Theorem bl2in 23461

Description: Two balls are disjoint if they don't overlap. (Contributed by NM, 11-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bl2in	⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅)

Proof of Theorem bl2in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1189	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		metxmet 23395	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4		simpl2 1190	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
5		simpl3 1191	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑄 ∈ 𝑋)
6		rexr 10952	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
7	6	ad2antrl 724	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
8		simprl 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ)
9	8, 8	rexaddd 12897	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (𝑅 +𝑒 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
10	8	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑅 ∈ ℂ)
11	10	2timesd 12146	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
12	9, 11	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (𝑅 +𝑒 𝑅) = (2 · 𝑅))
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ)
14		metcl 23393	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
15		2re 11977	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		2pos 12006	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
17	15, 16	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		lemuldiv2 11786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄) ↔ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2)))
19	17, 18	mp3an3 1448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄) ↔ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2)))
20	13, 14, 19	syl2anr 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄) ↔ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2)))
21	20	biimprd 247	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2) → (2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄)))
22	21	impr 454	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄))
23	12, 22	eqbrtrd 5092	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (𝑅 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄))
24		bldisj 23459	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅)
25	3, 4, 5, 7, 7, 23, 24	syl33anc 1383	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  2c2 11958   +_𝑒 cxad 12775  ∞Metcxmet 20495  Metcmet 20496  ballcbl 20497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-2 11966  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505

This theorem is referenced by: (None)