MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omwordri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omwordri 8523
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. Proposition 8.21 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omwordri ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โŠ† (๐ต ยทo ๐ถ)))

Proof of Theorem omwordri
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo โˆ…))
2 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = (๐ต ยทo โˆ…))
31, 2sseq12d 3981 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทo โˆ…) โŠ† (๐ต ยทo โˆ…)))
4 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐‘ฆ))
5 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = (๐ต ยทo ๐‘ฆ))
64, 5sseq12d 3981 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ)))
7 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ))
8 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ))
97, 8sseq12d 3981 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ)))
10 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐ถ))
11 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = (๐ต ยทo ๐ถ))
1210, 11sseq12d 3981 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทo ๐ถ) โŠ† (๐ต ยทo ๐ถ)))
13 om0 8467 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
14 0ss 4360 . . . . . . 7 โˆ… โŠ† (๐ต ยทo โˆ…)
1513, 14eqsstrdi 4002 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โŠ† (๐ต ยทo โˆ…))
1615ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โŠ† ๐ต) โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โŠ† (๐ต ยทo โˆ…))
17 omcl 8486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On)
18173adant2 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On)
19 omcl 8486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On)
20193adant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On)
21 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
22 oawordri 8501 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โŠ† ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด)))
2318, 20, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โŠ† ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด)))
2423imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โŠ† ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
2524adantrl 715 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โŠ† ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
26 oaword 8500 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†” ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โŠ† ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต)))
2720, 26syld3an3 1410 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†” ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โŠ† ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต)))
2827biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง ๐ด โŠ† ๐ต) โ†’ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โŠ† ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต))
2928adantrr 716 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โŠ† ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต))
3025, 29sstrd 3958 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โŠ† ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต))
31 omsuc 8476 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
32313adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
3332adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
34 omsuc 8476 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต))
35343adant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต))
3635adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต))
3730, 33, 363sstr4d 3995 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ))
3837exp520 1358 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ))))))
3938com3r 87 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ))))))
4039imp4c 425 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โŠ† ๐ต) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ))))
41 vex 3451 . . . . . . . 8 ๐‘ฅ โˆˆ V
42 ss2iun 4976 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต ยทo ๐‘ฆ))
43 omlim 8483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ))
4443ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ))) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ))
45 omlim 8483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต ยทo ๐‘ฆ))
4645adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ))) โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต ยทo ๐‘ฆ))
4744, 46sseq12d 3981 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ))) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฅ) โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต ยทo ๐‘ฆ)))
4842, 47imbitrrid 245 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ))) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฅ)))
4948anandirs 678 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฅ)))
5041, 49mpanr1 702 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฅ)))
5150expcom 415 . . . . . 6 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฅ))))
5251adantrd 493 . . . . 5 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โŠ† ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต ยทo ๐‘ฅ))))
533, 6, 9, 12, 16, 40, 52tfinds3 7805 . . . 4 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โŠ† ๐ต) โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โŠ† (๐ต ยทo ๐ถ)))
5453expd 417 . . 3 (๐ถ โˆˆ On โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โŠ† (๐ต ยทo ๐ถ))))
55543impib 1117 . 2 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โŠ† (๐ต ยทo ๐ถ)))
56553coml 1128 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โŠ† (๐ต ยทo ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3447   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286  โˆช ciun 4958  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  suc csuc 6323  (class class class)co 7361   +o coa 8413   ยทo comu 8414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-oadd 8420  df-omul 8421
This theorem is referenced by:  omword2  8525  oewordri  8543  oeordsuc  8545  omabs2  41714
  Copyright terms: Public domain W3C validator