Theorem rankfo 35514

Description: The rank function maps the universe onto the ordinals. (Contributed by BTernaryTau, 23-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
rankfo	⊢ rank:V–onto→On

Proof of Theorem rankfo

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9764	. . 3 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		unir1 9783	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	2	feq2i 6697	. . 3 ⊢ (rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On ↔ rank:V⟶On)
4	1, 3	mpbi 233	. 2 ⊢ rank:V⟶On
5		vex 3458	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		rankonid 9799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝑦) = 𝑦)
7	6	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘𝑦) = 𝑦)
8		r1fnon 9737	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅1 Fn On
9	8	fndmi 6639	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑅1 = On
10	9	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ On = dom 𝑅1
11	7, 10	eleq2s 2880	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ On → (rank‘𝑦) = 𝑦)
12	11	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ On → 𝑦 = (rank‘𝑦))
13		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (rank‘𝑥) = (rank‘𝑦))
14	13	rspceeqv 3603	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 = (rank‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥))
15	5, 12, 14	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ On → ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥))
16	15	rgen 3080	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ On ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥)
17		dffo3 7097	. 2 ⊢ (rank:V–onto→On ↔ (rank:V⟶On ∧ ∀𝑦 ∈ On ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥)))
18	4, 16, 17	mpbir2an 723	1 ⊢ rank:V–onto→On

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3454  ∪ cuni 4871  dom cdm 5660   “ cima 5663  Oncon0 6360  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  𝑅₁cr1 9732  rankcrnk 9733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-reg 9552  ax-inf2 9608

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-r1 9734  df-rank 9735

This theorem is used by:  rankfn  35515  dfscott3  35521