Theorem remulscllem2 28451

Description: Lemma for remulscl 28452. Bound 𝐴 and 𝐵 above and below. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
remulscllem2	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) ∧ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝑁,𝑝   𝑀,𝑝

Proof of Theorem remulscllem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5170	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑁 ·s 𝑀) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀)))
2		nnmulscl 28368	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) → (𝑁 ·s 𝑀) ∈ ℕs)
3	2	ad2antlr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (𝑁 ·s 𝑀) ∈ ℕs)
4		absmuls 28286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) = ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)))
5	4	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) = ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)))
6		absscl 28282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) ∈ No )
7	6	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐴) ∈ No )
8		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕs)
9	8	nnsnod 28349	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑁 ∈ No )
10		absscl 28282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → (abss‘𝐵) ∈ No )
11	10	ad3antlr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐵) ∈ No )
12		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕs)
13	12	nnsnod 28349	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑀 ∈ No )
14		abssge0 28287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → 0s ≤s (abss‘𝐴))
15	14	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 0s ≤s (abss‘𝐴))
16		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐴) <s 𝑁)
17		abssge0 28287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → 0s ≤s (abss‘𝐵))
18	17	ad3antlr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 0s ≤s (abss‘𝐵))
19		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐵) <s 𝑀)
20	7, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 19	sltmul12ad 28227	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀))
21	5, 20	eqbrtrd 5188	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀))
22	1, 3, 21	rspcedvdw 3638	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝)
23	22	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝))
24		nnsno 28347	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ No )
25		absslt 28291	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ↔ (( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁)))
26	24, 25	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ↔ (( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁)))
27		nnsno 28347	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕs → 𝑀 ∈ No )
28		absslt 28291	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ No ) → ((abss‘𝐵) <s 𝑀 ↔ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))
29	27, 28	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕs) → ((abss‘𝐵) <s 𝑀 ↔ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))
30	26, 29	bi2anan9 637	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) ∧ (𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) ↔ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀))))
31	30	an4s 659	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) ↔ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀))))
32		mulscl 28178	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
33	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
34		nnsno 28347	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℕs → 𝑝 ∈ No )
35		absslt 28291	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·s 𝐵) ∈ No ∧ 𝑝 ∈ No ) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
36	33, 34, 35	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ 𝑝 ∈ ℕs) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
37	36	rexbidva 3183	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
38	23, 31, 37	3imtr3d 293	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
39	38	impr 454	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) ∧ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   No csur 27702   <s cslt 27703   ≤s csle 27807   0_s c0s 27885   -u_s cnegs 28069   ·_s cmuls 28150  abs_scabss 28279  ℕ_scnns 28337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-nadd 8722  df-no 27705  df-slt 27706  df-bday 27707  df-sle 27808  df-sslt 27844  df-scut 27846  df-0s 27887  df-1s 27888  df-made 27904  df-old 27905  df-left 27907  df-right 27908  df-norec 27989  df-norec2 28000  df-adds 28011  df-negs 28071  df-subs 28072  df-muls 28151  df-abss 28280  df-n0s 28338  df-nns 28339

This theorem is referenced by:  remulscl  28452