MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqabsadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqabsadd 15231
Description: Square of absolute value of sum. Proposition 10-3.7(g) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 21-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
sqabsadd ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(๐ด + ๐ต))โ†‘2) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) + (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))))

Proof of Theorem sqabsadd
StepHypRef Expression
1 cjadd 15090 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜๐ต)))
21oveq2d 7418 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด + ๐ต))) = ((๐ด + ๐ต) ยท ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜๐ต))))
3 cjcl 15054 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 cjcl 15054 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
53, 4anim12i 612 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚))
6 muladd 11645 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜๐ต))) = (((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) + ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))))
75, 6mpdan 684 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜๐ต))) = (((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) + ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))))
82, 7eqtrd 2764 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด + ๐ต))) = (((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) + ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))))
9 addcl 11189 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
10 absvalsq 15229 . . 3 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜(๐ด + ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด + ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด + ๐ต))))
119, 10syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(๐ด + ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด + ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด + ๐ต))))
12 absvalsq 15229 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
13 absvalsq 15229 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ต)โ†‘2) = (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
14 mulcom 11193 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต))
154, 14mpdan 684 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต))
1613, 15eqtrd 2764 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ต)โ†‘2) = ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต))
1712, 16oveqan12d 7421 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) + ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต)))
18 mulcl 11191 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
194, 18sylan2 592 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2019addcjd 15161 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) = (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
21 cjmul 15091 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))))
224, 21sylan2 592 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))))
23 cjcj 15089 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = ๐ต)
2423adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = ๐ต)
2524oveq2d 7418 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))
2622, 25eqtrd 2764 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))
2726oveq2d 7418 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
2820, 27eqtr3d 2766 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
2917, 28oveq12d 7420 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) + (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))) = (((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) + ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))))
308, 11, 293eqtr4d 2774 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(๐ด + ๐ต))โ†‘2) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) + (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105   + caddc 11110   ยท cmul 11112  2c2 12266  โ†‘cexp 14028  โˆ—ccj 15045  โ„œcre 15046  abscabs 15183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185
This theorem is referenced by:  abstri  15279  sqabsaddi  15354  cncph  30566
  Copyright terms: Public domain W3C validator