Theorem riotaneg 12336

Description: The negative of the unique real such that 𝜑. (Contributed by NM, 13-Jun-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
riotaneg.1	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
riotaneg	⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem riotaneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1574	. 2 ⊢ ⊤
2		nfriota1 7415	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓)
3	2	nfneg 11592	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦 -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓)
4		renegcl 11660	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
6		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ) → (℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ)
7	6	renegcld 11782	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ) → -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ)
8		riotaneg.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
9		negeq 11588	. . 3 ⊢ (𝑦 = (℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓) → -𝑦 = -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
10		renegcl 11660	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
11		recn 11329	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
12		recn 11329	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		negcon2 11650	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
14	11, 12, 13	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
15	10, 14	reuhyp 5389	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
16	15	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃!𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
17	3, 5, 7, 8, 9, 16	riotaxfrd 7442	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑) → (℩𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
18	1, 17	mpan 703	1 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  ∃!wreu 3367  ℩crio 7407  ℂcc 11237  ℝcr 11238   -cneg 11581

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by: (None)