MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bl2in Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bl2in 24250
Description: Two balls are disjoint if they don't overlap. (Contributed by NM, 11-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
bl2in (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑅)) = βˆ…)

Proof of Theorem bl2in
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 metxmet 24184 . . 3 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
31, 2syl 17 . 2 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4 simpl2 1189 . 2 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
5 simpl3 1190 . 2 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
6 rexr 11259 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
76ad2antrl 725 . 2 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
8 simprl 768 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
98, 8rexaddd 13214 . . . 4 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) β†’ (𝑅 +𝑒 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
108recnd 11241 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
11102timesd 12454 . . . 4 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) β†’ (2 Β· 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
129, 11eqtr4d 2767 . . 3 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) β†’ (𝑅 +𝑒 𝑅) = (2 Β· 𝑅))
13 id 22 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
14 metcl 24182 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
15 2re 12285 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
16 2pos 12314 . . . . . . . 8 0 < 2
1715, 16pm3.2i 470 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 lemuldiv2 12094 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((2 Β· 𝑅) ≀ (𝑃𝐷𝑄) ↔ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2)))
1917, 18mp3an3 1446 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) β†’ ((2 Β· 𝑅) ≀ (𝑃𝐷𝑄) ↔ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2)))
2013, 14, 19syl2anr 596 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((2 Β· 𝑅) ≀ (𝑃𝐷𝑄) ↔ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2)))
2120biimprd 247 . . . 4 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2) β†’ (2 Β· 𝑅) ≀ (𝑃𝐷𝑄)))
2221impr 454 . . 3 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) β†’ (2 Β· 𝑅) ≀ (𝑃𝐷𝑄))
2312, 22eqbrtrd 5161 . 2 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) β†’ (𝑅 +𝑒 𝑅) ≀ (𝑃𝐷𝑄))
24 bldisj 24248 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑅) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑅)) = βˆ…)
253, 4, 5, 7, 7, 23, 24syl33anc 1382 1 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑅)) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940  βˆ…c0 4315   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„cr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110   Β· cmul 11112  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   / cdiv 11870  2c2 12266   +𝑒 cxad 13091  βˆžMetcxmet 21219  Metcmet 21220  ballcbl 21221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator