Theorem i4 14271

Description: i to the fourth power. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
i4	⊢ (i↑4) = 1

Proof of Theorem i4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11186	. . 3 ⊢ i ∈ ℂ
2		2nn0 12548	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		expadd 14171	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (i↑(2 + 2)) = ((i↑2) · (i↑2)))
4	1, 2, 2, 3	mp3an 1490	. 2 ⊢ (i↑(2 + 2)) = ((i↑2) · (i↑2))
5		2p2e4 12402	. . 3 ⊢ (2 + 2) = 4
6	5	oveq2i 7425	. 2 ⊢ (i↑(2 + 2)) = (i↑4)
7		i2 14269	. . . 4 ⊢ (i↑2) = -1
8	7, 7	oveq12i 7426	. . 3 ⊢ ((i↑2) · (i↑2)) = (-1 · -1)
9		ax-1cn 11185	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 9	mul2negi 11689	. . 3 ⊢ (-1 · -1) = (1 · 1)
11		1t1e1 12429	. . 3 ⊢ (1 · 1) = 1
12	8, 10, 11	3eqtri 2787	. 2 ⊢ ((i↑2) · (i↑2)) = 1
13	4, 6, 12	3eqtr3i 2791	1 ⊢ (i↑4) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  1c1 11128  ici 11129   + caddc 11130   · cmul 11132  -cneg 11469  2c2 12322  4c4 12324  ℕ₀cn0 12531  ↑cexp 14128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14069  df-exp 14129

This theorem is used by:  iexpcyc  14274  cphipval  25474  ipval2  31191