MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bposlem7 26638
Description: Lemma for bpos 26641. The function 𝐹 is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem7.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
bposlem7.2 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
bposlem7.3 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
bposlem7.4 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
bposlem7.5 (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐴)
bposlem7.6 (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
bposlem7 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (𝐹𝐵) < (𝐹𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem bposlem7
StepHypRef Expression
1 bposlem7.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
21nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
32rpsqrtcld 15296 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℝ+)
4 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (√‘𝐵) → (log‘𝑥) = (log‘(√‘𝐵)))
5 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (√‘𝐵) → 𝑥 = (√‘𝐵))
64, 5oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (√‘𝐵) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)))
7 bposlem7.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
8 ovex 7390 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6948 . . . . . . . . . . 11 ((√‘𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(√‘𝐵)) = ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)))
103, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐵)) = ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)))
11 bposlem7.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
1211nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1312rpsqrtcld 15296 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)
14 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (√‘𝐴) → (log‘𝑥) = (log‘(√‘𝐴)))
15 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (√‘𝐴) → 𝑥 = (√‘𝐴))
1614, 15oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (√‘𝐴) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)))
17 ovex 7390 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)) ∈ V
1816, 7, 17fvmpt 6948 . . . . . . . . . . 11 ((√‘𝐴) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(√‘𝐴)) = ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)))
1913, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐴)) = ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)))
2010, 19breq12d 5118 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺‘(√‘𝐵)) < (𝐺‘(√‘𝐴)) ↔ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) < ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴))))
2113rpred 12957 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
22 bposlem7.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐴)
2312rprege0d 12964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
24 resqrtth 15140 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2622, 25breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2))
2713rpge0d 12961 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (√‘𝐴))
28 ere 15971 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
29 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
30 epos 16089 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < e
3129, 28, 30ltleii 11278 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ e
32 le2sq 14039 . . . . . . . . . . . . 13 (((e ∈ ℝ ∧ 0 ≤ e) ∧ ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐴))) → (e ≤ (√‘𝐴) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2)))
3328, 31, 32mpanl12 700 . . . . . . . . . . . 12 (((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐴)) → (e ≤ (√‘𝐴) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2)))
3421, 27, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (e ≤ (√‘𝐴) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2)))
3526, 34mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → e ≤ (√‘𝐴))
363rpred 12957 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℝ)
37 bposlem7.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐵)
382rprege0d 12964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
39 resqrtth 15140 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵)
4137, 40breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2))
423rpge0d 12961 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (√‘𝐵))
43 le2sq 14039 . . . . . . . . . . . . 13 (((e ∈ ℝ ∧ 0 ≤ e) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐵))) → (e ≤ (√‘𝐵) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2)))
4428, 31, 43mpanl12 700 . . . . . . . . . . . 12 (((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐵)) → (e ≤ (√‘𝐵) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2)))
4536, 42, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (e ≤ (√‘𝐵) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2)))
4641, 45mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → e ≤ (√‘𝐵))
47 logdivlt 25976 . . . . . . . . . 10 ((((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ e ≤ (√‘𝐴)) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ e ≤ (√‘𝐵))) → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) < ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴))))
4821, 35, 36, 46, 47syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) < ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴))))
4921, 36, 27, 42lt2sqd 14159 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2)))
5020, 48, 493bitr2rd 307 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2) ↔ (𝐺‘(√‘𝐵)) < (𝐺‘(√‘𝐴))))
5125, 40breq12d 5118 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2) ↔ 𝐴 < 𝐵))
52 relogcl 25931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
53 rerpdivcl 12945 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
5452, 53mpancom 686 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
557, 54fmpti 7060 . . . . . . . . . . 11 𝐺:ℝ+⟶ℝ
5655ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . 10 ((√‘𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(√‘𝐵)) ∈ ℝ)
573, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐵)) ∈ ℝ)
5855ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . 10 ((√‘𝐴) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
5913, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
60 2rp 12920 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
61 rpsqrtcl 15149 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ+)
6260, 61mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘2) ∈ ℝ+)
6357, 59, 62ltmul2d 12999 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺‘(√‘𝐵)) < (𝐺‘(√‘𝐴)) ↔ ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴)))))
6450, 51, 633bitr3d 308 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴)))))
6564biimpd 228 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴)))))
6611nnred 12168 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
671nnred 12168 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
68 2re 12227 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
69 2pos 12256 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
7068, 69pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
72 ltdiv1 12019 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 2) < (𝐵 / 2)))
7366, 67, 71, 72syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 2) < (𝐵 / 2)))
7412rphalfcld 12969 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
7574rpred 12957 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7628, 68remulcli 11171 . . . . . . . . . . . . 13 (e · 2) ∈ ℝ
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (e · 2) ∈ ℝ)
7828resqcli 14090 . . . . . . . . . . . . 13 (e↑2) ∈ ℝ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (e↑2) ∈ ℝ)
80 egt2lt3 16088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 < e ∧ e < 3)
8180simpli 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < e
8268, 28, 81ltleii 11278 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≤ e
8368, 28, 28lemul2i 12078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < e → (2 ≤ e ↔ (e · 2) ≤ (e · e)))
8430, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ≤ e ↔ (e · 2) ≤ (e · e))
8582, 84mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (e · 2) ≤ (e · e)
8628recni 11169 . . . . . . . . . . . . . . 15 e ∈ ℂ
8786sqvali 14084 . . . . . . . . . . . . . 14 (e↑2) = (e · e)
8885, 87breqtrri 5132 . . . . . . . . . . . . 13 (e · 2) ≤ (e↑2)
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (e · 2) ≤ (e↑2))
9077, 79, 66, 89, 22letrd 11312 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (e · 2) ≤ 𝐴)
91 lemuldiv 12035 . . . . . . . . . . . . 13 ((e ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((e · 2) ≤ 𝐴 ↔ e ≤ (𝐴 / 2)))
9228, 70, 91mp3an13 1452 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → ((e · 2) ≤ 𝐴 ↔ e ≤ (𝐴 / 2)))
9366, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((e · 2) ≤ 𝐴 ↔ e ≤ (𝐴 / 2)))
9490, 93mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → e ≤ (𝐴 / 2))
952rphalfcld 12969 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℝ+)
9695rpred 12957 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℝ)
9777, 79, 67, 89, 37letrd 11312 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (e · 2) ≤ 𝐵)
98 lemuldiv 12035 . . . . . . . . . . . . 13 ((e ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((e · 2) ≤ 𝐵 ↔ e ≤ (𝐵 / 2)))
9928, 70, 98mp3an13 1452 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → ((e · 2) ≤ 𝐵 ↔ e ≤ (𝐵 / 2)))
10067, 99syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((e · 2) ≤ 𝐵 ↔ e ≤ (𝐵 / 2)))
10197, 100mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → e ≤ (𝐵 / 2))
102 logdivlt 25976 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝐴 / 2)) ∧ ((𝐵 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝐵 / 2))) → ((𝐴 / 2) < (𝐵 / 2) ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
10375, 94, 96, 101, 102syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 / 2) < (𝐵 / 2) ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
10473, 103bitrd 278 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
105 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 / 2) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐵 / 2)))
106 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 / 2) → 𝑥 = (𝐵 / 2))
107105, 106oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 / 2) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)))
108 ovex 7390 . . . . . . . . . . 11 ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) ∈ V
109107, 7, 108fvmpt 6948 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 / 2) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(𝐵 / 2)) = ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)))
11095, 109syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘(𝐵 / 2)) = ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)))
111 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐴 / 2) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐴 / 2)))
112 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐴 / 2) → 𝑥 = (𝐴 / 2))
113111, 112oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐴 / 2) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
114 ovex 7390 . . . . . . . . . . 11 ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)) ∈ V
115113, 7, 114fvmpt 6948 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(𝐴 / 2)) = ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
11674, 115syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘(𝐴 / 2)) = ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
117110, 116breq12d 5118 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺‘(𝐵 / 2)) < (𝐺‘(𝐴 / 2)) ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
11855ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 / 2) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(𝐵 / 2)) ∈ ℝ)
11995, 118syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘(𝐵 / 2)) ∈ ℝ)
12055ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
12174, 120syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
122 9nn 12251 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ
123 4nn 12236 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ
124 nnrp 12926 . . . . . . . . . . . 12 (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
125 nnrp 12926 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
126 rpdivcl 12940 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (9 / 4) ∈ ℝ+)
127124, 125, 126syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((9 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → (9 / 4) ∈ ℝ+)
128122, 123, 127mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (9 / 4) ∈ ℝ+
129128a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (9 / 4) ∈ ℝ+)
130119, 121, 129ltmul2d 12999 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺‘(𝐵 / 2)) < (𝐺‘(𝐴 / 2)) ↔ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
131104, 117, 1303bitr2d 306 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
132131biimpd 228 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
13365, 132jcad 513 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
134 sqrt2re 16132 . . . . . . 7 (√‘2) ∈ ℝ
135 remulcl 11136 . . . . . . 7 (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(√‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) ∈ ℝ)
136134, 57, 135sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) ∈ ℝ)
137 9re 12252 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
138 4re 12237 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
139 4ne0 12261 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
140137, 138, 139redivcli 11922 . . . . . . 7 (9 / 4) ∈ ℝ
141 remulcl 11136 . . . . . . 7 (((9 / 4) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝐵 / 2)) ∈ ℝ) → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) ∈ ℝ)
142140, 119, 141sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) ∈ ℝ)
143 remulcl 11136 . . . . . . 7 (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∈ ℝ)
144134, 59, 143sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∈ ℝ)
145 remulcl 11136 . . . . . . 7 (((9 / 4) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
146140, 121, 145sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
147 lt2add 11640 . . . . . 6 (((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) ∈ ℝ) ∧ (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)) → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
148136, 142, 144, 146, 147syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
149133, 148syld 47 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
150 ltmul2 12006 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (2 · 𝐴) < (2 · 𝐵)))
15166, 67, 71, 150syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (2 · 𝐴) < (2 · 𝐵)))
152 rpmulcl 12938 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
15360, 12, 152sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
