MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bposlem7 26654
Description: Lemma for bpos 26657. The function 𝐹 is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem7.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π‘›))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝑛 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)))))
bposlem7.2 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / π‘₯))
bposlem7.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
bposlem7.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•)
bposlem7.5 (πœ‘ β†’ (e↑2) ≀ 𝐴)
bposlem7.6 (πœ‘ β†’ (e↑2) ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
bposlem7 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π΅) < (πΉβ€˜π΄)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   𝑛,𝐺   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem bposlem7
StepHypRef Expression
1 bposlem7.4 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•)
21nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
32rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜π΅) ∈ ℝ+)
4 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (βˆšβ€˜π΅) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜(βˆšβ€˜π΅)))
5 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (βˆšβ€˜π΅) β†’ π‘₯ = (βˆšβ€˜π΅))
64, 5oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (βˆšβ€˜π΅) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / π‘₯) = ((logβ€˜(βˆšβ€˜π΅)) / (βˆšβ€˜π΅)))
7 bposlem7.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / π‘₯))
8 ovex 7395 . . . . . . . . . . . 12 ((logβ€˜(βˆšβ€˜π΅)) / (βˆšβ€˜π΅)) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6953 . . . . . . . . . . 11 ((βˆšβ€˜π΅) ∈ ℝ+ β†’ (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅)) = ((logβ€˜(βˆšβ€˜π΅)) / (βˆšβ€˜π΅)))
103, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅)) = ((logβ€˜(βˆšβ€˜π΅)) / (βˆšβ€˜π΅)))
11 bposlem7.3 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
1211nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
1312rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
14 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (βˆšβ€˜π΄) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
15 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (βˆšβ€˜π΄) β†’ π‘₯ = (βˆšβ€˜π΄))
1614, 15oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (βˆšβ€˜π΄) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / π‘₯) = ((logβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) / (βˆšβ€˜π΄)))
17 ovex 7395 . . . . . . . . . . . 12 ((logβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) / (βˆšβ€˜π΄)) ∈ V
1816, 7, 17fvmpt 6953 . . . . . . . . . . 11 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ+ β†’ (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) = ((logβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) / (βˆšβ€˜π΄)))
1913, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) = ((logβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) / (βˆšβ€˜π΄)))
2010, 19breq12d 5123 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅)) < (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ↔ ((logβ€˜(βˆšβ€˜π΅)) / (βˆšβ€˜π΅)) < ((logβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) / (βˆšβ€˜π΄))))
2113rpred 12964 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ)
22 bposlem7.5 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (e↑2) ≀ 𝐴)
2312rprege0d 12971 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴))
24 resqrtth 15147 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) = 𝐴)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) = 𝐴)
2622, 25breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (e↑2) ≀ ((βˆšβ€˜π΄)↑2))
2713rpge0d 12968 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜π΄))
28 ere 15978 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
29 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
30 epos 16096 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < e
3129, 28, 30ltleii 11285 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≀ e
32 le2sq 14046 . . . . . . . . . . . . 13 (((e ∈ ℝ ∧ 0 ≀ e) ∧ ((βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜π΄))) β†’ (e ≀ (βˆšβ€˜π΄) ↔ (e↑2) ≀ ((βˆšβ€˜π΄)↑2)))
3328, 31, 32mpanl12 701 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜π΄)) β†’ (e ≀ (βˆšβ€˜π΄) ↔ (e↑2) ≀ ((βˆšβ€˜π΄)↑2)))
3421, 27, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (e ≀ (βˆšβ€˜π΄) ↔ (e↑2) ≀ ((βˆšβ€˜π΄)↑2)))
3526, 34mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ e ≀ (βˆšβ€˜π΄))
363rpred 12964 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜π΅) ∈ ℝ)
37 bposlem7.6 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (e↑2) ≀ 𝐡)
382rprege0d 12971 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐡))
39 resqrtth 15147 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐡) β†’ ((βˆšβ€˜π΅)↑2) = 𝐡)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜π΅)↑2) = 𝐡)
4137, 40breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (e↑2) ≀ ((βˆšβ€˜π΅)↑2))
423rpge0d 12968 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜π΅))
43 le2sq 14046 . . . . . . . . . . . . 13 (((e ∈ ℝ ∧ 0 ≀ e) ∧ ((βˆšβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜π΅))) β†’ (e ≀ (βˆšβ€˜π΅) ↔ (e↑2) ≀ ((βˆšβ€˜π΅)↑2)))
4428, 31, 43mpanl12 701 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆšβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜π΅)) β†’ (e ≀ (βˆšβ€˜π΅) ↔ (e↑2) ≀ ((βˆšβ€˜π΅)↑2)))
4536, 42, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (e ≀ (βˆšβ€˜π΅) ↔ (e↑2) ≀ ((βˆšβ€˜π΅)↑2)))
4641, 45mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ e ≀ (βˆšβ€˜π΅))
47 logdivlt 25992 . . . . . . . . . 10 ((((βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ e ≀ (βˆšβ€˜π΄)) ∧ ((βˆšβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ e ≀ (βˆšβ€˜π΅))) β†’ ((βˆšβ€˜π΄) < (βˆšβ€˜π΅) ↔ ((logβ€˜(βˆšβ€˜π΅)) / (βˆšβ€˜π΅)) < ((logβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) / (βˆšβ€˜π΄))))
