Theorem pmtrdifwrdellem2 19428

Description: Lemma 2 for pmtrdifwrdel 19431. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifwrdel.0	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifwrdellem2	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem pmtrdifwrdellem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdsymbcl 14501	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝑇)
2		pmtrdifel.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
3		pmtrdifel.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
4		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I ))
5	2, 3, 4	pmtrdifellem1 19422	. . . . 5 ⊢ ((𝑊‘𝑥) ∈ 𝑇 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) ∈ 𝑅)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) ∈ 𝑅)
7	6	ralrimiva 3141	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) ∈ 𝑅)
8		pmtrdifwrdel.0	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))
9	8	fnmpt 6689	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) ∈ 𝑅 → 𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
10		hashfn 14358	. . 3 ⊢ (𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑈) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
11	7, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑈) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
12		lencl 14507	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
13		hashfzo0 14413	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
15	11, 14	eqtr2d 2768	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056   ∖ cdif 3941  {csn 4624   ↦ cmpt 5225   I cid 5569  dom cdm 5672  ran crn 5673   Fn wfn 6537  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  ℕ₀cn0 12494  ..^cfzo 13651  ♯chash 14313  Word cword 14488  pmTrspcpmtr 19387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-pmtr 19388

This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel  19431  pmtrdifwrdel2  19432