Theorem onltn0s 28744

Description: A surreal ordinal that is less than a non-negative integer is a non-negative integer. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onltn0s	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0s)

Proof of Theorem onltn0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ Ons)
2		n0on 28722	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0s → 𝐵 ∈ Ons)
3		onlts 28653	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵)))
4	2, 3	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵)))
5	4	biimp3a 1498	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → (bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵))
6		n0bday 28738	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0s → (bday‘𝐵) ∈ ω)
7	6	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → (bday‘𝐵) ∈ ω)
8		elnn 7888	. . 3 ⊢ (((bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵) ∧ (bday‘𝐵) ∈ ω) → (bday‘𝐴) ∈ ω)
9	5, 7, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → (bday‘𝐴) ∈ ω)
10		onsfi 28742	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ (bday‘𝐴) ∈ ω) → 𝐴 ∈ ℕ0s)
11	1, 9, 10	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0s)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  ωcom 7877   <s clts 27998  bdaycbday 27999  On_scons 28637  ℕ_0scn0s 28698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-nadd 8675  df-en 8974  df-dom 8975  df-fin 8977  df-no 28000  df-lts 28001  df-bday 28002  df-les 28102  df-slts 28144  df-cuts 28146  df-0s 28193  df-1s 28194  df-made 28213  df-old 28214  df-new 28215  df-left 28216  df-right 28217  df-norec 28324  df-norec2 28335  df-adds 28346  df-negs 28407  df-subs 28408  df-ons 28638  df-n0s 28700

This theorem is used by:  n0cutlt  28745