Theorem onleft 28676

Description: The left set of a surreal ordinal is the same as its old set. (Contributed by Scott Fenton, 6-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onleft	⊢ (𝐴 ∈ Ons → (O‘(bday‘𝐴)) = (L‘𝐴))

Proof of Theorem onleft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elons 28669	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝐴 ∈ No ∧ (R‘𝐴) = ∅))
2	1	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (R‘𝐴) = ∅)
3	2	uneq2d 4170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴)) = ((L‘𝐴) ∪ ∅))
4		lrold 28313	. 2 ⊢ ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴)) = (O‘(bday‘𝐴))
5		un0 4347	. 2 ⊢ ((L‘𝐴) ∪ ∅) = (L‘𝐴)
6	3, 4, 5	3eqtr3g 2821	1 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (O‘(bday‘𝐴)) = (L‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  ‘cfv 6558  Nocsur 28027  bdaycbday 28029  Ocold 28239  Lcleft 28241  Rcright 28242  On_scons 28667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-made 28243  df-old 28244  df-left 28246  df-right 28247  df-ons 28668

This theorem is used by:  ltonold  28677  bday11on  28681  onnolt  28682  onlts  28683  onsbnd  28697