Theorem resstps 23105

Description: A restricted topological space is a topological space. Note that this theorem would not be true if TopSp was defined directly in terms of the TopSet slot instead of the TopOpen derived function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resstps	⊢ ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ TopSp)

Proof of Theorem resstps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
3	1, 2	istps 22852	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)))
4		resttopon2 23086	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∩ (Base‘𝐾))))
5	3, 4	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∩ (Base‘𝐾))))
6		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ↾s 𝐴) = (𝐾 ↾s 𝐴)
7	6, 1	ressbas 17151	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
9	8	fveq2d 6834	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (TopOn‘(𝐴 ∩ (Base‘𝐾))) = (TopOn‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
10	5, 9	eleqtrd 2835	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
11		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))
12	6, 2	resstopn 23104	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (TopOpen‘(𝐾 ↾s 𝐴))
13	11, 12	istps 22852	. 2 ⊢ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ TopSp ↔ ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
14	10, 13	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3897  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124   ↾_s cress 17145   ↾_t crest 17328  TopOpenctopn 17329  TopOnctopon 22828  TopSpctps 22850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fi 9304  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-tset 17184  df-rest 17330  df-topn 17331  df-topgen 17351  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22864

This theorem is referenced by:  submtmd  24022  tsmssubm  24061  xrge0tsms  24753  xrge0tsmsd  33051  xrge0tps  33978