Theorem divsmo 28228

Description: Uniqueness of surreal inversion. Given a non-zero surreal 𝐴, there is at most one surreal giving a particular product. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
divsmo	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) → ∃*𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem divsmo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqtr3 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 ·s 𝑥) = (𝐴 ·s 𝑦))
2		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No )) → 𝑥 ∈ No )
3		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No )) → 𝑦 ∈ No )
4		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No )) → 𝐴 ∈ No )
5		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No )) → 𝐴 ≠ 0s )
6	2, 3, 4, 5	mulscan1d 28224	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No )) → ((𝐴 ·s 𝑥) = (𝐴 ·s 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
7	1, 6	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) ∧ (𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No )) → (((𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
8	7	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) → ∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No (((𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
9		oveq2 7456	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ·s 𝑥) = (𝐴 ·s 𝑦))
10	9	eqeq1d 2742	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵))
11	10	rmo4 3752	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No (((𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
12	8, 11	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) → ∃*𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃*wrmo 3387  (class class class)co 7448   No csur 27702   0_s c0s 27885   ·_s cmuls 28150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-1o 8522  df-2o 8523  df-nadd 8722  df-no 27705  df-slt 27706  df-bday 27707  df-sle 27808  df-sslt 27844  df-scut 27846  df-0s 27887  df-made 27904  df-old 27905  df-left 27907  df-right 27908  df-norec 27989  df-norec2 28000  df-adds 28011  df-negs 28071  df-subs 28072  df-muls 28151

This theorem is referenced by:  noreceuw  28235