Theorem reelznn0nn 42894

Description: elznn0nn 12527 restated using df-resub 42786. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
reelznn0nn	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝑁) ∈ ℕ)))

Proof of Theorem reelznn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 12527	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		df-neg 11369	. . . . . 6 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
3		0re 11135	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		resubeqsub 42850	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑁) = (0 − 𝑁))
5	3, 4	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑁) = (0 − 𝑁))
6	2, 5	eqtr4id 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → -𝑁 = (0 −ℝ 𝑁))
7	6	eleq1d 2820	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 ∈ ℕ ↔ (0 −ℝ 𝑁) ∈ ℕ))
8	7	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝑁) ∈ ℕ))
9	8	orbi2i 913	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝑁) ∈ ℕ)))
10	1, 9	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝑁) ∈ ℕ)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7356  ℝcr 11026  0cc0 11027   − cmin 11366  -cneg 11367  ℕcn 12163  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513   −_ℝ cresub 42785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-resub 42786

This theorem is referenced by:  zaddcom  42897  zmulcom  42901