Theorem add32d 11409

Description: Commutative/associative law that swaps the last two terms in a triple sum. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
addd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
add32d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem add32d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		add32 11400	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   + caddc 11078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  nppcan  11451  muladd  11617  fladdz  13794  zesq  14198  relexpaddnn  15024  abstri  15304  iseraltlem3  15657  sadadd2lem  16436  pythagtriplem1  16794  pythagtriplem12  16804  vdwlem2  16960  vdwlem6  16964  vdwlem8  16966  prmgaplem8  17036  tcphcphlem1  25142  uniioombllem5  25495  heron  26755  dcubic1  26762  lgamcvg2  26972  mulog2sumlem1  27452  chpdifbndlem1  27471  selberg34r  27489  pntlemr  27520  brbtwn2  28839  axpasch  28875  crctcshwlkn0lem4  29750  clwwisshclwwslemlem  29949  constrrtcclem  33731  subfacval2  35181  lcmineqlem18  42041  sticksstones22  42163  sqrtcval  43637  fourierdlem19  46131  fourierdlem26  46138  carageniuncllem2  46527  cnapbmcpd  47300  opeoALTV  47689