Theorem psslinpr 10954

Description: Proper subset is a linear ordering on positive reals. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
psslinpr	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴))

Proof of Theorem psslinpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 10914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
2		prub 10917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 <Q 𝑥))
3	1, 2	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 <Q 𝑥))
4		prcdnq 10916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴))
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴))
6	3, 5	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))
7	6	exp43 436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))))
8	7	com3r 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))))
9	8	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))))
10	9	imp4a 422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐴)))
11	10	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
12	11	alrimdv 1931	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
13	12	exlimdv 1935	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
14		nss 3986	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
15		sspss 4042	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
16	14, 15	xchnxbi 332	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
17		sspss 4042	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴))
18		df-ss 3906	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))
19	17, 18	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))
20	13, 16, 19	3imtr4g 296	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (¬ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
21	20	orrd 864	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
22		df-3or 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴))
23		or32 926	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
24		orordir 930	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
25		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
26	25	orbi2i 913	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))
27	26	orbi2i 913	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
28	24, 27	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
29	22, 23, 28	3bitri 297	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
30	21, 29	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   ⊊ wpss 3890   class class class wbr 5085  Qcnq 10775   <_Q cltq 10781  Pcnp 10782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-ni 10795  df-mi 10797  df-lti 10798  df-ltpq 10833  df-enq 10834  df-nq 10835  df-ltnq 10841  df-np 10904

This theorem is referenced by:  ltsopr  10955