Theorem rankfo 35817

Description: The rank function maps the universe onto the ordinals. (Contributed by BTernaryTau, 23-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
rankfo	⊢ rank:V⟶ontoOn

Proof of Theorem rankfo

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9829	. . 3 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		unir1 9848	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	2	feq2i 6723	. . 3 ⊢ (rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On ↔ rank:V⟶On)
4	1, 3	mpbi 233	. 2 ⊢ rank:V⟶On
5		vex 3458	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		rankonid 9866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝑦) = 𝑦)
7	6	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘𝑦) = 𝑦)
8		r1fnon 9800	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅1 Fn On
9	8	fndmi 6665	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑅1 = On
10	9	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ On = dom 𝑅1
11	7, 10	eleq2s 2882	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ On → (rank‘𝑦) = 𝑦)
12	11	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ On → 𝑦 = (rank‘𝑦))
13		fveq2 6908	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (rank‘𝑥) = (rank‘𝑦))
14	13	rspceeqv 3602	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 = (rank‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥))
15	5, 12, 14	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ On → ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥))
16	15	rgen 3082	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ On ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥)
17		dffo3 7126	. 2 ⊢ (rank:V⟶ontoOn ↔ (rank:V⟶On ∧ ∀𝑦 ∈ On ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥)))
18	4, 16, 17	mpbir2an 724	1 ⊢ rank:V⟶ontoOn

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454  ∪ cuni 4870  dom cdm 5655   “ cima 5658  Oncon0 6380  ⟶wf 6554  ⟶ontowfo 6556  ‘cfv 6558  𝑅₁cr1 9793  rankcrnk 9794

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-reg 9613  ax-inf2 9669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-r1 9795  df-rank 9796

This theorem is used by:  rankfn  35818  werankwe  35821  werankwe2  35822  dfscott3  35827