Theorem onltn0s 28621

Description: A surreal ordinal that is less than a non-negative integer is a non-negative integer. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onltn0s	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0s)

Proof of Theorem onltn0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ Ons)
2		n0on 28599	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0s → 𝐵 ∈ Ons)
3		onlts 28530	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
4	2, 3	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
5	4	biimp3a 1498	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵))
6		n0bday 28615	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0s → ( bday ‘𝐵) ∈ ω)
7	6	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ( bday ‘𝐵) ∈ ω)
8		elnn 7876	. . 3 ⊢ ((( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵) ∧ ( bday ‘𝐵) ∈ ω) → ( bday ‘𝐴) ∈ ω)
9	5, 7, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ( bday ‘𝐴) ∈ ω)
10		onsfi 28619	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ ( bday ‘𝐴) ∈ ω) → 𝐴 ∈ ℕ0s)
11	1, 9, 10	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0s)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  ωcom 7865   <s clts 27875   bday cbday 27876  On_scons 28514  ℕ_0scn0s 28575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-nadd 8657  df-en 8956  df-dom 8957  df-fin 8959  df-no 27877  df-lts 27878  df-bday 27879  df-les 27979  df-slts 28021  df-cuts 28023  df-0s 28070  df-1s 28071  df-made 28090  df-old 28091  df-new 28092  df-left 28093  df-right 28094  df-norec 28201  df-norec2 28212  df-adds 28223  df-negs 28284  df-subs 28285  df-ons 28515  df-n0s 28577

This theorem is used by:  n0cutlt  28622