MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psslinpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psslinpr 11071
Description: Proper subset is a linear ordering on positive reals. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
psslinpr ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem psslinpr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnq 11031 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑥𝐴) → 𝑥Q)
2 prub 11034 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵P𝑦𝐵) ∧ 𝑥Q) → (¬ 𝑥𝐵𝑦 <Q 𝑥))
31, 2sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵P𝑦𝐵) ∧ (𝐴P𝑥𝐴)) → (¬ 𝑥𝐵𝑦 <Q 𝑥))
4 prcdnq 11033 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑥𝐴) → (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴))
54adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵P𝑦𝐵) ∧ (𝐴P𝑥𝐴)) → (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴))
63, 5syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵P𝑦𝐵) ∧ (𝐴P𝑥𝐴)) → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝐴))
76exp43 436 . . . . . . . . . 10 (𝐵P → (𝑦𝐵 → (𝐴P → (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝐴)))))
87com3r 87 . . . . . . . . 9 (𝐴P → (𝐵P → (𝑦𝐵 → (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝐴)))))
98imp 406 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝐵P) → (𝑦𝐵 → (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝐴))))
109imp4a 422 . . . . . . 7 ((𝐴P𝐵P) → (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 𝑦𝐴)))
1110com23 86 . . . . . 6 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (𝑦𝐵𝑦𝐴)))
1211alrimdv 1929 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ∀𝑦(𝑦𝐵𝑦𝐴)))
1312exlimdv 1933 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ∀𝑦(𝑦𝐵𝑦𝐴)))
14 nss 4048 . . . . 5 𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵))
15 sspss 4102 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵))
1614, 15xchnxbi 332 . . . 4 (¬ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵))
17 sspss 4102 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴))
18 df-ss 3968 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ ∀𝑦(𝑦𝐵𝑦𝐴))
1917, 18bitr3i 277 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦𝐵𝑦𝐴))
2013, 16, 193imtr4g 296 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (¬ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
2120orrd 864 . 2 ((𝐴P𝐵P) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
22 df-3or 1088 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
23 or32 926 . . 3 (((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
24 orordir 930 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵)))
25 eqcom 2744 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
2625orbi2i 913 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵))
2726orbi2i 913 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵)))
2824, 27bitr4i 278 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
2922, 23, 283bitri 297 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
3021, 29sylibr 234 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848  w3o 1086  wal 1538   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wss 3951  wpss 3952   class class class wbr 5143  Qcnq 10892   <Q cltq 10898  Pcnp 10899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ni 10912  df-mi 10914  df-lti 10915  df-ltpq 10950  df-enq 10951  df-nq 10952  df-ltnq 10958  df-np 11021
This theorem is referenced by:  ltsopr  11072
  Copyright terms: Public domain W3C validator