Theorem reelznn0nn 42564

Description: elznn0nn 12482 restated using df-resub 42469. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
reelznn0nn	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝑁) ∈ ℕ)))

Proof of Theorem reelznn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 12482	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		df-neg 11347	. . . . . 6 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
3		0re 11114	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		resubeqsub 42533	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑁) = (0 − 𝑁))
5	3, 4	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑁) = (0 − 𝑁))
6	2, 5	eqtr4id 2785	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → -𝑁 = (0 −ℝ 𝑁))
7	6	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 ∈ ℕ ↔ (0 −ℝ 𝑁) ∈ ℕ))
8	7	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝑁) ∈ ℕ))
9	8	orbi2i 912	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝑁) ∈ ℕ)))
10	1, 9	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝑁) ∈ ℕ)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006   − cmin 11344  -cneg 11345  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468   −_ℝ cresub 42468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-resub 42469

This theorem is referenced by:  zaddcom  42567  zmulcom  42571