MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riotaneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riotaneg 12245
Description: The negative of the unique real such that 𝜑. (Contributed by NM, 13-Jun-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
riotaneg.1 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
riotaneg (∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem riotaneg
StepHypRef Expression
1 tru 1541 . 2
2 nfriota1 7395 . . . 4 𝑦(𝑦 ∈ ℝ 𝜓)
32nfneg 11502 . . 3 𝑦-(𝑦 ∈ ℝ 𝜓)
4 renegcl 11570 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
54adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
6 simpr 484 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ)
76renegcld 11688 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ) → -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ)
8 riotaneg.1 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
9 negeq 11498 . . 3 (𝑦 = (𝑦 ∈ ℝ 𝜓) → -𝑦 = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
10 renegcl 11570 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
11 recn 11243 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
12 recn 11243 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
13 negcon2 11560 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1411, 12, 13syl2an 596 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1510, 14reuhyp 5426 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
1615adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃!𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
173, 5, 7, 8, 9, 16riotaxfrd 7422 . 2 ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
181, 17mpan 690 1 (∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  ∃!wreu 3376  crio 7387  cc 11151  cr 11152  -cneg 11491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator