Theorem psslinpr 11043

Description: Proper subset is a linear ordering on positive reals. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
psslinpr	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴))

Proof of Theorem psslinpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 11003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
2		prub 11006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 <Q 𝑥))
3	1, 2	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 <Q 𝑥))
4		prcdnq 11005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴))
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴))
6	3, 5	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))
7	6	exp43 436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))))
8	7	com3r 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))))
9	8	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))))
10	9	imp4a 422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐴)))
11	10	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
12	11	alrimdv 1929	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
13	12	exlimdv 1933	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
14		nss 4023	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
15		sspss 4077	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
16	14, 15	xchnxbi 332	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
17		sspss 4077	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴))
18		df-ss 3943	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))
19	17, 18	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))
20	13, 16, 19	3imtr4g 296	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (¬ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
21	20	orrd 863	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
22		df-3or 1087	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴))
23		or32 925	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
24		orordir 929	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
25		eqcom 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
26	25	orbi2i 912	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))
27	26	orbi2i 912	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
28	24, 27	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
29	22, 23, 28	3bitri 297	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
30	21, 29	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   ⊊ wpss 3927   class class class wbr 5119  Qcnq 10864   <_Q cltq 10870  Pcnp 10871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8717  df-ni 10884  df-mi 10886  df-lti 10887  df-ltpq 10922  df-enq 10923  df-nq 10924  df-ltnq 10930  df-np 10993

This theorem is referenced by:  ltsopr  11044