 15417 df-clim 15434 df-rlim 15435 df-sum 15635 df-ef 16013 df-e 16014 df-sin 16015 df-cos 16016 df-pi 16018 df-struct 17082 df-sets 17099 df-slot 17117 df-ndx 17129 df-base 17147 df-ress 17176 df-plusg 17212 df-mulr 17213 df-starv 17214 df-sca 17215 df-vsca 17216 df-ip 17217 df-tset 17218 df-ple 17219 df-ds 17221 df-unif 17222 df-hom 17223 df-cco 17224 df-rest 17370 df-topn 17371 df-0g 17389 df-gsum 17390 df-topgen 17391 df-pt 17392 df-prds 17395 df-xrs 17450 df-qtop 17455 df-imas 17456 df-xps 17458 df-mre 17532 df-mrc 17533 df-acs 17535 df-mgm 18563 df-sgrp 18612 df-mnd 18628 df-submnd 18674 df-mulg 18953 df-cntz 19183 df-cmn 19652 df-psmet 20942 df-xmet 20943 df-met 20944 df-bl 20945 df-mopn 20946 df-fbas 20947 df-fg 20948 df-cnfld 20951 df-top 22403 df-topon 22420 df-topsp 22442 df-bases 22456 df-cld 22530 df-ntr 22531 df-cls 22532 df-nei 22609 df-lp 22647 df-perf 22648 df-cn 22738 df-cnp 22739 df-haus 22826 df-tx 23073 df-hmeo 23266 df-fil 23357 df-fm 23449 df-flim 23450 df-flf 23451 df-xms 23833 df-ms 23834 df-tms 23835 df-cncf 24401 df-limc 25390 df-dv 25391 df-log 26072

This theorem is referenced by: bposlem9 26802

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