Theorem psslinpr 11100

Description: Proper subset is a linear ordering on positive reals. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
psslinpr	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴))

Proof of Theorem psslinpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 11060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
2		prub 11063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 <Q 𝑥))
3	1, 2	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 <Q 𝑥))
4		prcdnq 11062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴))
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴))
6	3, 5	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))
7	6	exp43 436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))))
8	7	com3r 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))))
9	8	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))))
10	9	imp4a 422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐴)))
11	10	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
12	11	alrimdv 1928	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
13	12	exlimdv 1932	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
14		nss 4073	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
15		sspss 4125	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
16	14, 15	xchnxbi 332	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
17		sspss 4125	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴))
18		df-ss 3993	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))
19	17, 18	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴))
20	13, 16, 19	3imtr4g 296	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (¬ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
21	20	orrd 862	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
22		df-3or 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴))
23		or32 924	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
24		orordir 928	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
25		eqcom 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
26	25	orbi2i 911	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))
27	26	orbi2i 911	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
28	24, 27	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
29	22, 23, 28	3bitri 297	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
30	21, 29	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ⊊ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∨ w3o 1086  ∀wal 1535   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   ⊊ wpss 3977   class class class wbr 5166  Qcnq 10921   <_Q cltq 10927  Pcnp 10928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ni 10941  df-mi 10943  df-lti 10944  df-ltpq 10979  df-enq 10980  df-nq 10981  df-ltnq 10987  df-np 11050

This theorem is referenced by:  ltsopr  11101