Theorem bl2in 24411

Description: Two balls are disjoint if they don't overlap. (Contributed by NM, 11-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bl2in	⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅)

Proof of Theorem bl2in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		metxmet 24345	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4		simpl2 1192	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
5		simpl3 1193	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑄 ∈ 𝑋)
6		rexr 11308	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
7	6	ad2antrl 728	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
8		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ)
9	8, 8	rexaddd 13277	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (𝑅 +𝑒 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
10	8	recnd 11290	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑅 ∈ ℂ)
11	10	2timesd 12511	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
12	9, 11	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (𝑅 +𝑒 𝑅) = (2 · 𝑅))
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ)
14		metcl 24343	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
15		2re 12341	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		2pos 12370	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
17	15, 16	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		lemuldiv2 12150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄) ↔ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2)))
19	17, 18	mp3an3 1451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄) ↔ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2)))
20	13, 14, 19	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄) ↔ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2)))
21	20	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2) → (2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄)))
22	21	impr 454	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄))
23	12, 22	eqbrtrd 5164	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (𝑅 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄))
24		bldisj 24409	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅)
25	3, 4, 5, 7, 7, 23, 24	syl33anc 1386	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3949  ∅c0 4332   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  0cc0 11156   + caddc 11159   · cmul 11161  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296   ≤ cle 11297   / cdiv 11921  2c2 12322   +_𝑒 cxad 13153  ∞Metcxmet 21350  Metcmet 21351  ballcbl 21352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-2 12330  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360

This theorem is referenced by: (None)