MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oneo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oneo 8576
Description: If an ordinal number is even, its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
oneo ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต))

Proof of Theorem oneo
StepHypRef Expression
1 onnbtwn 6448 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
213ad2ant1 1130 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
3 suceq 6420 . . . . 5 (๐ถ = (2o ยทo ๐ด) โ†’ suc ๐ถ = suc (2o ยทo ๐ด))
43eqeq1d 2726 . . . 4 (๐ถ = (2o ยทo ๐ด) โ†’ (suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต) โ†” suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)))
543ad2ant3 1132 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ (suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต) โ†” suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)))
6 ovex 7434 . . . . . . . 8 (2o ยทo ๐ด) โˆˆ V
76sucid 6436 . . . . . . 7 (2o ยทo ๐ด) โˆˆ suc (2o ยทo ๐ด)
8 eleq2 2814 . . . . . . 7 (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ suc (2o ยทo ๐ด) โ†” (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต)))
97, 8mpbii 232 . . . . . 6 (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต))
10 2on 8475 . . . . . . . 8 2o โˆˆ On
11 omord 8563 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต)))
1210, 11mp3an3 1446 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต)))
13 simpl 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
1412, 13syl6bir 254 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต))
159, 14syl5 34 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต))
16 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต))
17 omcl 8531 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ On)
1810, 17mpan 687 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o ยทo ๐ด) โˆˆ On)
19 oa1suc 8526 . . . . . . . . . . . 12 ((2o ยทo ๐ด) โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) = suc (2o ยทo ๐ด))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) = suc (2o ยทo ๐ด))
21 1oex 8471 . . . . . . . . . . . . . . 15 1o โˆˆ V
2221sucid 6436 . . . . . . . . . . . . . 14 1o โˆˆ suc 1o
23 df-2o 8462 . . . . . . . . . . . . . 14 2o = suc 1o
2422, 23eleqtrri 2824 . . . . . . . . . . . . 13 1o โˆˆ 2o
25 1on 8473 . . . . . . . . . . . . . 14 1o โˆˆ On
26 oaord 8542 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1o โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On โˆง (2o ยทo ๐ด) โˆˆ On) โ†’ (1o โˆˆ 2o โ†” ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ ((2o ยทo ๐ด) +o 2o)))
2725, 10, 18, 26mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o โˆˆ 2o โ†” ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ ((2o ยทo ๐ด) +o 2o)))
2824, 27mpbii 232 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ ((2o ยทo ๐ด) +o 2o))
29 omsuc 8521 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (2o ยทo suc ๐ด) = ((2o ยทo ๐ด) +o 2o))
3010, 29mpan 687 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o ยทo suc ๐ด) = ((2o ยทo ๐ด) +o 2o))
3128, 30eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((2o ยทo ๐ด) +o 1o) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
3220, 31eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ suc (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
3332ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ suc (2o ยทo ๐ด) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
3416, 33eqeltrrd 2826 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด))
35 onsuc 7792 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ suc ๐ด โˆˆ On)
36 omord 8563 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ On โˆง suc ๐ด โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
3710, 36mp3an3 1446 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ On โˆง suc ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
3835, 37sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
3938ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
4039adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†” (2o ยทo ๐ต) โˆˆ (2o ยทo suc ๐ด)))
4134, 40mpbird 257 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ suc ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ 2o))
4241simpld 494 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐ด)
4342ex 412 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐ด))
4415, 43jcad 512 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด)))
45443adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ (suc (2o ยทo ๐ด) = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด)))
465, 45sylbid 239 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ (suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐ด)))
472, 46mtod 197 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = (2o ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ suc ๐ถ = (2o ยทo ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ…c0 4314  Oncon0 6354  suc csuc 6356  (class class class)co 7401  1oc1o 8454  2oc2o 8455   +o coa 8458   ยทo comu 8459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator