MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oneo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oneo 8532
Description: If an ordinal number is even, its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
oneo ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต))

Proof of Theorem oneo
StepHypRef Expression
1 onnbtwn 6415 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
213ad2ant1 1134 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
3 suceq 6387 . . . . 5 (๐ถ = (2o ยทo ๐ด) โ†’ suc ๐ถ = suc (2o ยทo ๐ด))
43eqeq1d 2735 . . . 4 (๐ถ = (2o ยทo ๐ด) โ†’ (suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต) โ†” suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)))
543ad2ant3 1136 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ (suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต) โ†” suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)))
6 ovex 7394 . . . . . . . 8 (2o ยทo ๐ด) โˆˆ V
76sucid 6403 . . . . . . 7 (2o ยทo ๐ด) โˆˆ suc (2o ยทo ๐ด)
8 eleq2 2823 . . . . . . 7 (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ suc (2o ยทo ๐ด) โ†” (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต)))
97, 8mpbii 232 . . . . . 6 (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต))
10 2on 8430 . . . . . . . 8 2o โˆˆ On
11 omord 8519 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต)))
1210, 11mp3an3 1451 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต)))
13 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
1412, 13syl6bir 254 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต))
159, 14syl5 34 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต))
16 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต))
17 omcl 8486 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ On)
1810, 17mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ On)
19 oa1suc 8481 . . . . . . . . . . . 12 ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) = suc (2o ยทo ๐ด))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) = suc (2o ยทo ๐ด))
21 1oex 8426 . . . . . . . . . . . . . . 15 1o โˆˆ V
2221sucid 6403 . . . . . . . . . . . . . 14 1o โˆˆ suc 1o
23 df-2o 8417 . . . . . . . . . . . . . 14 2o = suc 1o
2422, 23eleqtrri 2833 . . . . . . . . . . . . 13 1o โˆˆ 2o
25 1on 8428 . . . . . . . . . . . . . 14 1o โˆˆ On
26 oaord 8498 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1o โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On โˆง (2o ยทo ๐ด) โˆˆ On) โ†’ (1o โˆˆ 2o โ†” ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ ((2o ยทo ๐ด) +o 2o)))
2725, 10, 18, 26mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o โˆˆ 2o โ†” ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ ((2o ยทo ๐ด) +o 2o)))
2824, 27mpbii 232 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ ((2o ยทo ๐ด) +o 2o))
29 omsuc 8476 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (2o ยทo suc ๐ด) = ((2o ยทo ๐ด) +o 2o))
3010, 29mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o ยทo suc ๐ด) = ((2o ยทo ๐ด) +o 2o))
3128, 30eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
3220, 31eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ suc (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ suc (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
3416, 33eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
35 onsuc 7750 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ suc ๐ด โˆˆ On)
36 omord 8519 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ On โˆง suc ๐ด โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
3710, 36mp3an3 1451 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ On โˆง suc ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
3835, 37sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
3938ancoms 460 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
4039adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
4134, 40mpbird 257 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o))
4241simpld 496 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐ด)
4342ex 414 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
4415, 43jcad 514 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด)))
45443adant3 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด)))
465, 45sylbid 239 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ (suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด)))
472, 46mtod 197 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ…c0 4286  Oncon0 6321  suc csuc 6323  (class class class)co 7361  1oc1o 8409  2oc2o 8410   +o coa 8413   ยทo comu 8414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator