Theorem psslinpr 11028

Description: Proper subset is a linear ordering on positive reals. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
psslinpr	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴))

Proof of Theorem psslinpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 10988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
2		prub 10991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 <Q 𝑥))
3	1, 2	sylan2 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 <Q 𝑥))
4		prcdnq 10990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴))
5	4	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴))
6	3, 5	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))
7	6	exp43 435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))))
8	7	com3r 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))))
9	8	imp 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))))
10	9	imp4a 421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐴)))
11	10	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
12	11	alrimdv 1930	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
13	12	exlimdv 1934	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
14		nss 4045	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
15		sspss 4098	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
16	14, 15	xchnxbi 331	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
17		sspss 4098	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴))
18		dfss2 3967	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))
19	17, 18	bitr3i 276	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))
20	13, 16, 19	3imtr4g 295	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (¬ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
21	20	orrd 859	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
22		df-3or 1086	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴))
23		or32 922	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
24		orordir 926	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
25		eqcom 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
26	25	orbi2i 909	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))
27	26	orbi2i 909	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
28	24, 27	bitr4i 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
29	22, 23, 28	3bitri 296	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
30	21, 29	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∨ w3o 1084  ∀wal 1537   = wceq 1539  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947   ⊊ wpss 3948   class class class wbr 5147  Qcnq 10849   <_Q cltq 10855  Pcnp 10856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ni 10869  df-mi 10871  df-lti 10872  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-ltnq 10915  df-np 10978

This theorem is referenced by:  ltsopr  11029