![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > subdi | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.) |
Ref | Expression |
---|---|
subdi | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท (๐ต โ ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simp1 1134 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ๐ด โ โ) | |
2 | simp3 1136 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ๐ถ โ โ) | |
3 | subcl 11465 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต โ ๐ถ) โ โ) | |
4 | 3 | 3adant1 1128 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต โ ๐ถ) โ โ) |
5 | 1, 2, 4 | adddid 11244 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท (๐ถ + (๐ต โ ๐ถ))) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต โ ๐ถ)))) |
6 | pncan3 11474 | . . . . . . 7 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ถ + (๐ต โ ๐ถ)) = ๐ต) | |
7 | 6 | ancoms 457 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ถ + (๐ต โ ๐ถ)) = ๐ต) |
8 | 7 | 3adant1 1128 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ถ + (๐ต โ ๐ถ)) = ๐ต) |
9 | 8 | oveq2d 7429 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท (๐ถ + (๐ต โ ๐ถ))) = (๐ด ยท ๐ต)) |
10 | 5, 9 | eqtr3d 2772 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต โ ๐ถ))) = (๐ด ยท ๐ต)) |
11 | mulcl 11198 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) | |
12 | 11 | 3adant3 1130 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) |
13 | mulcl 11198 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท ๐ถ) โ โ) | |
14 | 13 | 3adant2 1129 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท ๐ถ) โ โ) |
15 | mulcl 11198 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ ๐ถ) โ โ) โ (๐ด ยท (๐ต โ ๐ถ)) โ โ) | |
16 | 3, 15 | sylan2 591 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ)) โ (๐ด ยท (๐ต โ ๐ถ)) โ โ) |
17 | 16 | 3impb 1113 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท (๐ต โ ๐ถ)) โ โ) |
18 | 12, 14, 17 | subaddd 11595 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ต โ ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต โ ๐ถ))) = (๐ด ยท ๐ต))) |
19 | 10, 18 | mpbird 256 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ต โ ๐ถ))) |
20 | 19 | eqcomd 2736 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท (๐ต โ ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โง w3a 1085 = wceq 1539 โ wcel 2104 (class class class)co 7413 โcc 11112 + caddc 11117 ยท cmul 11119 โ cmin 11450 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7729 ax-resscn 11171 ax-1cn 11172 ax-icn 11173 ax-addcl 11174 ax-addrcl 11175 ax-mulcl 11176 ax-mulrcl 11177 ax-mulcom 11178 ax-addass 11179 ax-mulass 11180 ax-distr 11181 ax-i2m1 11182 ax-1ne0 11183 ax-1rid 11184 ax-rnegex 11185 ax-rrecex 11186 ax-cnre 11187 ax-pre-lttri 11188 ax-pre-lttrn 11189 ax-pre-ltadd 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-po 5589 df-so 5590 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-er 8707 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-pnf 11256 df-mnf 11257 df-ltxr 11259 df-sub 11452 |
This theorem is referenced by: subdir 11654 subdii 11669 subdid 11676 mulcan1g 11873 expubnd 14148 subsq 14180 bpoly3 16008 cos01bnd 16135 modmulconst 16237 odd2np1 16290 omoe 16313 omeo 16315 phiprmpw 16715 pythagtriplem14 16767 plydiveu 26045 quotcan 26056 basellem9 26827 chtublem 26948 bposlem9 27029 ax5seglem1 28451 ax5seglem2 28452 axpaschlem 28463 axcontlem2 28488 axcontlem4 28490 axcontlem7 28493 axcontlem8 28494 ipval2 30225 ftc1anclem6 36871 pellexlem6 41876 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |