MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psslinpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psslinpr 10963
Description: Proper subset is a linear ordering on positive reals. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
psslinpr ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem psslinpr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnq 10923 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑥𝐴) → 𝑥Q)
2 prub 10926 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵P𝑦𝐵) ∧ 𝑥Q) → (¬ 𝑥𝐵𝑦 <Q 𝑥))
31, 2sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵P𝑦𝐵) ∧ (𝐴P𝑥𝐴)) → (¬ 𝑥𝐵𝑦 <Q 𝑥))
4 prcdnq 10925 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑥𝐴) → (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴))
54adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵P𝑦𝐵) ∧ (𝐴P𝑥𝐴)) → (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴))
63, 5syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵P𝑦𝐵) ∧ (𝐴P𝑥𝐴)) → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝐴))
76exp43 437 . . . . . . . . . 10 (𝐵P → (𝑦𝐵 → (𝐴P → (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝐴)))))
87com3r 87 . . . . . . . . 9 (𝐴P → (𝐵P → (𝑦𝐵 → (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝐴)))))
98imp 407 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝐵P) → (𝑦𝐵 → (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝐴))))
109imp4a 423 . . . . . . 7 ((𝐴P𝐵P) → (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 𝑦𝐴)))
1110com23 86 . . . . . 6 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (𝑦𝐵𝑦𝐴)))
1211alrimdv 1932 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ∀𝑦(𝑦𝐵𝑦𝐴)))
1312exlimdv 1936 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ∀𝑦(𝑦𝐵𝑦𝐴)))
14 nss 4004 . . . . 5 𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵))
15 sspss 4057 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵))
1614, 15xchnxbi 331 . . . 4 (¬ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵))
17 sspss 4057 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴))
18 dfss2 3928 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ ∀𝑦(𝑦𝐵𝑦𝐴))
1917, 18bitr3i 276 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦𝐵𝑦𝐴))
2013, 16, 193imtr4g 295 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (¬ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
2120orrd 861 . 2 ((𝐴P𝐵P) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
22 df-3or 1088 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
23 or32 924 . . 3 (((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
24 orordir 928 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵)))
25 eqcom 2743 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
2625orbi2i 911 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵))
2726orbi2i 911 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵)))
2824, 27bitr4i 277 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
2922, 23, 283bitri 296 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
3021, 29sylibr 233 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  w3o 1086  wal 1539   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wss 3908  wpss 3909   class class class wbr 5103  Qcnq 10784   <Q cltq 10790  Pcnp 10791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-oadd 8412  df-omul 8413  df-er 8644  df-ni 10804  df-mi 10806  df-lti 10807  df-ltpq 10842  df-enq 10843  df-nq 10844  df-ltnq 10850  df-np 10913
This theorem is referenced by:  ltsopr  10964
  Copyright terms: Public domain W3C validator