Theorem remulscllem2 28359

Description: Lemma for remulscl 28360. Bound 𝐴 and 𝐵 above and below. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
remulscllem2	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) ∧ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝑁,𝑝   𝑀,𝑝

Proof of Theorem remulscllem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑁 ·s 𝑀) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀)))
2		nnmulscl 28246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) → (𝑁 ·s 𝑀) ∈ ℕs)
3	2	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (𝑁 ·s 𝑀) ∈ ℕs)
4		absmuls 28153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) = ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)))
5	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) = ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)))
6		absscl 28149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) ∈ No )
7	6	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐴) ∈ No )
8		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕs)
9	8	nnsnod 28226	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑁 ∈ No )
10		absscl 28149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → (abss‘𝐵) ∈ No )
11	10	ad3antlr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐵) ∈ No )
12		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕs)
13	12	nnsnod 28226	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑀 ∈ No )
14		abssge0 28154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → 0s ≤s (abss‘𝐴))
15	14	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 0s ≤s (abss‘𝐴))
16		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐴) <s 𝑁)
17		abssge0 28154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → 0s ≤s (abss‘𝐵))
18	17	ad3antlr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 0s ≤s (abss‘𝐵))
19		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐵) <s 𝑀)
20	7, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 19	sltmul12ad 28093	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀))
21	5, 20	eqbrtrd 5132	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀))
22	1, 3, 21	rspcedvdw 3594	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝)
23	22	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝))
24		nnsno 28224	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ No )
25		absslt 28158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ↔ (( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁)))
26	24, 25	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ↔ (( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁)))
27		nnsno 28224	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕs → 𝑀 ∈ No )
28		absslt 28158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ No ) → ((abss‘𝐵) <s 𝑀 ↔ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))
29	27, 28	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕs) → ((abss‘𝐵) <s 𝑀 ↔ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))
30	26, 29	bi2anan9 638	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) ∧ (𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) ↔ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀))))
31	30	an4s 660	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) ↔ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀))))
32		mulscl 28044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
33	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
34		nnsno 28224	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℕs → 𝑝 ∈ No )
35		absslt 28158	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·s 𝐵) ∈ No ∧ 𝑝 ∈ No ) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
36	33, 34, 35	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ 𝑝 ∈ ℕs) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
37	36	rexbidva 3156	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
38	23, 31, 37	3imtr3d 293	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
39	38	impr 454	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) ∧ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   No csur 27558   <s cslt 27559   ≤s csle 27663   0_s c0s 27741   -u_s cnegs 27932   ·_s cmuls 28016  abs_scabss 28146  ℕ_scnns 28214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-nadd 8633  df-no 27561  df-slt 27562  df-bday 27563  df-sle 27664  df-sslt 27700  df-scut 27702  df-0s 27743  df-1s 27744  df-made 27762  df-old 27763  df-left 27765  df-right 27766  df-norec 27852  df-norec2 27863  df-adds 27874  df-negs 27934  df-subs 27935  df-muls 28017  df-abss 28147  df-n0s 28215  df-nns 28216

This theorem is referenced by:  remulscl  28360