Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riotaneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riotaneg 11669
 Description: The negative of the unique real such that 𝜑. (Contributed by NM, 13-Jun-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
riotaneg.1 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
riotaneg (∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem riotaneg
StepHypRef Expression
1 tru 1542 . 2
2 nfriota1 7121 . . . 4 𝑦(𝑦 ∈ ℝ 𝜓)
32nfneg 10933 . . 3 𝑦-(𝑦 ∈ ℝ 𝜓)
4 renegcl 11000 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
54adantl 485 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
6 simpr 488 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ)
76renegcld 11118 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ) → -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ)
8 riotaneg.1 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
9 negeq 10929 . . 3 (𝑦 = (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) → -𝑦 = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
10 renegcl 11000 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
11 recn 10678 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
12 recn 10678 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
13 negcon2 10990 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1411, 12, 13syl2an 598 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1510, 14reuhyp 5293 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
1615adantl 485 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃!𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
173, 5, 7, 8, 9, 16riotaxfrd 7148 . 2 ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
181, 17mpan 689 1 (∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111  ∃!wreu 3072  ℩crio 7113  ℂcc 10586  ℝcr 10587  -cneg 10922 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-ltxr 10731  df-sub 10923  df-neg 10924 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator