Theorem rankfo 35471

Description: The rank function maps the universe onto the ordinals. (Contributed by BTernaryTau, 23-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
rankfo	⊢ rank:V–onto→On

Proof of Theorem rankfo

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9765	. . 3 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		unir1 9784	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	2	feq2i 6697	. . 3 ⊢ (rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On ↔ rank:V⟶On)
4	1, 3	mpbi 233	. 2 ⊢ rank:V⟶On
5		vex 3457	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		rankonid 9800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝑦) = 𝑦)
7	6	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘𝑦) = 𝑦)
8		r1fnon 9738	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅1 Fn On
9	8	fndmi 6639	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑅1 = On
10	9	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ On = dom 𝑅1
11	7, 10	eleq2s 2879	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ On → (rank‘𝑦) = 𝑦)
12	11	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ On → 𝑦 = (rank‘𝑦))
13		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (rank‘𝑥) = (rank‘𝑦))
14	13	rspceeqv 3603	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 = (rank‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥))
15	5, 12, 14	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ On → ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥))
16	15	rgen 3079	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ On ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥)
17		dffo3 7097	. 2 ⊢ (rank:V–onto→On ↔ (rank:V⟶On ∧ ∀𝑦 ∈ On ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥)))
18	4, 16, 17	mpbir2an 723	1 ⊢ rank:V–onto→On

Syntax hints:   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3453  ∪ cuni 4871  dom cdm 5661   “ cima 5664  Oncon0 6360  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  𝑅₁cr1 9733  rankcrnk 9734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9553  ax-inf2 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-r1 9735  df-rank 9736

This theorem is referenced by:  rankfn  35472  dfscott3  35478