Theorem resstps 23381

Description: A restricted topological space is a topological space. Note that this theorem would not be true if TopSp was defined directly in terms of the TopSet slot instead of the TopOpen derived function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resstps	⊢ ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ TopSp)

Proof of Theorem resstps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
3	1, 2	istps 23128	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)))
4		resttopon2 23362	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∩ (Base‘𝐾))))
5	3, 4	sylanb 593	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∩ (Base‘𝐾))))
6		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ↾s 𝐴) = (𝐾 ↾s 𝐴)
7	6, 1	ressbas 17321	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
9	8	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (TopOn‘(𝐴 ∩ (Base‘𝐾))) = (TopOn‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
10	5, 9	eleqtrd 2868	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
11		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))
12	6, 2	resstopn 23380	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (TopOpen‘(𝐾 ↾s 𝐴))
13	11, 12	istps 23128	. 2 ⊢ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ TopSp ↔ ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
14	10, 13	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ TopSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3907  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315   ↾_t crest 17498  TopOpenctopn 17499  TopOnctopon 23104  TopSpctps 23126

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-tset 17354  df-rest 17500  df-topn 17501  df-topgen 17521  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140

This theorem is used by:  submtmd  24298  tsmssubm  24337  xrge0tsms  25029  xrge0tsmsd  33424  xrge0tps  34363