Theorem reelznn0nn 42926

Description: elznn0nn 12533 restated using df-resub 42818. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
reelznn0nn	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝑁) ∈ ℕ)))

Proof of Theorem reelznn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 12533	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		df-neg 11375	. . . . . 6 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
3		0re 11141	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		resubeqsub 42882	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑁) = (0 − 𝑁))
5	3, 4	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑁) = (0 − 𝑁))
6	2, 5	eqtr4id 2791	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → -𝑁 = (0 −ℝ 𝑁))
7	6	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 ∈ ℕ ↔ (0 −ℝ 𝑁) ∈ ℕ))
8	7	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝑁) ∈ ℕ))
9	8	orbi2i 913	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝑁) ∈ ℕ)))
10	1, 9	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝑁) ∈ ℕ)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  0cc0 11033   − cmin 11372  -cneg 11373  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519   −_ℝ cresub 42817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-resub 42818

This theorem is referenced by:  zaddcom  42929  zmulcom  42933