MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodgt0 11205
Description: Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
prodgt0 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)

Proof of Theorem prodgt0
StepHypRef Expression
1 0red 10367 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
2 simpl 476 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
31, 2leloed 10506 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4 simpll 783 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 simplr 785 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
64, 5remulcld 10394 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
7 simprl 787 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐴)
87gt0ne0d 10923 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐴 ≠ 0)
94, 8rereccld 11185 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
10 simprr 789 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
11 recgt0 11204 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
1211ad2ant2r 753 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (1 / 𝐴))
136, 9, 10, 12mulgt0d 10518 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐵) · (1 / 𝐴)))
146recnd 10392 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
154recnd 10392 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
1614, 15, 8divrecd 11137 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴) = ((𝐴 · 𝐵) · (1 / 𝐴)))
17 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
1817recnd 10392 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1918adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
2019, 15, 8divcan3d 11139 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴) = 𝐵)
2116, 20eqtr3d 2863 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐵) · (1 / 𝐴)) = 𝐵)
2213, 21breqtrd 4901 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)
2322exp32 413 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵)))
24 0re 10365 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2524ltnri 10472 . . . . . . 7 ¬ 0 < 0
2618mul02d 10560 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 · 𝐵) = 0)
2726breq2d 4887 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (0 · 𝐵) ↔ 0 < 0))
2825, 27mtbiri 319 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 0 < (0 · 𝐵))
2928pm2.21d 119 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (0 · 𝐵) → 0 < 𝐵))
30 oveq1 6917 . . . . . . 7 (0 = 𝐴 → (0 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
3130breq2d 4887 . . . . . 6 (0 = 𝐴 → (0 < (0 · 𝐵) ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
3231imbi1d 333 . . . . 5 (0 = 𝐴 → ((0 < (0 · 𝐵) → 0 < 𝐵) ↔ (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵)))
3329, 32syl5ibcom 237 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 = 𝐴 → (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵)))
3423, 33jaod 890 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵)))
353, 34sylbid 232 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 → (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵)))
3635imp32 411 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wo 878   = wceq 1656  wcel 2164   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   · cmul 10264   < clt 10398  cle 10399   / cdiv 11016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017
This theorem is referenced by:  prodgt02  11206  prodgt0i  11267  evennn2n  15456  sgnmul  31146
  Copyright terms: Public domain W3C validator