Theorem remulscllem2 28448

Description: Lemma for remulscl 28449. Bound 𝐴 and 𝐵 above and below. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
remulscllem2	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) ∧ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝑁,𝑝   𝑀,𝑝

Proof of Theorem remulscllem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5152	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑁 ·s 𝑀) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀)))
2		nnmulscl 28365	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) → (𝑁 ·s 𝑀) ∈ ℕs)
3	2	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (𝑁 ·s 𝑀) ∈ ℕs)
4		absmuls 28283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) = ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)))
5	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) = ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)))
6		absscl 28279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) ∈ No )
7	6	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐴) ∈ No )
8		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕs)
9	8	nnsnod 28346	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑁 ∈ No )
10		absscl 28279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → (abss‘𝐵) ∈ No )
11	10	ad3antlr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐵) ∈ No )
12		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕs)
13	12	nnsnod 28346	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 𝑀 ∈ No )
14		abssge0 28284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → 0s ≤s (abss‘𝐴))
15	14	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 0s ≤s (abss‘𝐴))
16		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐴) <s 𝑁)
17		abssge0 28284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → 0s ≤s (abss‘𝐵))
18	17	ad3antlr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → 0s ≤s (abss‘𝐵))
19		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘𝐵) <s 𝑀)
20	7, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 19	sltmul12ad 28224	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → ((abss‘𝐴) ·s (abss‘𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀))
21	5, 20	eqbrtrd 5170	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s (𝑁 ·s 𝑀))
22	1, 3, 21	rspcedvdw 3625	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝)
23	22	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) → ∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝))
24		nnsno 28344	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ No )
25		absslt 28288	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ↔ (( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁)))
26	24, 25	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → ((abss‘𝐴) <s 𝑁 ↔ (( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁)))
27		nnsno 28344	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕs → 𝑀 ∈ No )
28		absslt 28288	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ No ) → ((abss‘𝐵) <s 𝑀 ↔ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))
29	27, 28	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕs) → ((abss‘𝐵) <s 𝑀 ↔ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))
30	26, 29	bi2anan9 638	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) ∧ (𝐵 ∈ No ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) ↔ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀))))
31	30	an4s 660	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((abss‘𝐴) <s 𝑁 ∧ (abss‘𝐵) <s 𝑀) ↔ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀))))
32		mulscl 28175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
33	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
34		nnsno 28344	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℕs → 𝑝 ∈ No )
35		absslt 28288	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·s 𝐵) ∈ No ∧ 𝑝 ∈ No ) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
36	33, 34, 35	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) ∧ 𝑝 ∈ ℕs) → ((abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
37	36	rexbidva 3175	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (∃𝑝 ∈ ℕs (abss‘(𝐴 ·s 𝐵)) <s 𝑝 ↔ ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
38	23, 31, 37	3imtr3d 293	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs)) → (((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝)))
39	38	impr 454	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ((𝑁 ∈ ℕs ∧ 𝑀 ∈ ℕs) ∧ ((( -us ‘𝑁) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝑁) ∧ (( -us ‘𝑀) <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝑀)))) → ∃𝑝 ∈ ℕs (( -us ‘𝑝) <s (𝐴 ·s 𝐵) ∧ (𝐴 ·s 𝐵) <s 𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   No csur 27699   <s cslt 27700   ≤s csle 27804   0_s c0s 27882   -u_s cnegs 28066   ·_s cmuls 28147  abs_scabss 28276  ℕ_scnns 28334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-nadd 8703  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sle 27805  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-0s 27884  df-1s 27885  df-made 27901  df-old 27902  df-left 27904  df-right 27905  df-norec 27986  df-norec2 27997  df-adds 28008  df-negs 28068  df-subs 28069  df-muls 28148  df-abss 28277  df-n0s 28335  df-nns 28336

This theorem is referenced by:  remulscl  28449