Theorem vtxdfiun 29007

Description: The degree of a vertex in the union of two hypergraphs of finite size on the same vertex set is the sum of the degrees of the vertex in each hypergraph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Jan-2018.) (Revised by AV, 19-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdun.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdun.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
vtxdun.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdun.vh	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
vtxdun.vu	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
vtxdun.d	⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom 𝐽) = ∅)
vtxdun.fi	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
vtxdun.fj	⊢ (𝜑 → Fun 𝐽)
vtxdun.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
vtxdun.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐼 ∪ 𝐽))
vtxdfiun.a	⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
vtxdfiun.b	⊢ (𝜑 → dom 𝐽 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
vtxdfiun	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑈)‘𝑁) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) + ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑁)))

Proof of Theorem vtxdfiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdun.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		vtxdun.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		vtxdun.vg	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxdun.vh	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
5		vtxdun.vu	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
6		vtxdun.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom 𝐽) = ∅)
7		vtxdun.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
8		vtxdun.fj	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐽)
9		vtxdun.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
10		vtxdun.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐼 ∪ 𝐽))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	vtxdun 29006	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑈)‘𝑁) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) +𝑒 ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑁)))
12		vtxdfiun.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
13		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐼 = dom 𝐼
14	3, 1, 13	vtxdgfisnn0 29000	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ0)
15	12, 9, 14	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 12538	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℝ)
17		vtxdfiun.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐽 ∈ Fin)
18	9, 4	eleqtrrd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐻))
19		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
20		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐽 = dom 𝐽
21	19, 2, 20	vtxdgfisnn0 29000	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐽 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐻)) → ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑁) ∈ ℕ0)
22	17, 18, 21	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑁) ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 12538	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑁) ∈ ℝ)
24	16, 23	rexaddd 13218	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) +𝑒 ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑁)) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) + ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑁)))
25	11, 24	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑈)‘𝑁) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) + ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947  ∅c0 4322  dom cdm 5676  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8943   + caddc 11117  ℕ₀cn0 12477   +_𝑒 cxad 13095  Vtxcvtx 28524  iEdgciedg 28525  VtxDegcvtxdg 28990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-xadd 13098  df-hash 14296  df-vtxdg 28991

This theorem is referenced by:  vtxduhgrfiun  29009  trlsegvdeg  29748