MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psslinpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psslinpr 11068
Description: Proper subset is a linear ordering on positive reals. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
psslinpr ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem psslinpr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnq 11028 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑥𝐴) → 𝑥Q)
2 prub 11031 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵P𝑦𝐵) ∧ 𝑥Q) → (¬ 𝑥𝐵𝑦 <Q 𝑥))
31, 2sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵P𝑦𝐵) ∧ (𝐴P𝑥𝐴)) → (¬ 𝑥𝐵𝑦 <Q 𝑥))
4 prcdnq 11030 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑥𝐴) → (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴))
54adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵P𝑦𝐵) ∧ (𝐴P𝑥𝐴)) → (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴))
63, 5syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵P𝑦𝐵) ∧ (𝐴P𝑥𝐴)) → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝐴))
76exp43 436 . . . . . . . . . 10 (𝐵P → (𝑦𝐵 → (𝐴P → (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝐴)))))
87com3r 87 . . . . . . . . 9 (𝐴P → (𝐵P → (𝑦𝐵 → (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝐴)))))
98imp 406 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝐵P) → (𝑦𝐵 → (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝐴))))
109imp4a 422 . . . . . . 7 ((𝐴P𝐵P) → (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 𝑦𝐴)))
1110com23 86 . . . . . 6 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (𝑦𝐵𝑦𝐴)))
1211alrimdv 1926 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ∀𝑦(𝑦𝐵𝑦𝐴)))
1312exlimdv 1930 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ∀𝑦(𝑦𝐵𝑦𝐴)))
14 nss 4059 . . . . 5 𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵))
15 sspss 4111 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵))
1614, 15xchnxbi 332 . . . 4 (¬ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵))
17 sspss 4111 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴))
18 df-ss 3979 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ ∀𝑦(𝑦𝐵𝑦𝐴))
1917, 18bitr3i 277 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦𝐵𝑦𝐴))
2013, 16, 193imtr4g 296 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (¬ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
2120orrd 863 . 2 ((𝐴P𝐵P) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
22 df-3or 1087 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
23 or32 925 . . 3 (((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
24 orordir 929 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵)))
25 eqcom 2741 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
2625orbi2i 912 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵))
2726orbi2i 912 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵)))
2824, 27bitr4i 278 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
2922, 23, 283bitri 297 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
3021, 29sylibr 234 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3o 1085  wal 1534   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wss 3962  wpss 3963   class class class wbr 5147  Qcnq 10889   <Q cltq 10895  Pcnp 10896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-ni 10909  df-mi 10911  df-lti 10912  df-ltpq 10947  df-enq 10948  df-nq 10949  df-ltnq 10955  df-np 11018
This theorem is referenced by:  ltsopr  11069
  Copyright terms: Public domain W3C validator