4821, 35, 36, 46, 47syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜π΄) < (βˆšβ€˜π΅) ↔ ((logβ€˜(βˆšβ€˜π΅)) / (βˆšβ€˜π΅)) < ((logβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) / (βˆšβ€˜π΄))))
4921, 36, 27, 42lt2sqd 14166 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜π΄) < (βˆšβ€˜π΅) ↔ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) < ((βˆšβ€˜π΅)↑2)))
5020, 48, 493bitr2rd 308 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜π΄)↑2) < ((βˆšβ€˜π΅)↑2) ↔ (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅)) < (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))))
5125, 40breq12d 5123 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜π΄)↑2) < ((βˆšβ€˜π΅)↑2) ↔ 𝐴 < 𝐡))
52 relogcl 25947 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
53 rerpdivcl 12952 . . . . . . . . . . . . 13 (((logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ ℝ)
5452, 53mpancom 687 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((logβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ ℝ)
557, 54fmpti 7065 . . . . . . . . . . 11 𝐺:ℝ+βŸΆβ„
5655ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . . 10 ((βˆšβ€˜π΅) ∈ ℝ+ β†’ (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
573, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
5855ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . . 10 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ+ β†’ (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
5913, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
60 2rp 12927 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
61 rpsqrtcl 15156 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜2) ∈ ℝ+)
6260, 61mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜2) ∈ ℝ+)
6357, 59, 62ltmul2d 13006 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅)) < (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ↔ ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) < ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))))
6450, 51, 633bitr3d 309 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) < ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))))
6564biimpd 228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 β†’ ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) < ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))))
6611nnred 12175 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
671nnred 12175 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
68 2re 12234 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
69 2pos 12263 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
7068, 69pm3.2i 472 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
72 ltdiv1 12026 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ (𝐴 / 2) < (𝐡 / 2)))
7366, 67, 71, 72syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ (𝐴 / 2) < (𝐡 / 2)))
7412rphalfcld 12976 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
7574rpred 12964 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7628, 68remulcli 11178 . . . . . . . . . . . . 13 (e Β· 2) ∈ ℝ
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (e Β· 2) ∈ ℝ)
7828resqcli 14097 . . . . . . . . . . . . 13 (e↑2) ∈ ℝ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (e↑2) ∈ ℝ)
80 egt2lt3 16095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 < e ∧ e < 3)
8180simpli 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < e
8268, 28, 81ltleii 11285 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≀ e
8368, 28, 28lemul2i 12085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < e β†’ (2 ≀ e ↔ (e Β· 2) ≀ (e Β· e)))
8430, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ≀ e ↔ (e Β· 2) ≀ (e Β· e))
8582, 84mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (e Β· 2) ≀ (e Β· e)
8628recni 11176 . . . . . . . . . . . . . . 15 e ∈ β„‚
8786sqvali 14091 . . . . . . . . . . . . . 14 (e↑2) = (e Β· e)
8885, 87breqtrri 5137 . . . . . . . . . . . . 13 (e Β· 2) ≀ (e↑2)
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (e Β· 2) ≀ (e↑2))
9077, 79, 66, 89, 22letrd 11319 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (e Β· 2) ≀ 𝐴)
91 lemuldiv 12042 . . . . . . . . . . . . 13 ((e ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((e Β· 2) ≀ 𝐴 ↔ e ≀ (𝐴 / 2)))
9228, 70, 91mp3an13 1453 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((e Β· 2) ≀ 𝐴 ↔ e ≀ (𝐴 / 2)))
9366, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((e Β· 2) ≀ 𝐴 ↔ e ≀ (𝐴 / 2)))
9490, 93mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ e ≀ (𝐴 / 2))
952rphalfcld 12976 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 / 2) ∈ ℝ+)
9695rpred 12964 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 / 2) ∈ ℝ)
9777, 79, 67, 89, 37letrd 11319 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (e Β· 2) ≀ 𝐡)
98 lemuldiv 12042 . . . . . . . . . . . . 13 ((e ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((e Β· 2) ≀ 𝐡 ↔ e ≀ (𝐡 / 2)))
9928, 70, 98mp3an13 1453 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ ℝ β†’ ((e Β· 2) ≀ 𝐡 ↔ e ≀ (𝐡 / 2)))
10067, 99syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((e Β· 2) ≀ 𝐡 ↔ e ≀ (𝐡 / 2)))
10197, 100mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ e ≀ (𝐡 / 2))
102 logdivlt 25992 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≀ (𝐴 / 2)) ∧ ((𝐡 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≀ (𝐡 / 2))) β†’ ((𝐴 / 2) < (𝐡 / 2) ↔ ((logβ€˜(𝐡 / 2)) / (𝐡 / 2)) < ((logβ€˜(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
10375, 94, 96, 101, 102syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 / 2) < (𝐡 / 2) ↔ ((logβ€˜(𝐡 / 2)) / (𝐡 / 2)) < ((logβ€˜(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
