MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oneo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oneo 8595
Description: If an ordinal number is even, its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
oneo ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต))

Proof of Theorem oneo
StepHypRef Expression
1 onnbtwn 6457 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
213ad2ant1 1131 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
3 suceq 6429 . . . . 5 (๐ถ = (2o ยทo ๐ด) โ†’ suc ๐ถ = suc (2o ยทo ๐ด))
43eqeq1d 2729 . . . 4 (๐ถ = (2o ยทo ๐ด) โ†’ (suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต) โ†” suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)))
543ad2ant3 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ (suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต) โ†” suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)))
6 ovex 7447 . . . . . . . 8 (2o ยทo ๐ด) โˆˆ V
76sucid 6445 . . . . . . 7 (2o ยทo ๐ด) โˆˆ suc (2o ยทo ๐ด)
8 eleq2 2817 . . . . . . 7 (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ suc (2o ยทo ๐ด) โ†” (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต)))
97, 8mpbii 232 . . . . . 6 (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต))
10 2on 8494 . . . . . . . 8 2o โˆˆ On
11 omord 8582 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต)))
1210, 11mp3an3 1447 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต)))
13 simpl 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
1412, 13syl6bir 254 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต))
159, 14syl5 34 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต))
16 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต))
17 omcl 8550 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ On)
1810, 17mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ On)
19 oa1suc 8545 . . . . . . . . . . . 12 ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) = suc (2o ยทo ๐ด))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) = suc (2o ยทo ๐ด))
21 1oex 8490 . . . . . . . . . . . . . . 15 1o โˆˆ V
2221sucid 6445 . . . . . . . . . . . . . 14 1o โˆˆ suc 1o
23 df-2o 8481 . . . . . . . . . . . . . 14 2o = suc 1o
2422, 23eleqtrri 2827 . . . . . . . . . . . . 13 1o โˆˆ 2o
25 1on 8492 . . . . . . . . . . . . . 14 1o โˆˆ On
26 oaord 8561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1o โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On โˆง (2o ยทo ๐ด) โˆˆ On) โ†’ (1o โˆˆ 2o โ†” ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ ((2o ยทo ๐ด) +o 2o)))
2725, 10, 18, 26mp3an12i 1462 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o โˆˆ 2o โ†” ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ ((2o ยทo ๐ด) +o 2o)))
2824, 27mpbii 232 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ ((2o ยทo ๐ด) +o 2o))
29 omsuc 8540 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (2o ยทo suc ๐ด) = ((2o ยทo ๐ด) +o 2o))
3010, 29mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o ยทo suc ๐ด) = ((2o ยทo ๐ด) +o 2o))
3128, 30eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
3220, 31eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ suc (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ suc (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
3416, 33eqeltrrd 2829 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
35 onsuc 7808 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ suc ๐ด โˆˆ On)
36 omord 8582 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ On โˆง suc ๐ด โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
3710, 36mp3an3 1447 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ On โˆง suc ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
3835, 37sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
3938ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
4039adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
4134, 40mpbird 257 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o))
4241simpld 494 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐ด)
4342ex 412 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
4415, 43jcad 512 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด)))
45443adant3 1130 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด)))
465, 45sylbid 239 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ (suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด)))
472, 46mtod 197 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ…c0 4318  Oncon0 6363  suc csuc 6365  (class class class)co 7414  1oc1o 8473  2oc2o 8474   +o coa 8477   ยทo comu 8478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator