Theorem riotaneg 12182

Description: The negative of the unique real such that 𝜑. (Contributed by NM, 13-Jun-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
riotaneg.1	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
riotaneg	⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem riotaneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1567	. 2 ⊢ ⊤
2		nfriota1 7364	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓)
3	2	nfneg 11441	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦-(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓)
4		renegcl 11509	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
5	4	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
6		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ) → (℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ)
7	6	renegcld 11629	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ) → -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓) ∈ ℝ)
8		riotaneg.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
9		negeq 11437	. . 3 ⊢ (𝑦 = (℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓) → -𝑦 = -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
10		renegcl 11509	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
11		recn 11178	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
12		recn 11178	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		negcon2 11499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
14	11, 12, 13	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
15	10, 14	reuhyp 5381	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
16	15	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃!𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
17	3, 5, 7, 8, 9, 16	riotaxfrd 7391	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑) → (℩𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓))
18	1, 17	mpan 702	1 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℝ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℝ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563  ⊤wtru 1564   ∈ wcel 2145  ∃!wreu 3368  ℩crio 7356  ℂcc 11086  ℝcr 11087  -cneg 11430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431  df-neg 11432

This theorem is referenced by: (None)