10473, 103bitrd 279 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ ((logβ€˜(𝐡 / 2)) / (𝐡 / 2)) < ((logβ€˜(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
105 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝐡 / 2) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜(𝐡 / 2)))
106 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝐡 / 2) β†’ π‘₯ = (𝐡 / 2))
107105, 106oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝐡 / 2) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / π‘₯) = ((logβ€˜(𝐡 / 2)) / (𝐡 / 2)))
108 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 ((logβ€˜(𝐡 / 2)) / (𝐡 / 2)) ∈ V
109107, 7, 108fvmpt 6953 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (πΊβ€˜(𝐡 / 2)) = ((logβ€˜(𝐡 / 2)) / (𝐡 / 2)))
11095, 109syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(𝐡 / 2)) = ((logβ€˜(𝐡 / 2)) / (𝐡 / 2)))
111 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝐴 / 2) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜(𝐴 / 2)))
112 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝐴 / 2) β†’ π‘₯ = (𝐴 / 2))
113111, 112oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝐴 / 2) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / π‘₯) = ((logβ€˜(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
114 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 ((logβ€˜(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)) ∈ V
115113, 7, 114fvmpt 6953 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 / 2)) = ((logβ€˜(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
11674, 115syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 / 2)) = ((logβ€˜(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
117110, 116breq12d 5123 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜(𝐡 / 2)) < (πΊβ€˜(𝐴 / 2)) ↔ ((logβ€˜(𝐡 / 2)) / (𝐡 / 2)) < ((logβ€˜(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
11855ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (πΊβ€˜(𝐡 / 2)) ∈ ℝ)
11995, 118syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(𝐡 / 2)) ∈ ℝ)
12055ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
12174, 120syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
122 9nn 12258 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ β„•
123 4nn 12243 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ β„•
124 nnrp 12933 . . . . . . . . . . . 12 (9 ∈ β„• β†’ 9 ∈ ℝ+)
125 nnrp 12933 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ β„• β†’ 4 ∈ ℝ+)
126 rpdivcl 12947 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) β†’ (9 / 4) ∈ ℝ+)
127124, 125, 126syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((9 ∈ β„• ∧ 4 ∈ β„•) β†’ (9 / 4) ∈ ℝ+)
128122, 123, 127mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (9 / 4) ∈ ℝ+
129128a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (9 / 4) ∈ ℝ+)
130119, 121, 129ltmul2d 13006 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜(𝐡 / 2)) < (πΊβ€˜(𝐴 / 2)) ↔ ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2))) < ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))))
131104, 117, 1303bitr2d 307 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2))) < ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))))
132131biimpd 228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 β†’ ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2))) < ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))))
13365, 132jcad 514 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 β†’ (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) < ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∧ ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2))) < ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2))))))
134 sqrt2re 16139 . . . . . . 7 (βˆšβ€˜2) ∈ ℝ
135 remulcl 11143 . . . . . . 7 (((βˆšβ€˜2) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅)) ∈ ℝ) β†’ ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
136134, 57, 135sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
137 9re 12259 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
138 4re 12244 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
139 4ne0 12268 . . . . . . . 8 4 β‰  0
140137, 138, 139redivcli 11929 . . . . . . 7 (9 / 4) ∈ ℝ
141 remulcl 11143 . . . . . . 7 (((9 / 4) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜(𝐡 / 2)) ∈ ℝ) β†’ ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2))) ∈ ℝ)
142140, 119, 141sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2))) ∈ ℝ)
143 remulcl 11143 . . . . . . 7 (((βˆšβ€˜2) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ) β†’ ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
144134, 59, 143sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
145 remulcl 11143 . . . . . . 7 (((9 / 4) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) β†’ ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
146140, 121, 145sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
147 lt2add 11647 . . . . . 6 (((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) ∈ ℝ ∧ ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2))) ∈ ℝ) ∧ (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∈ ℝ ∧ ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)) β†’ ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) < ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∧ ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2))) < ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))) β†’ (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) < (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2))))))
148136, 142, 144, 146, 147syl22anc 838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) < ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∧ ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2))) < ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))) β†’ (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) < (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2))))))
