Theorem rankfo 35666

Description: The rank function maps the universe onto the ordinals. (Contributed by BTernaryTau, 23-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
rankfo	⊢ rank:V–onto→On

Proof of Theorem rankfo

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9776	. . 3 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		unir1 9795	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	2	feq2i 6689	. . 3 ⊢ (rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On ↔ rank:V⟶On)
4	1, 3	mpbi 233	. 2 ⊢ rank:V⟶On
5		vex 3454	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		rankonid 9812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝑦) = 𝑦)
7	6	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘𝑦) = 𝑦)
8		r1fnon 9749	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅1 Fn On
9	8	fndmi 6631	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑅1 = On
10	9	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ On = dom 𝑅1
11	7, 10	eleq2s 2878	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ On → (rank‘𝑦) = 𝑦)
12	11	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ On → 𝑦 = (rank‘𝑦))
13		fveq2 6873	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (rank‘𝑥) = (rank‘𝑦))
14	13	rspceeqv 3598	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 = (rank‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥))
15	5, 12, 14	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ On → ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥))
16	15	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ On ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥)
17		dffo3 7090	. 2 ⊢ (rank:V–onto→On ↔ (rank:V⟶On ∧ ∀𝑦 ∈ On ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = (rank‘𝑥)))
18	4, 16, 17	mpbir2an 724	1 ⊢ rank:V–onto→On

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  ∪ cuni 4866  dom cdm 5647   “ cima 5650  Oncon0 6351  ⟶wf 6523  –onto→wfo 6525  ‘cfv 6527  𝑅₁cr1 9744  rankcrnk 9745

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-reg 9564  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-r1 9746  df-rank 9747

This theorem is used by:  rankfn  35667  dfscott3  35673