Theorem prodgt0 11988

Description: Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
prodgt0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)

Proof of Theorem prodgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	leloed 11276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	remulcld 11162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
7		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐴)
8	7	gt0ne0d 11701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐴 ≠ 0)
9	4, 8	rereccld 11968	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
10		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
11		recgt0 11987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
12	11	ad2ant2r 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (1 / 𝐴))
13	6, 9, 10, 12	mulgt0d 11288	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐵) · (1 / 𝐴)))
14	6	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
15	4	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	14, 15, 8	divrecd 11920	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴) = ((𝐴 · 𝐵) · (1 / 𝐴)))
17		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19, 15, 8	divcan3d 11922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴) = 𝐵)
21	16, 20	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐵) · (1 / 𝐴)) = 𝐵)
22	13, 21	breqtrd 5124	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)
23	22	exp32 420	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵)))
24		0re 11134	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	24	ltnri 11242	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 < 0
26	18	mul02d 11331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 · 𝐵) = 0)
27	26	breq2d 5110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (0 · 𝐵) ↔ 0 < 0))
28	25, 27	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 0 < (0 · 𝐵))
29	28	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (0 · 𝐵) → 0 < 𝐵))
30		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
31	30	breq2d 5110	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 < (0 · 𝐵) ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
32	31	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → ((0 < (0 · 𝐵) → 0 < 𝐵) ↔ (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵)))
33	29, 32	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 = 𝐴 → (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵)))
34	23, 33	jaod 859	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵)))
35	3, 34	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 → (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵)))
36	35	imp32 418	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167   / cdiv 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795

This theorem is referenced by:  prodgt02  11989  prodgt0i  12049  evennn2n  16278  sgnmul  32916