149133, 148syld 47 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 β†’ (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) < (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2))))))
150 ltmul2 12013 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ (2 Β· 𝐴) < (2 Β· 𝐡)))
15166, 67, 71, 150syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ (2 Β· 𝐴) < (2 Β· 𝐡)))
152 rpmulcl 12945 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ+)
15360, 12, 152sylancr 588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ+)
154153rpsqrtcld 15303 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)) ∈ ℝ+)
155 rpmulcl 12945 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· 𝐡) ∈ ℝ+)
15660, 2, 155sylancr 588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐡) ∈ ℝ+)
157156rpsqrtcld 15303 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)) ∈ ℝ+)
158 rprege0 12937 . . . . . . . . 9 ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)) ∈ ℝ+ β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))))
159 rprege0 12937 . . . . . . . . 9 ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)) ∈ ℝ+ β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))))
160 lt2sq 14045 . . . . . . . . 9 ((((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))) ∧ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)))) β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)) < (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)) ↔ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))↑2) < ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))↑2)))
161158, 159, 160syl2an 597 . . . . . . . 8 (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)) ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)) < (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)) ↔ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))↑2) < ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))↑2)))
162154, 157, 161syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)) < (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)) ↔ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))↑2) < ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))↑2)))
163153rprege0d 12971 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (2 Β· 𝐴)))
164 resqrtth 15147 . . . . . . . . 9 (((2 Β· 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (2 Β· 𝐴)) β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))↑2) = (2 Β· 𝐴))
165163, 164syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))↑2) = (2 Β· 𝐴))
166156rprege0d 12971 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝐡) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (2 Β· 𝐡)))
167 resqrtth 15147 . . . . . . . . 9 (((2 Β· 𝐡) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (2 Β· 𝐡)) β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))↑2) = (2 Β· 𝐡))
168166, 167syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))↑2) = (2 Β· 𝐡))
169165, 168breq12d 5123 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))↑2) < ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))↑2) ↔ (2 Β· 𝐴) < (2 Β· 𝐡)))
170162, 169bitr2d 280 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝐴) < (2 Β· 𝐡) ↔ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)) < (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))))
171 1lt2 12331 . . . . . . . . 9 1 < 2
172 rplogcl 25975 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) β†’ (logβ€˜2) ∈ ℝ+)
17368, 171, 172mp2an 691 . . . . . . . 8 (logβ€˜2) ∈ ℝ+
174173a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜2) ∈ ℝ+)
175154, 157, 174ltdiv2d 12987 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)) < (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)) ↔ ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))) < ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)))))
176151, 170, 1753bitrd 305 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))) < ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)))))
177176biimpd 228 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 β†’ ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))) < ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)))))
178149, 177jcad 514 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 β†’ ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) < (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))) ∧ ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))) < ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))))))
179136, 142readdcld 11191 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) ∈ ℝ)
180 rpre 12930 . . . . . 6 ((logβ€˜2) ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜2) ∈ ℝ)
181173, 180ax-mp 5 . . . . 5 (logβ€˜2) ∈ ℝ
182 rerpdivcl 12952 . . . . 5 (((logβ€˜2) ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)) ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))) ∈ ℝ)
183181, 157, 182sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))) ∈ ℝ)
184144, 146readdcld 11191 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))) ∈ ℝ)
185 rerpdivcl 12952 . . . . 5 (((logβ€˜2) ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)) ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))) ∈ ℝ)
186181, 154, 185sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))) ∈ ℝ)
187 lt2add 11647 . . . 4 ((((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) ∈ ℝ ∧ ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))) ∈ ℝ) ∧ ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))) ∈ ℝ ∧ ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))) ∈ ℝ)) β†’ (((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) < (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))) ∧ ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))) < ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)))) β†’ ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)))) < ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))))))
188179, 183, 184, 186, 187syl22anc 838 . . 3 (πœ‘ β†’ (((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) < (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))) ∧ ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))) < ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)))) β†’ ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)))) < ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))))))
189178, 188syld 47 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 β†’ ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)))) < ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))))))
190 2fveq3 6852 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π‘›)) = (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅)))
191190oveq2d 7378 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐡 β†’ ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π‘›))) = ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))))
192 fvoveq1 7385 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(𝑛 / 2)) = (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))
193192oveq2d 7378 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐡 β†’ ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝑛 / 2))) = ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2))))
194191, 193oveq12d 7380 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐡 β†’ (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π‘›))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝑛 / 2)))) = (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))))
195 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐡 β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· 𝐡))
196195fveq2d 6851 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐡 β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) = (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)))
197196oveq2d 7378 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐡 β†’ ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛))) = ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡))))
198194, 197oveq12d 7380 . . . . 5 (𝑛 = 𝐡 β†’ ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π‘›))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝑛 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)))) = ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)))))
199 bposlem7.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π‘›))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝑛 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)))))
200 ovex 7395 . . . . 5 ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)))) ∈ V
201198, 199, 200fvmpt 6953 . . . 4 (𝐡 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π΅) = ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)))))
2021, 201syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) = ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)))))
203 2fveq3 6852 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐴 β†’ (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π‘›)) = (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
204203oveq2d 7378 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐴 β†’ ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π‘›))) = ((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))))
205 fvoveq1 7385 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐴 β†’ (πΊβ€˜(𝑛 / 2)) = (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))
206205oveq2d 7378 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐴 β†’ ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝑛 / 2))) = ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2))))
207204, 206oveq12d 7380 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐴 β†’ (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π‘›))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝑛 / 2)))) = (((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))))
208 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐴 β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· 𝐴))
209208fveq2d 6851 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐴 β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) = (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)))
210209oveq2d 7378 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐴 β†’ ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛))) = ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))))
211207, 210oveq12d 7380 . . . . 5 (𝑛 = 𝐴 β†’ ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π‘›))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝑛 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)))) = ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)))))
212 ovex 7395 . . . . 5 ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)))) ∈ V
213211, 199, 212fvmpt 6953 . . . 4 (𝐴 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π΄) = ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)))))
21411, 213syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴)))))
215202, 214breq12d 5123 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) < (πΉβ€˜π΄) ↔ ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΅))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐡 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐡)))) < ((((βˆšβ€˜2) Β· (πΊβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) + ((9 / 4) Β· (πΊβ€˜(𝐴 / 2)))) + ((logβ€˜2) / (βˆšβ€˜(2 Β· 𝐴))))))
216189, 215sylibrd 259 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π΅) < (πΉβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  9c9 12222  β„+crp 12922  β†‘cexp 13974  βˆšcsqrt 15125  eceu 15952  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928
This theorem is referenced by:  bposlem9  26656
  Copyright terms: Public domain W3C validator