MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om0r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om0r 8535
Description: Ordinal multiplication with zero. Proposition 8.18(1) of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
om0r (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐ด) = โˆ…)

Proof of Theorem om0r
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7410 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = (โˆ… ยทo โˆ…))
21eqeq1d 2726 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ… โ†” (โˆ… ยทo โˆ…) = โˆ…))
3 oveq2 7410 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = (โˆ… ยทo ๐‘ฆ))
43eqeq1d 2726 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ… โ†” (โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ…))
5 oveq2 7410 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = (โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ))
65eqeq1d 2726 . 2 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ… โ†” (โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ) = โˆ…))
7 oveq2 7410 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = (โˆ… ยทo ๐ด))
87eqeq1d 2726 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ… โ†” (โˆ… ยทo ๐ด) = โˆ…))
9 0elon 6409 . . 3 โˆ… โˆˆ On
10 om0 8513 . . 3 (โˆ… โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo โˆ…) = โˆ…)
119, 10ax-mp 5 . 2 (โˆ… ยทo โˆ…) = โˆ…
12 oveq1 7409 . . 3 ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ… โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) +o โˆ…) = (โˆ… +o โˆ…))
13 omsuc 8522 . . . . 5 ((โˆ… โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ) = ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) +o โˆ…))
149, 13mpan 687 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ) = ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) +o โˆ…))
15 oa0 8512 . . . . . . 7 (โˆ… โˆˆ On โ†’ (โˆ… +o โˆ…) = โˆ…)
169, 15ax-mp 5 . . . . . 6 (โˆ… +o โˆ…) = โˆ…
1716eqcomi 2733 . . . . 5 โˆ… = (โˆ… +o โˆ…)
1817a1i 11 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ โˆ… = (โˆ… +o โˆ…))
1914, 18eqeq12d 2740 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ) = โˆ… โ†” ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) +o โˆ…) = (โˆ… +o โˆ…)))
2012, 19imbitrrid 245 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ… โ†’ (โˆ… ยทo suc ๐‘ฆ) = โˆ…))
21 iuneq2 5007 . . . 4 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ… โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ โˆ…)
22 iun0 5056 . . . 4 โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ โˆ… = โˆ…
2321, 22eqtrdi 2780 . . 3 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ… โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ…)
24 vex 3470 . . . . 5 ๐‘ฅ โˆˆ V
25 omlim 8529 . . . . . 6 ((โˆ… โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ))
269, 25mpan 687 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ))
2724, 26mpan 687 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ))
2827eqeq1d 2726 . . 3 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ… โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ…))
2923, 28imbitrrid 245 . 2 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (โˆ… ยทo ๐‘ฆ) = โˆ… โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘ฅ) = โˆ…))
302, 4, 6, 8, 11, 20, 29tfinds 7843 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐ด) = โˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053  Vcvv 3466  โˆ…c0 4315  โˆช ciun 4988  Oncon0 6355  Lim wlim 6356  suc csuc 6357  (class class class)co 7402   +o coa 8459   ยทo comu 8460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-oadd 8466  df-omul 8467
This theorem is referenced by:  omord  8564  omwordi  8567  om00  8571  odi  8575  omass  8576  oeoa  8593  omxpenlem  9070  onmcl  42595  omcl2  42597  omcl3g  42598
  Copyright terms: Public domain W3C validator