MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqabsadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqabsadd 15261
Description: Square of absolute value of sum. Proposition 10-3.7(g) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 21-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
sqabsadd ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(๐ด + ๐ต))โ†‘2) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) + (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))))

Proof of Theorem sqabsadd
StepHypRef Expression
1 cjadd 15120 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜๐ต)))
21oveq2d 7436 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด + ๐ต))) = ((๐ด + ๐ต) ยท ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜๐ต))))
3 cjcl 15084 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 cjcl 15084 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
53, 4anim12i 612 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚))
6 muladd 11676 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜๐ต))) = (((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) + ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))))
75, 6mpdan 686 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜๐ต))) = (((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) + ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))))
82, 7eqtrd 2768 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด + ๐ต))) = (((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) + ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))))
9 addcl 11220 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
10 absvalsq 15259 . . 3 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜(๐ด + ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด + ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด + ๐ต))))
119, 10syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(๐ด + ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด + ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด + ๐ต))))
12 absvalsq 15259 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
13 absvalsq 15259 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ต)โ†‘2) = (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
14 mulcom 11224 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต))
154, 14mpdan 686 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต))
1613, 15eqtrd 2768 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ต)โ†‘2) = ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต))
1712, 16oveqan12d 7439 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) + ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต)))
18 mulcl 11222 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
194, 18sylan2 592 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2019addcjd 15191 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) = (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
21 cjmul 15121 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))))
224, 21sylan2 592 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))))
23 cjcj 15119 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = ๐ต)
2423adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = ๐ต)
2524oveq2d 7436 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))
2622, 25eqtrd 2768 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))
2726oveq2d 7436 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
2820, 27eqtr3d 2770 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
2917, 28oveq12d 7438 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) + (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))) = (((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) + ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))))
308, 11, 293eqtr4d 2778 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(๐ด + ๐ต))โ†‘2) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) + (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136   + caddc 11141   ยท cmul 11143  2c2 12297  โ†‘cexp 14058  โˆ—ccj 15075  โ„œcre 15076  abscabs 15213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215
This theorem is referenced by:  abstri  15309  sqabsaddi  15384  cncph  30628
  Copyright terms: Public domain W3C validator