Theorem divsmo 28193

Description: Uniqueness of surreal inversion. Given a nonzero surreal 𝐴, there is at most one surreal giving a particular product. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
divsmo	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) → ∃*𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem divsmo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqtr3 2759	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 ·s 𝑥) = (𝐴 ·s 𝑦))
2		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No )) → 𝑥 ∈ No )
3		simprr 773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No )) → 𝑦 ∈ No )
4		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No )) → 𝐴 ∈ No )
5		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No )) → 𝐴 ≠ 0s )
6	2, 3, 4, 5	mulscan1d 28189	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No )) → ((𝐴 ·s 𝑥) = (𝐴 ·s 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
7	1, 6	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No )) → (((𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
8	7	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) → ∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No (((𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
9		oveq2 7369	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ·s 𝑥) = (𝐴 ·s 𝑦))
10	9	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵))
11	10	rmo4 3677	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No (((𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
12	8, 11	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) → ∃*𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃*wrmo 3342  (class class class)co 7361   No csur 27620   0_s c0s 27814   ·_s cmuls 28115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-1o 8399  df-2o 8400  df-nadd 8596  df-no 27623  df-lts 27624  df-bday 27625  df-les 27726  df-slts 27767  df-cuts 27769  df-0s 27816  df-made 27836  df-old 27837  df-left 27839  df-right 27840  df-norec 27947  df-norec2 27958  df-adds 27969  df-negs 28030  df-subs 28031  df-muls 28116

This theorem is referenced by:  noreceuw  28200