MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riotaneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riotaneg 12231
Description: The negative of the unique real such that 𝜑. (Contributed by NM, 13-Jun-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
riotaneg.1 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
riotaneg (∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem riotaneg
StepHypRef Expression
1 tru 1537 . 2
2 nfriota1 7389 . . . 4 𝑦(𝑦 ∈ ℝ 𝜓)
32nfneg 11494 . . 3 𝑦-(𝑦 ∈ ℝ 𝜓)
4 renegcl 11561 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
54adantl 480 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
6 simpr 483 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ)
76renegcld 11679 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ) → -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ)
8 riotaneg.1 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
9 negeq 11490 . . 3 (𝑦 = (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) → -𝑦 = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
10 renegcl 11561 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
11 recn 11236 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
12 recn 11236 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
13 negcon2 11551 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1411, 12, 13syl2an 594 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1510, 14reuhyp 5424 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
1615adantl 480 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃!𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
173, 5, 7, 8, 9, 16riotaxfrd 7417 . 2 ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
181, 17mpan 688 1 (∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  ∃!wreu 3372  crio 7381  cc 11144  cr 11145  -cneg 11483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator