MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oneo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oneo 8580
Description: If an ordinal number is even, its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
oneo ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต))

Proof of Theorem oneo
StepHypRef Expression
1 onnbtwn 6458 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
213ad2ant1 1133 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
3 suceq 6430 . . . . 5 (๐ถ = (2o ยทo ๐ด) โ†’ suc ๐ถ = suc (2o ยทo ๐ด))
43eqeq1d 2734 . . . 4 (๐ถ = (2o ยทo ๐ด) โ†’ (suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต) โ†” suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)))
543ad2ant3 1135 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ (suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต) โ†” suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)))
6 ovex 7441 . . . . . . . 8 (2o ยทo ๐ด) โˆˆ V
76sucid 6446 . . . . . . 7 (2o ยทo ๐ด) โˆˆ suc (2o ยทo ๐ด)
8 eleq2 2822 . . . . . . 7 (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ suc (2o ยทo ๐ด) โ†” (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต)))
97, 8mpbii 232 . . . . . 6 (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต))
10 2on 8479 . . . . . . . 8 2o โˆˆ On
11 omord 8567 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต)))
1210, 11mp3an3 1450 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต)))
13 simpl 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
1412, 13syl6bir 253 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต))
159, 14syl5 34 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต))
16 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต))
17 omcl 8535 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ On)
1810, 17mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ On)
19 oa1suc 8530 . . . . . . . . . . . 12 ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) = suc (2o ยทo ๐ด))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) = suc (2o ยทo ๐ด))
21 1oex 8475 . . . . . . . . . . . . . . 15 1o โˆˆ V
2221sucid 6446 . . . . . . . . . . . . . 14 1o โˆˆ suc 1o
23 df-2o 8466 . . . . . . . . . . . . . 14 2o = suc 1o
2422, 23eleqtrri 2832 . . . . . . . . . . . . 13 1o โˆˆ 2o
25 1on 8477 . . . . . . . . . . . . . 14 1o โˆˆ On
26 oaord 8546 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1o โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On โˆง (2o ยทo ๐ด) โˆˆ On) โ†’ (1o โˆˆ 2o โ†” ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ ((2o ยทo ๐ด) +o 2o)))
2725, 10, 18, 26mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o โˆˆ 2o โ†” ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ ((2o ยทo ๐ด) +o 2o)))
2824, 27mpbii 232 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ ((2o ยทo ๐ด) +o 2o))
29 omsuc 8525 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (2o ยทo suc ๐ด) = ((2o ยทo ๐ด) +o 2o))
3010, 29mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o ยทo suc ๐ด) = ((2o ยทo ๐ด) +o 2o))
3128, 30eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
3220, 31eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ suc (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
3332ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ suc (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
3416, 33eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
35 onsuc 7798 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ suc ๐ด โˆˆ On)
36 omord 8567 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ On โˆง suc ๐ด โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
3710, 36mp3an3 1450 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ On โˆง suc ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
3835, 37sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
3938ancoms 459 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
4039adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
4134, 40mpbird 256 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o))
4241simpld 495 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐ด)
4342ex 413 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
4415, 43jcad 513 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด)))
45443adant3 1132 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด)))
465, 45sylbid 239 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ (suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด)))
472, 46mtod 197 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ…c0 4322  Oncon0 6364  suc csuc 6366  (class class class)co 7408  1oc1o 8458  2oc2o 8459   +o coa 8462   ยทo comu 8463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator