Theorem rankfo 35777

Description: The rank function maps the universe onto the ordinals. (Contributed by BTernaryTau, 23-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
rankfo	⊢ rank:V–onto→On

Proof of Theorem rankfo

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9802	. . 3 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		unir1 9821	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	2	feq2i 6701	. . 3 ⊢ (rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On ↔ rank:V⟶On)
4	1, 3	mpbi 233	. 2 ⊢ rank:V⟶On
5		vex 3454	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		rankonid 9839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝑦) = 𝑦)
7	6	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘𝑦) = 𝑦)
8		r1fnon 9773	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅1 Fn On
9	8	fndmi 6643	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑅1 = On
10	9	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ On = dom 𝑅1
11	7, 10	eleq2s 2878	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ On → (rank‘𝑦) = 𝑦)
12	11	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ On → 𝑦 = (rank‘𝑦))
13		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (rank‘𝑥) = (rank‘𝑦))
14	13	rspceeqv 3598	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 = (rank‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥))
15	5, 12, 14	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ On → ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥))
16	15	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ On ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥)
17		dffo3 7102	. 2 ⊢ (rank:V–onto→On ↔ (rank:V⟶On ∧ ∀𝑦 ∈ On ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥)))
18	4, 16, 17	mpbir2an 724	1 ⊢ rank:V–onto→On

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  ∪ cuni 4866  dom cdm 5650   “ cima 5653  Oncon0 6362  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  𝑅₁cr1 9766  rankcrnk 9767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-reg 9586  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-r1 9768  df-rank 9769

This theorem is used by:  rankfn  35778  werankwe  35781  dfscott3  35785