154153rpsqrtcld 15296 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ+)
155 rpmulcl 12938 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ+)
15660, 2, 155sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ+)
157156rpsqrtcld 15296 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
158 rprege0 12930 . . . . . . . . 9 ((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ+ → ((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐴))))
159 rprege0 12930 . . . . . . . . 9 ((√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ+ → ((√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐵))))
160 lt2sq 14038 . . . . . . . . 9 ((((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐴))) ∧ ((√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐵)))) → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2)))
161158, 159, 160syl2an 596 . . . . . . . 8 (((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ+) → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2)))
162154, 157, 161syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2)))
163153rprege0d 12964 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)))
164 resqrtth 15140 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)) → ((√‘(2 · 𝐴))↑2) = (2 · 𝐴))
165163, 164syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐴))↑2) = (2 · 𝐴))
166156rprege0d 12964 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐵)))
167 resqrtth 15140 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐵)) → ((√‘(2 · 𝐵))↑2) = (2 · 𝐵))
168166, 167syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐵))↑2) = (2 · 𝐵))
169165, 168breq12d 5118 . . . . . . 7 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2) ↔ (2 · 𝐴) < (2 · 𝐵)))
170162, 169bitr2d 279 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝐴) < (2 · 𝐵) ↔ (√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵))))
171 1lt2 12324 . . . . . . . . 9 1 < 2
172 rplogcl 25959 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
17368, 171, 172mp2an 690 . . . . . . . 8 (log‘2) ∈ ℝ+
174173a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ+)
175154, 157, 174ltdiv2d 12980 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
176151, 170, 1753bitrd 304 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
177176biimpd 228 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
178149, 177jcad 513 . . 3 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
179136, 142readdcld 11184 . . . 4 (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) ∈ ℝ)
180 rpre 12923 . . . . . 6 ((log‘2) ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
181173, 180ax-mp 5 . . . . 5 (log‘2) ∈ ℝ
182 rerpdivcl 12945 . . . . 5 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ+) → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) ∈ ℝ)
183181, 157, 182sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) ∈ ℝ)
184144, 146readdcld 11184 . . . 4 (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∈ ℝ)
185 rerpdivcl 12945 . . . . 5 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ+) → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))) ∈ ℝ)
186181, 154, 185sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))) ∈ ℝ)
187 lt2add 11640 . . . 4 ((((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) ∈ ℝ) ∧ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))) ∈ ℝ)) → (((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))) → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
188179, 183, 184, 186, 187syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → (((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))) → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
189178, 188syld 47 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
190 2fveq3 6847 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(√‘𝑛)) = (𝐺‘(√‘𝐵)))
191190oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐵 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) = ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))))
192 fvoveq1 7380 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘(𝐵 / 2)))
193192oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐵 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2))) = ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))))
194191, 193oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐵 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) = (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))))
195 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐵 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝐵))
196195fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐵 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝐵)))
197196oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐵 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛))) = ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))))
198194, 197oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑛 = 𝐵 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))))
199 bposlem7.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
200 ovex 7390 . . . . 5 ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) ∈ V
201198, 199, 200fvmpt 6948 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐹𝐵) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))))
2021, 201syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))))
203 2fveq3 6847 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐴 → (𝐺‘(√‘𝑛)) = (𝐺‘(√‘𝐴)))
204203oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐴 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) = ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))))
205 fvoveq1 7380 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐴 → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘(𝐴 / 2)))
206205oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐴 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2))) = ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))
207204, 206oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐴 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) = (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
208 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐴 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝐴))
209208fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐴 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝐴)))
210209oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐴 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛))) = ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))
211207, 210oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑛 = 𝐴 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
212 ovex 7390 . . . . 5 ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))) ∈ V
213211, 199, 212fvmpt 6948 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
21411, 213syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
215202, 214breq12d 5118 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ↔ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
216189, 215sylibrd 258 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (𝐹𝐵) < (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  9c9 12215  +crp 12915  cexp 13967  csqrt 15118  eceu 15945  logclog 25910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-e 15951  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912
This theorem is referenced by:  bposlem9  26640
  Copyright terms: Public domain W3C validator