MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om0r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om0r 8553
Description: Ordinal multiplication with zero. Proposition 8.18(1) of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
om0r (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐ด) = โˆ…)

Proof of Theorem om0r
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7422 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = (โˆ… ยทo โˆ…))
21eqeq1d 2730 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ… โ†” (โˆ… ยทo โˆ…) = โˆ…))
3 oveq2 7422 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = (โˆ… ยทo ๐‘ฆ))
43eqeq1d 2730 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ… โ†” (โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ…))
5 oveq2 7422 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = (โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ))
65eqeq1d 2730 . 2 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ… โ†” (โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ) = โˆ…))
7 oveq2 7422 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = (โˆ… ยทo ๐ด))
87eqeq1d 2730 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ… โ†” (โˆ… ยทo ๐ด) = โˆ…))
9 0elon 6417 . . 3 โˆ… โˆˆ On
10 om0 8531 . . 3 (โˆ… โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo โˆ…) = โˆ…)
119, 10ax-mp 5 . 2 (โˆ… ยทo โˆ…) = โˆ…
12 oveq1 7421 . . 3 ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ… โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) +o โˆ…) = (โˆ… +o โˆ…))
13 omsuc 8540 . . . . 5 ((โˆ… โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ) = ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) +o โˆ…))
149, 13mpan 689 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ) = ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) +o โˆ…))
15 oa0 8530 . . . . . . 7 (โˆ… โˆˆ On โ†’ (โˆ… +o โˆ…) = โˆ…)
169, 15ax-mp 5 . . . . . 6 (โˆ… +o โˆ…) = โˆ…
1716eqcomi 2737 . . . . 5 โˆ… = (โˆ… +o โˆ…)
1817a1i 11 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ โˆ… = (โˆ… +o โˆ…))
1914, 18eqeq12d 2744 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ) = โˆ… โ†” ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) +o โˆ…) = (โˆ… +o โˆ…)))
2012, 19imbitrrid 245 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ… โ†’ (โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ) = โˆ…))
21 iuneq2 5010 . . . 4 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ… โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ โˆ…)
22 iun0 5059 . . . 4 โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ โˆ… = โˆ…
2321, 22eqtrdi 2784 . . 3 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ… โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ…)
24 vex 3474 . . . . 5 ๐‘ฅ โˆˆ V
25 omlim 8547 . . . . . 6 ((โˆ… โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ))
269, 25mpan 689 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ))
2724, 26mpan 689 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ))
2827eqeq1d 2730 . . 3 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ… โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ…))
2923, 28imbitrrid 245 . 2 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ… โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ…))
302, 4, 6, 8, 11, 20, 29tfinds 7858 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐ด) = โˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3057  Vcvv 3470  โˆ…c0 4318  โˆช ciun 4991  Oncon0 6363  Lim wlim 6364  suc csuc 6365  (class class class)co 7414   +o coa 8477   ยทo comu 8478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-oadd 8484  df-omul 8485
This theorem is referenced by:  omord  8582  omwordi  8585  om00  8589  odi  8593  omass  8594  oeoa  8611  omxpenlem  9091  onmcl  42754  omcl2  42756  omcl3g  42757
  Copyright terms: Public domain W3C validator