Theorem remulscllem2 28944

Description: Lemma for remulscl 28945. Bound 𝐴 and 𝐵 above and below. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
remulscllem2	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) ∧ ((( -s‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -s‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -s‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝑁,𝑝   𝑀,𝑝

Proof of Theorem remulscllem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑁 ·s 𝑀) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀)))
2		nnmulscl 28790	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) → (𝑁 ·s 𝑀) ∈ ℕs)
3	2	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (𝑁 ·s 𝑀) ∈ ℕs)
4		absmuls 28687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) = ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)))
5	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) = ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)))
6		absscl 28683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) ∈ No)
7	6	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐴) ∈ No)
8		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕs)
9	8	nnnod 28769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑁 ∈ No)
10		absscl 28683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → (abss‘𝐵) ∈ No)
11	10	ad3antlr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐵) ∈ No)
12		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕs)
13	12	nnnod 28769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑀 ∈ No)
14		abssge0 28688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → 0s ≤s (abss‘𝐴))
15	14	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 0s ≤s (abss‘𝐴))
16		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐴) <s 𝑁)
17		abssge0 28688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → 0s ≤s (abss‘𝐵))
18	17	ad3antlr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 0s ≤s (abss‘𝐵))
19		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐵) <s 𝑀)
20	7, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 19	ltmuls12ad 28626	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀))
21	5, 20	eqbrtrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀))
22	1, 3, 21	rspcedvdw 3583	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝)
23	22	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝))
24		nnno 28767	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ No)
25		abslts 28692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ No) → ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ↔ (( -s‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁)))
26	24, 25	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ↔ (( -s‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁)))
27		nnno 28767	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕs → 𝑀 ∈ No)
28		abslts 28692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ No) → ((abss‘𝐵) <s 𝑀 ↔ (( -s‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))
29	27, 28	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕs) → ((abss‘𝐵) <s 𝑀 ↔ (( -s‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))
30	26, 29	bi2anan9 650	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) ∧ (𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) ↔ ((( -s‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -s‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀))))
31	30	an4s 673	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) ↔ ((( -s‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -s‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀))))
32		mulscl 28577	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No)
33	32	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No)
34		nnno 28767	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℕs → 𝑝 ∈ No)
35		abslts 28692	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·s 𝐵) ∈ No ∧ 𝑝 ∈ No) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (( -s‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
36	33, 34, 35	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ 𝑝 ∈ ℕs) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (( -s‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
37	36	rexbidva 3188	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ ∃𝑝 ∈ ℕs (( -s‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
38	23, 31, 37	3imtr3d 296	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((( -s‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -s‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -s‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
39	38	impr 460	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) ∧ ((( -s‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -s‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -s‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Nocsur 28054   <s clts 28055   ≤s cles 28158   0_s c0s 28248   -_scnegs 28462   ·_s cmuls 28549  abs_scabss 28680  ℕ_scnns 28756

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-nadd 8713  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-les 28159  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-0s 28250  df-1s 28251  df-made 28270  df-old 28271  df-left 28273  df-right 28274  df-norec 28381  df-norec2 28392  df-adds 28403  df-negs 28464  df-subs 28465  df-muls 28550  df-abss 28681  df-n0s 28757  df-nns 28758

This theorem is used by:  remulscl  28945