MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  remulscllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remulscllem2 28273
Description: Lemma for remulscl 28274. Bound ๐ด and ๐ต above and below. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)
Assertion
Ref Expression
remulscllem2 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง ((๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s) โˆง ((( -us โ€˜๐‘) <s ๐ด โˆง ๐ด <s ๐‘) โˆง (( -us โ€˜๐‘€) <s ๐ต โˆง ๐ต <s ๐‘€)))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•s (( -us โ€˜๐‘) <s (๐ด ยทs ๐ต) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘   ๐ต,๐‘   ๐‘,๐‘   ๐‘€,๐‘

Proof of Theorem remulscllem2
StepHypRef Expression
1 breq2 5147 . . . . 5 (๐‘ = (๐‘ ยทs ๐‘€) โ†’ ((abssโ€˜(๐ด ยทs ๐ต)) <s ๐‘ โ†” (abssโ€˜(๐ด ยทs ๐ต)) <s (๐‘ ยทs ๐‘€)))
2 nnmulscl 28237 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s) โ†’ (๐‘ ยทs ๐‘€) โˆˆ โ„•s)
32ad2antlr 725 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)) โ†’ (๐‘ ยทs ๐‘€) โˆˆ โ„•s)
4 absmuls 28160 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ (abssโ€˜(๐ด ยทs ๐ต)) = ((abssโ€˜๐ด) ยทs (abssโ€˜๐ต)))
54ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)) โ†’ (abssโ€˜(๐ด ยทs ๐ต)) = ((abssโ€˜๐ด) ยทs (abssโ€˜๐ต)))
6 absscl 28156 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ No โ†’ (abssโ€˜๐ด) โˆˆ No )
76ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)) โ†’ (abssโ€˜๐ด) โˆˆ No )
8 simplrl 775 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•s)
98nnsnod 28220 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ No )
10 absscl 28156 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ No โ†’ (abssโ€˜๐ต) โˆˆ No )
1110ad3antlr 729 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)) โ†’ (abssโ€˜๐ต) โˆˆ No )
12 simplrr 776 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•s)
1312nnsnod 28220 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ No )
14 abssge0 28161 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ No โ†’ 0s โ‰คs (abssโ€˜๐ด))
1514ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)) โ†’ 0s โ‰คs (abssโ€˜๐ด))
16 simprl 769 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)) โ†’ (abssโ€˜๐ด) <s ๐‘)
17 abssge0 28161 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ No โ†’ 0s โ‰คs (abssโ€˜๐ต))
1817ad3antlr 729 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)) โ†’ 0s โ‰คs (abssโ€˜๐ต))
19 simprr 771 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)) โ†’ (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)
207, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 19sltmul12ad 28105 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)) โ†’ ((abssโ€˜๐ด) ยทs (abssโ€˜๐ต)) <s (๐‘ ยทs ๐‘€))
215, 20eqbrtrd 5165 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)) โ†’ (abssโ€˜(๐ด ยทs ๐ต)) <s (๐‘ ยทs ๐‘€))
221, 3, 21rspcedvdw 3604 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•s (abssโ€˜(๐ด ยทs ๐ต)) <s ๐‘)
2322ex 411 . . 3 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โ†’ (((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•s (abssโ€˜(๐ด ยทs ๐ต)) <s ๐‘))
24 nnsno 28218 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•s โ†’ ๐‘ โˆˆ No )
25 absslt 28165 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐‘ โˆˆ No ) โ†’ ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โ†” (( -us โ€˜๐‘) <s ๐ด โˆง ๐ด <s ๐‘)))
2624, 25sylan2 591 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•s) โ†’ ((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โ†” (( -us โ€˜๐‘) <s ๐ด โˆง ๐ด <s ๐‘)))
27 nnsno 28218 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„•s โ†’ ๐‘€ โˆˆ No )
28 absslt 28165 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ No โˆง ๐‘€ โˆˆ No ) โ†’ ((abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€ โ†” (( -us โ€˜๐‘€) <s ๐ต โˆง ๐ต <s ๐‘€)))
2927, 28sylan2 591 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ No โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s) โ†’ ((abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€ โ†” (( -us โ€˜๐‘€) <s ๐ต โˆง ๐ต <s ๐‘€)))
3026, 29bi2anan9 636 . . . 4 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•s) โˆง (๐ต โˆˆ No โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โ†’ (((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€) โ†” ((( -us โ€˜๐‘) <s ๐ด โˆง ๐ด <s ๐‘) โˆง (( -us โ€˜๐‘€) <s ๐ต โˆง ๐ต <s ๐‘€))))
3130an4s 658 . . 3 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โ†’ (((abssโ€˜๐ด) <s ๐‘ โˆง (abssโ€˜๐ต) <s ๐‘€) โ†” ((( -us โ€˜๐‘) <s ๐ด โˆง ๐ด <s ๐‘) โˆง (( -us โ€˜๐‘€) <s ๐ต โˆง ๐ต <s ๐‘€))))
32 mulscl 28056 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
3332adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
34 nnsno 28218 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•s โ†’ ๐‘ โˆˆ No )
35 absslt 28165 . . . . 5 (((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง ๐‘ โˆˆ No ) โ†’ ((abssโ€˜(๐ด ยทs ๐ต)) <s ๐‘ โ†” (( -us โ€˜๐‘) <s (๐ด ยทs ๐ต) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘)))
3633, 34, 35syl2an 594 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•s) โ†’ ((abssโ€˜(๐ด ยทs ๐ต)) <s ๐‘ โ†” (( -us โ€˜๐‘) <s (๐ด ยทs ๐ต) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘)))
3736rexbidva 3167 . . 3 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•s (abssโ€˜(๐ด ยทs ๐ต)) <s ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•s (( -us โ€˜๐‘) <s (๐ด ยทs ๐ต) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘)))
3823, 31, 373imtr3d 292 . 2 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s)) โ†’ (((( -us โ€˜๐‘) <s ๐ด โˆง ๐ด <s ๐‘) โˆง (( -us โ€˜๐‘€) <s ๐ต โˆง ๐ต <s ๐‘€)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•s (( -us โ€˜๐‘) <s (๐ด ยทs ๐ต) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘)))
3938impr 453 1 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง ((๐‘ โˆˆ โ„•s โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•s) โˆง ((( -us โ€˜๐‘) <s ๐ด โˆง ๐ด <s ๐‘) โˆง (( -us โ€˜๐‘€) <s ๐ต โˆง ๐ต <s ๐‘€)))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•s (( -us โ€˜๐‘) <s (๐ด ยทs ๐ต) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   No csur 27591   <s cslt 27592   โ‰คs csle 27695   0s c0s 27773   -us cnegs 27950   ยทs cmuls 28028  absscabss 28153  โ„•scnns 28208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-nadd 8685  df-no 27594  df-slt 27595  df-bday 27596  df-sle 27696  df-sslt 27732  df-scut 27734  df-0s 27775  df-1s 27776  df-made 27792  df-old 27793  df-left 27795  df-right 27796  df-norec 27873  df-norec2 27884  df-adds 27895  df-negs 27952  df-subs 27953  df-muls 28029  df-abss 28154  df-n0s 28209  df-nns 28210
This theorem is referenced by:  remulscl  28274
  Copyright terms: Public domain W3C validator