Theorem riotaneg 12101

Description: The negative of the unique real such that 𝜑. (Contributed by NM, 13-Jun-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
riotaneg.1	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
riotaneg	⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem riotaneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1545	. 2 ⊢ ⊤
2		nfriota1 7310	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓)
3	2	nfneg 11356	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦-(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓)
4		renegcl 11424	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ) → (℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ)
7	6	renegcld 11544	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ) → -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ)
8		riotaneg.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
9		negeq 11352	. . 3 ⊢ (𝑦 = (℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓) → -𝑦 = -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
10		renegcl 11424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
11		recn 11096	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
12		recn 11096	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		negcon2 11414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
15	10, 14	reuhyp 5356	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃!𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
17	3, 5, 7, 8, 9, 16	riotaxfrd 7337	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑) → (℩𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
18	1, 17	mpan 690	1 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111  ∃!wreu 3344  ℩crio 7302  ℂcc 11004  ℝcr 11005  -cneg 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by: (None)