Theorem pmtrdifwrdellem2 19612

Description: Lemma 2 for pmtrdifwrdel 19615. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifwrdel.0	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifwrdellem2	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem pmtrdifwrdellem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdsymbcl 14595	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝑇)
2		pmtrdifel.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
3		pmtrdifel.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
4		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I ))
5	2, 3, 4	pmtrdifellem1 19606	. . . . 5 ⊢ ((𝑊‘𝑥) ∈ 𝑇 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) ∈ 𝑅)
6	1, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) ∈ 𝑅)
7	6	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) ∈ 𝑅)
8		pmtrdifwrdel.0	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))
9	8	fnmpt 6673	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) ∈ 𝑅 → 𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
10		hashfn 14442	. . 3 ⊢ (𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑈) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
11	7, 9, 10	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑈) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
12		lencl 14601	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
13		hashfzo0 14498	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
14	12, 13	syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
15	11, 14	eqtr2d 2796	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∖ cdif 3896  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   I cid 5549  dom cdm 5655  ran crn 5656   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127  ℕ₀cn0 12531  ..^cfzo 13712  ♯chash 14397  Word cword 14581  pmTrspcpmtr 19571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-pmtr 19572

This theorem is used by:  pmtrdifwrdel  19615  pmtrdifwrdel2  19616