Theorem divsmo 28627

Description: Uniqueness of surreal inversion. Given a nonzero surreal 𝐴, there is at most one surreal giving a particular product. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
divsmo	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) → ∃*𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem divsmo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqtr3 2785	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 ·s 𝑥) = (𝐴 ·s 𝑦))
2		simprl 783	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No)) → 𝑥 ∈ No)
3		simprr 785	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No)) → 𝑦 ∈ No)
4		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No)) → 𝐴 ∈ No)
5		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No)) → 𝐴 ≠ 0s )
6	2, 3, 4, 5	mulscan1d 28623	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No)) → ((𝐴 ·s 𝑥) = (𝐴 ·s 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
7	1, 6	imbitrid 247	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No)) → (((𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
8	7	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) → ∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No (((𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
9		oveq2 7459	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ·s 𝑥) = (𝐴 ·s 𝑦))
10	9	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵))
11	10	rmo4 3691	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No (((𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
12	8, 11	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) → ∃*𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃*wrmo 3368  (class class class)co 7451  Nocsur 28054   0_s c0s 28248   ·_s cmuls 28549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-1o 8514  df-2o 8515  df-nadd 8713  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-les 28159  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-0s 28250  df-made 28270  df-old 28271  df-left 28273  df-right 28274  df-norec 28381  df-norec2 28392  df-adds 28403  df-negs 28464  df-subs 28465  df-muls 28550

This theorem is used by:  noreceuw  28634