Theorem remulscllem2 28894

Description: Lemma for remulscl 28895. Bound 𝐴 and 𝐵 above and below. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
remulscllem2	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) ∧ ((( -s‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -s‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -s‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝑁,𝑝   𝑀,𝑝

Proof of Theorem remulscllem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑁 ·s 𝑀) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀)))
2		nnmulscl 28740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) → (𝑁 ·s 𝑀) ∈ ℕs)
3	2	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (𝑁 ·s 𝑀) ∈ ℕs)
4		absmuls 28637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) = ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)))
5	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) = ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)))
6		absscl 28633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) ∈ No)
7	6	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐴) ∈ No)
8		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕs)
9	8	nnnod 28719	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑁 ∈ No)
10		absscl 28633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → (abss‘𝐵) ∈ No)
11	10	ad3antlr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐵) ∈ No)
12		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕs)
13	12	nnnod 28719	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑀 ∈ No)
14		abssge0 28638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → 0s ≤s (abss‘𝐴))
15	14	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 0s ≤s (abss‘𝐴))
16		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐴) <s 𝑁)
17		abssge0 28638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → 0s ≤s (abss‘𝐵))
18	17	ad3antlr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 0s ≤s (abss‘𝐵))
19		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐵) <s 𝑀)
20	7, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 19	ltmuls12ad 28576	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀))
21	5, 20	eqbrtrd 5126	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀))
22	1, 3, 21	rspcedvdw 3579	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝)
23	22	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝))
24		nnno 28717	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ No)
25		abslts 28642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ No) → ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ↔ (( -s‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁)))
26	24, 25	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ↔ (( -s‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁)))
27		nnno 28717	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕs → 𝑀 ∈ No)
28		abslts 28642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ No) → ((abss‘𝐵) <s 𝑀 ↔ (( -s‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))
29	27, 28	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕs) → ((abss‘𝐵) <s 𝑀 ↔ (( -s‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))
30	26, 29	bi2anan9 650	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) ∧ (𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) ↔ ((( -s‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -s‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀))))
31	30	an4s 673	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) ↔ ((( -s‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -s‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀))))
32		mulscl 28527	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No)
33	32	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No)
34		nnno 28717	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℕs → 𝑝 ∈ No)
35		abslts 28642	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·s 𝐵) ∈ No ∧ 𝑝 ∈ No) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (( -s‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
36	33, 34, 35	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ 𝑝 ∈ ℕs) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (( -s‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
37	36	rexbidva 3184	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ ∃𝑝 ∈ ℕs (( -s‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
38	23, 31, 37	3imtr3d 296	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((( -s‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -s‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -s‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
39	38	impr 460	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) ∧ ((( -s‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -s‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -s‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Nocsur 28004   <s clts 28005   ≤s cles 28108   0_s c0s 28198   -_scnegs 28412   ·_s cmuls 28499  abs_scabss 28630  ℕ_scnns 28706

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-nadd 8680  df-no 28007  df-lts 28008  df-bday 28009  df-les 28109  df-slts 28151  df-cuts 28153  df-0s 28200  df-1s 28201  df-made 28220  df-old 28221  df-left 28223  df-right 28224  df-norec 28331  df-norec2 28342  df-adds 28353  df-negs 28414  df-subs 28415  df-muls 28500  df-abss 28631  df-n0s 28707  df-nns 28708

This theorem is used by:  remulscl  28895