MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omwordri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omwordri 8570
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. Proposition 8.21 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omwordri ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โІ (๐ต ยทo ๐ถ)))

Proof of Theorem omwordri
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo โˆ…))
2 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = (๐ต ยทo โˆ…))
31, 2sseq12d 4010 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทo โˆ…) โІ (๐ต ยทo โˆ…)))
4 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐‘ฆ))
5 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = (๐ต ยทo ๐‘ฆ))
64, 5sseq12d 4010 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ)))
7 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ))
8 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ))
97, 8sseq12d 4010 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ)))
10 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐ถ))
11 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = (๐ต ยทo ๐ถ))
1210, 11sseq12d 4010 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทo ๐ถ) โІ (๐ต ยทo ๐ถ)))
13 om0 8515 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
14 0ss 4391 . . . . . . 7 โˆ… โІ (๐ต ยทo โˆ…)
1513, 14eqsstrdi 4031 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โІ (๐ต ยทo โˆ…))
1615ad2antrr 723 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โІ ๐ต) โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โІ (๐ต ยทo โˆ…))
17 omcl 8534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On)
18173adant2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On)
19 omcl 8534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On)
20193adant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On)
21 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
22 oawordri 8548 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โІ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด)))
2318, 20, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โІ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด)))
2423imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โІ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
2524adantrl 713 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โІ ๐ต โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โІ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
26 oaword 8547 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โІ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต)))
2720, 26syld3an3 1406 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โІ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต)))
2827biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง ๐ด โІ ๐ต) โ†’ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โІ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต))
2928adantrr 714 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โІ ๐ต โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โІ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต))
3025, 29sstrd 3987 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โІ ๐ต โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โІ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต))
31 omsuc 8524 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
32313adant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
3332adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โІ ๐ต โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
34 omsuc 8524 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต))
35343adant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต))
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โІ ๐ต โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต))
3730, 33, 363sstr4d 4024 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โІ ๐ต โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ))
3837exp520 1354 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ))))))
3938com3r 87 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ))))))
4039imp4c 423 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โІ ๐ต) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ))))
41 vex 3472 . . . . . . . 8 ๐‘ฅ โˆˆ V
42 ss2iun 5008 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต ยทo ๐‘ฆ))
43 omlim 8531 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ))
4443ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ))) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ))
45 omlim 8531 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต ยทo ๐‘ฆ))
4645adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ))) โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต ยทo ๐‘ฆ))
4744, 46sseq12d 4010 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ))) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต ยทo ๐‘ฆ)))
4842, 47imbitrrid 245 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ))) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฅ)))
4948anandirs 676 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฅ)))
5041, 49mpanr1 700 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฅ)))
5150expcom 413 . . . . . 6 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฅ))))
5251adantrd 491 . . . . 5 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โІ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โІ (๐ต ยทo ๐‘ฅ))))
533, 6, 9, 12, 16, 40, 52tfinds3 7850 . . . 4 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โІ ๐ต) โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โІ (๐ต ยทo ๐ถ)))
5453expd 415 . . 3 (๐ถ โˆˆ On โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โІ (๐ต ยทo ๐ถ))))
55543impib 1113 . 2 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โІ (๐ต ยทo ๐ถ)))
56553coml 1124 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โІ (๐ต ยทo ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  Vcvv 3468   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  โˆช ciun 4990  Oncon0 6357  Lim wlim 6358  suc csuc 6359  (class class class)co 7404   +o coa 8461   ยทo comu 8462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-oadd 8468  df-omul 8469
This theorem is referenced by:  omword2  8572  oewordri  8590  oeordsuc  8592  omabs2  42640
  Copyright terms: Public domain W3C validator