Theorem pmtrdifwrdellem2 19100

Description: Lemma 2 for pmtrdifwrdel 19103. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifwrdel.0	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifwrdellem2	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem pmtrdifwrdellem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdsymbcl 14240	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝑇)
2		pmtrdifel.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
3		pmtrdifel.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I ))
5	2, 3, 4	pmtrdifellem1 19094	. . . . 5 ⊢ ((𝑊‘𝑥) ∈ 𝑇 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) ∈ 𝑅)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) ∈ 𝑅)
7	6	ralrimiva 3108	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) ∈ 𝑅)
8		pmtrdifwrdel.0	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))
9	8	fnmpt 6565	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) ∈ 𝑅 → 𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
10		hashfn 14100	. . 3 ⊢ (𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑈) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
11	7, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑈) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
12		lencl 14246	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
13		hashfzo0 14155	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
15	11, 14	eqtr2d 2779	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∖ cdif 3883  {csn 4561   ↦ cmpt 5156   I cid 5483  dom cdm 5584  ran crn 5585   Fn wfn 6421  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  0cc0 10881  ℕ₀cn0 12243  ..^cfzo 13392  ♯chash 14054  Word cword 14227  pmTrspcpmtr 19059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-hash 14055  df-word 14228  df-pmtr 19060

This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel  19103  pmtrdifwrdel2  19104