MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subdi 11653
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
subdi ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem subdi
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 simp3 1136 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 subcl 11465 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
433adant1 1128 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
51, 2, 4adddid 11244 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + (๐ต โˆ’ ๐ถ))) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ))))
6 pncan3 11474 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ + (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ๐ต)
76ancoms 457 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ + (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ๐ต)
873adant1 1128 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ + (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ๐ต)
98oveq2d 7429 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + (๐ต โˆ’ ๐ถ))) = (๐ด ยท ๐ต))
105, 9eqtr3d 2772 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ))) = (๐ด ยท ๐ต))
11 mulcl 11198 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
12113adant3 1130 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
13 mulcl 11198 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
14133adant2 1129 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
15 mulcl 11198 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
163, 15sylan2 591 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
17163impb 1113 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
1812, 14, 17subaddd 11595 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โ†” ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ))) = (๐ด ยท ๐ต)))
1910, 18mpbird 256 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)))
2019eqcomd 2736 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112   + caddc 11117   ยท cmul 11119   โˆ’ cmin 11450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11452
This theorem is referenced by:  subdir  11654  subdii  11669  subdid  11676  mulcan1g  11873  expubnd  14148  subsq  14180  bpoly3  16008  cos01bnd  16135  modmulconst  16237  odd2np1  16290  omoe  16313  omeo  16315  phiprmpw  16715  pythagtriplem14  16767  plydiveu  26045  quotcan  26056  basellem9  26827  chtublem  26948  bposlem9  27029  ax5seglem1  28451  ax5seglem2  28452  axpaschlem  28463  axcontlem2  28488  axcontlem4  28490  axcontlem7  28493  axcontlem8  28494  ipval2  30225  ftc1anclem6  36871  pellexlem6  41876
  Copyright terms: Public domain W3C validator