MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resttopon Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem resttopon 22886
Description: A subspace topology is a topology on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttopon ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
Proof of Theorem resttopon
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 22636 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 id 22 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
3 toponmax 22649 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
4 ssexg 5323 . . . 4 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) β†’ 𝐴 ∈ V)
52, 3, 4syl2anr 596 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ V)
6 resttop 22885 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
71, 5, 6syl2an2r 682 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
8 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
9 sseqin2 4215 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
108, 9sylib 217 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
11 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
123adantr 480 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
13 elrestr 17379 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) β†’ (𝑋 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
1411, 5, 12, 13syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑋 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
1510, 14eqeltrrd 2833 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
16 elssuni 4941 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
1715, 16syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
18 restval 17377 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = ran (π‘₯ ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)))
195, 18syldan 590 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = ran (π‘₯ ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)))
20 inss2 4229 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
21 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ ∈ V
2221inex1 5317 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ V
2322elpw 4606 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (π‘₯ ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴)
2420, 23mpbir 230 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝐴
2524a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝐴)
2625fmpttd 7116 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)):π½βŸΆπ’« 𝐴)
2726frnd 6725 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝐴)
2819, 27eqsstrd 4020 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) βŠ† 𝒫 𝐴)
29 sspwuni 5103 . . . 4 ((𝐽 β†Ύt 𝐴) βŠ† 𝒫 𝐴 ↔ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) βŠ† 𝐴)
3028, 29sylib 217 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) βŠ† 𝐴)
3117, 30eqssd 3999 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
32 istopon 22635 . 2 ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) ↔ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top ∧ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)))
337, 31, 32sylanbrc 582 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   β†Ύt crest 17371  Topctop 22616  TopOnctopon 22633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-en 8944  df-fin 8947  df-fi 9410  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670
This theorem is referenced by:  restuni  22887  stoig  22888  restsn2  22896  restlp  22908  restperf  22909  perfopn  22910  cnrest  23010  cnrest2  23011  cnrest2r  23012  cnpresti  23013  cnprest  23014  cnprest2  23015  restcnrm  23087  connsuba  23145  kgentopon  23263  1stckgenlem  23278  kgen2ss  23280  kgencn  23281  xkoinjcn  23412  qtoprest  23442  flimrest  23708  fclsrest  23749  flfcntr  23768  efmndtmd  23826  symgtgp  23831  dvrcn  23909  sszcld  24554  divcnOLD  24605  divcn  24607  cncfmptc  24653  cncfmptid  24654  cncfmpt2f  24656  cdivcncf  24662  cnmpopc  24670  icchmeo  24686  icchmeoOLD  24687  htpycc  24727  pcocn  24765  pcohtpylem  24767  pcopt  24770  pcopt2  24771  pcoass  24772  pcorevlem  24774  relcmpcmet  25067  mulcncf  25195  limcvallem  25621  ellimc2  25627  limcres  25636  cnplimc  25637  cnlimc  25638  limccnp  25641  limccnp2  25642  dvbss  25651  perfdvf  25653  dvreslem  25659  dvres2lem  25660  dvcnp2  25670  dvcnp2OLD  25671  dvcn  25672  dvaddbr  25689  dvmulbr  25690  dvmulbrOLD  25691  dvcmulf  25697  dvmptres2  25715  dvmptcmul  25717  dvmptntr  25724  dvmptfsum  25728  dvcnvlem  25729  dvcnv  25730  lhop1lem  25766  lhop2  25768  lhop  25769  dvcnvrelem2  25771  dvcnvre  25772  ftc1lem3  25791  ftc1cn  25796  taylthlem1  26122  ulmdvlem3  26151  psercn  26175  abelth  26190  logcn  26392  cxpcn  26490  cxpcn2  26491  cxpcn3  26493  resqrtcn  26494  sqrtcn  26495  loglesqrt  26503  xrlimcnp  26710  efrlim  26711  ftalem3  26816  xrge0pluscn  33219  xrge0mulc1cn  33220  lmlimxrge0  33227  pnfneige0  33230  lmxrge0  33231  esumcvg  33383  cxpcncf1  33906  cvxpconn  34532  cvxsconn  34533  cvmsf1o  34562  cvmliftlem8  34582  cvmlift2lem9a  34593  cvmlift2lem11  34603  cvmlift3lem6  34614  gg-cxpcn  35471  ivthALT  35524  poimir  36825  broucube  36826  cnambfre  36840  ftc1cnnc  36864  areacirclem2  36881  areacirclem4  36883  fsumcncf  44893  ioccncflimc  44900  cncfuni  44901  icccncfext  44902  icocncflimc  44904  cncfiooicclem1  44908  cxpcncf2  44914  dvmptconst  44930  dvmptidg  44932  dvresntr  44933  itgsubsticclem  44990  dirkercncflem2  45119  dirkercncflem4  45121  fourierdlem32  45154  fourierdlem33  45155  fourierdlem62  45183  fourierdlem93  45214  fourierdlem101  45222
  Copyright terms: Public domain W3C validator