Theorem onltn0s 28255

Description: A surreal ordinal that is less than a non-negative integer is a non-negative integer. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onltn0s	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0s)

Proof of Theorem onltn0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ Ons)
2		n0ons 28235	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0s → 𝐵 ∈ Ons)
3		onslt 28175	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
4	2, 3	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
5	4	biimp3a 1471	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵))
6		n0sbday 28251	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0s → ( bday ‘𝐵) ∈ ω)
7	6	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ( bday ‘𝐵) ∈ ω)
8		elnn 7810	. . 3 ⊢ ((( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵) ∧ ( bday ‘𝐵) ∈ ω) → ( bday ‘𝐴) ∈ ω)
9	5, 7, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ( bday ‘𝐴) ∈ ω)
10		onsfi 28254	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ ( bday ‘𝐴) ∈ ω) → 𝐴 ∈ ℕ0s)
11	1, 9, 10	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0s)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  ωcom 7799   <s cslt 27550   bday cbday 27551  On_scons 28159  ℕ_0scnn0s 28213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-ac2 10357

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-nadd 8584  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-fin 8876  df-card 9835  df-acn 9838  df-ac 10010  df-no 27552  df-slt 27553  df-bday 27554  df-sle 27655  df-sslt 27692  df-scut 27694  df-0s 27739  df-1s 27740  df-made 27759  df-old 27760  df-new 27761  df-left 27762  df-right 27763  df-norec 27852  df-norec2 27863  df-adds 27874  df-negs 27934  df-subs 27935  df-ons 28160  df-n0s 28215

This theorem is referenced by:  n0cutlt  28256