Theorem remulscllem2 28184

Description: Lemma for remulscl 28185. Bound 𝐴 and 𝐵 above and below. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
remulscllem2	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) ∧ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝑁,𝑝   𝑀,𝑝

Proof of Theorem remulscllem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5145	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑁 ·s 𝑀) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀)))
2		nnmulscl 28168	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) → (𝑁 ·s 𝑀) ∈ ℕs)
3	2	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (𝑁 ·s 𝑀) ∈ ℕs)
4		absmuls 28093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) = ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)))
5	4	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) = ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)))
6		absscl 28089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) ∈ No )
7	6	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐴) ∈ No )
8		simplrl 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕs)
9	8	nnsnod 28153	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑁 ∈ No )
10		absscl 28089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → (abss‘𝐵) ∈ No )
11	10	ad3antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐵) ∈ No )
12		simplrr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕs)
13	12	nnsnod 28153	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑀 ∈ No )
14		abssge0 28094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → 0s ≤s (abss‘𝐴))
15	14	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 0s ≤s (abss‘𝐴))
16		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐴) <s 𝑁)
17		abssge0 28094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → 0s ≤s (abss‘𝐵))
18	17	ad3antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 0s ≤s (abss‘𝐵))
19		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐵) <s 𝑀)
20	7, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 19	sltmul12ad 28038	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀))
21	5, 20	eqbrtrd 5163	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀))
22	1, 3, 21	rspcedvdw 3609	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝)
23	22	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝))
24		nnsno 28151	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ No )
25		absslt 28098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ↔ (( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁)))
26	24, 25	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ↔ (( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁)))
27		nnsno 28151	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕs → 𝑀 ∈ No )
28		absslt 28098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ No ) → ((abss‘𝐵) <s 𝑀 ↔ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))
29	27, 28	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕs) → ((abss‘𝐵) <s 𝑀 ↔ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))
30	26, 29	bi2anan9 636	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) ∧ (𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) ↔ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀))))
31	30	an4s 657	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) ↔ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀))))
32		mulscl 27989	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
33	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
34		nnsno 28151	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℕs → 𝑝 ∈ No )
35		absslt 28098	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·s 𝐵) ∈ No ∧ 𝑝 ∈ No ) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
36	33, 34, 35	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ 𝑝 ∈ ℕs) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
37	36	rexbidva 3170	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
38	23, 31, 37	3imtr3d 293	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
39	38	impr 454	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) ∧ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   No csur 27528   <s cslt 27529   ≤s csle 27632   0_s c0s 27710   -u_s cnegs 27887   ·_s cmuls 27961  abs_scabss 28086  ℕ_scnns 28141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-nadd 8667  df-no 27531  df-slt 27532  df-bday 27533  df-sle 27633  df-sslt 27669  df-scut 27671  df-0s 27712  df-1s 27713  df-made 27729  df-old 27730  df-left 27732  df-right 27733  df-norec 27810  df-norec2 27821  df-adds 27832  df-negs 27889  df-subs 27890  df-muls 27962  df-abss 28087  df-n0s 28142  df-nns 28143

This theorem is referenced by:  remulscl  28185