MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodgt0 12062
Description: Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
prodgt0 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ต)

Proof of Theorem prodgt0
StepHypRef Expression
1 0red 11218 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2 simpl 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
31, 2leloed 11358 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
4 simpll 764 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5 simplr 766 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
64, 5remulcld 11245 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
7 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ด)
87gt0ne0d 11779 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โ‰  0)
94, 8rereccld 12042 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
10 simprr 770 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
11 recgt0 12061 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (1 / ๐ด))
1211ad2ant2r 744 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < (1 / ๐ด))
136, 9, 10, 12mulgt0d 11370 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ((๐ด ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ด)))
146recnd 11243 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
154recnd 11243 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1614, 15, 8divrecd 11994 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ด) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ด)))
17 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1817recnd 11243 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1918adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2019, 15, 8divcan3d 11996 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ด) = ๐ต)
2116, 20eqtr3d 2768 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ด)) = ๐ต)
2213, 21breqtrd 5167 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ต)
2322exp32 420 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)))
24 0re 11217 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
2524ltnri 11324 . . . . . . 7 ยฌ 0 < 0
2618mul02d 11413 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
2726breq2d 5153 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (0 ยท ๐ต) โ†” 0 < 0))
2825, 27mtbiri 327 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ยฌ 0 < (0 ยท ๐ต))
2928pm2.21d 121 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (0 ยท ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
30 oveq1 7411 . . . . . . 7 (0 = ๐ด โ†’ (0 ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
3130breq2d 5153 . . . . . 6 (0 = ๐ด โ†’ (0 < (0 ยท ๐ต) โ†” 0 < (๐ด ยท ๐ต)))
3231imbi1d 341 . . . . 5 (0 = ๐ด โ†’ ((0 < (0 ยท ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต) โ†” (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)))
3329, 32syl5ibcom 244 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 = ๐ด โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)))
3423, 33jaod 856 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด) โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)))
353, 34sylbid 239 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)))
3635imp32 418 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   < clt 11249   โ‰ค cle 11250   / cdiv 11872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873
This theorem is referenced by:  prodgt02  12063  prodgt0i  12122  evennn2n  16299  sgnmul  34071
  Copyright terms: Public domain W3C validator