MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodgt0 12097
Description: Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
prodgt0 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ต)

Proof of Theorem prodgt0
StepHypRef Expression
1 0red 11253 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2 simpl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
31, 2leloed 11393 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
4 simpll 765 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5 simplr 767 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
64, 5remulcld 11280 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
7 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ด)
87gt0ne0d 11814 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โ‰  0)
94, 8rereccld 12077 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
10 simprr 771 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
11 recgt0 12096 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (1 / ๐ด))
1211ad2ant2r 745 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < (1 / ๐ด))
136, 9, 10, 12mulgt0d 11405 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ((๐ด ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ด)))
146recnd 11278 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
154recnd 11278 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1614, 15, 8divrecd 12029 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ด) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ด)))
17 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1817recnd 11278 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1918adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2019, 15, 8divcan3d 12031 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ด) = ๐ต)
2116, 20eqtr3d 2769 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ด)) = ๐ต)
2213, 21breqtrd 5176 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ต)
2322exp32 419 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)))
24 0re 11252 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
2524ltnri 11359 . . . . . . 7 ยฌ 0 < 0
2618mul02d 11448 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
2726breq2d 5162 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (0 ยท ๐ต) โ†” 0 < 0))
2825, 27mtbiri 326 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ยฌ 0 < (0 ยท ๐ต))
2928pm2.21d 121 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (0 ยท ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
30 oveq1 7431 . . . . . . 7 (0 = ๐ด โ†’ (0 ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
3130breq2d 5162 . . . . . 6 (0 = ๐ด โ†’ (0 < (0 ยท ๐ต) โ†” 0 < (๐ด ยท ๐ต)))
3231imbi1d 340 . . . . 5 (0 = ๐ด โ†’ ((0 < (0 ยท ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต) โ†” (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)))
3329, 32syl5ibcom 244 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 = ๐ด โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)))
3423, 33jaod 857 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด) โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)))
353, 34sylbid 239 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)))
3635imp32 417 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5150  (class class class)co 7424  โ„‚cc 11142  โ„cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   ยท cmul 11149   < clt 11284   โ‰ค cle 11285   / cdiv 11907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908
This theorem is referenced by:  prodgt02  12098  prodgt0i  12157  evennn2n  16333  sgnmul  34167
  Copyright terms: Public domain W3C validator