MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemb 27100
Description: Lemma for pnt 27117. Unpack all the lower bounds contained in ๐‘Š, in the form they will be used. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, ๐‘ is x. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntlem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntlem1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntlem1.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
pntlem1.d ๐ท = (๐ด + 1)
pntlem1.f ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
pntlem1.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
pntlem1.u2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
pntlem1.e ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
pntlem1.k ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
pntlem1.y (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
pntlem1.x (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
pntlem1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
pntlem1.w ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
pntlem1.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž))
Assertion
Ref Expression
pntlemb (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘ โˆง e โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ)) โˆง ((4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โˆง ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท ((๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) / (32 ยท ๐ต))) ยท (logโ€˜๐‘)))))
Distinct variable group:   ๐ธ,๐‘Ž
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘Ž)   ๐ด(๐‘Ž)   ๐ต(๐‘Ž)   ๐ถ(๐‘Ž)   ๐ท(๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐‘ˆ(๐‘Ž)   ๐น(๐‘Ž)   ๐พ(๐‘Ž)   ๐ฟ(๐‘Ž)   ๐‘Š(๐‘Ž)   ๐‘‹(๐‘Ž)   ๐‘Œ(๐‘Ž)   ๐‘(๐‘Ž)

Proof of Theorem pntlemb
StepHypRef Expression
1 pntlem1.z . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž))
2 pntlem1.r . . . . . . . 8 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
3 pntlem1.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
4 pntlem1.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
5 pntlem1.l . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
6 pntlem1.d . . . . . . . 8 ๐ท = (๐ด + 1)
7 pntlem1.f . . . . . . . 8 ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
8 pntlem1.u . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
9 pntlem1.u2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
10 pntlem1.e . . . . . . . 8 ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
11 pntlem1.k . . . . . . . 8 ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
12 pntlem1.y . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
13 pntlem1.x . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
14 pntlem1.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
15 pntlem1.w . . . . . . . 8 ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15pntlema 27099 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„+)
1716rpred 13016 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„)
18 pnfxr 11268 . . . . . 6 +โˆž โˆˆ โ„*
19 elico2 13388 . . . . . 6 ((๐‘Š โˆˆ โ„ โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Š โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ < +โˆž)))
2017, 18, 19sylancl 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Š โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ < +โˆž)))
211, 20mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Š โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ < +โˆž))
2221simp1d 1143 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2321simp2d 1144 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โ‰ค ๐‘)
2422, 16, 23rpgecld 13055 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
25 1re 11214 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
2625a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
27 ere 16032 . . . . . . 7 e โˆˆ โ„
2827a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ e โˆˆ โ„)
2924rpsqrtcld 15358 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
3029rpred 13016 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
31 1lt2 12383 . . . . . . . 8 1 < 2
32 egt2lt3 16149 . . . . . . . . 9 (2 < e โˆง e < 3)
3332simpli 485 . . . . . . . 8 2 < e
34 2re 12286 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
3525, 34, 27lttri 11340 . . . . . . . 8 ((1 < 2 โˆง 2 < e) โ†’ 1 < e)
3631, 33, 35mp2an 691 . . . . . . 7 1 < e
3736a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 < e)
38 4re 12296 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„
3938a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
4032simpri 487 . . . . . . . . 9 e < 3
41 3lt4 12386 . . . . . . . . 9 3 < 4
42 3re 12292 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„
4327, 42, 38lttri 11340 . . . . . . . . 9 ((e < 3 โˆง 3 < 4) โ†’ e < 4)
4440, 41, 43mp2an 691 . . . . . . . 8 e < 4
4544a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ e < 4)
46 4nn 12295 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„•
47 nnrp 12985 . . . . . . . . . . 11 (4 โˆˆ โ„• โ†’ 4 โˆˆ โ„+)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„+
492, 3, 4, 5, 6, 7pntlemd 27097 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง ๐น โˆˆ โ„+))
5049simp1d 1143 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„+)
512, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11pntlemc 27098 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„+ โˆง ๐พ โˆˆ โ„+ โˆง (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+)))
5251simp1d 1143 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
5350, 52rpmulcld 13032 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ ยท ๐ธ) โˆˆ โ„+)
54 rpdivcl 12999 . . . . . . . . . 10 ((4 โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ ยท ๐ธ) โˆˆ โ„+) โ†’ (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) โˆˆ โ„+)
5548, 53, 54sylancr 588 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) โˆˆ โ„+)
5655rpred 13016 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) โˆˆ โ„)
5753rpred 13016 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
5852rpred 13016 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
5950rpred 13016 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
60 eliooord 13383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ฟ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (0 < ๐ฟ โˆง ๐ฟ < 1))
615, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ฟ โˆง ๐ฟ < 1))
6261simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ < 1)
6359, 26, 52, 62ltmul1dd 13071 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ ยท ๐ธ) < (1 ยท ๐ธ))
6452rpcnd 13018 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
6564mullidd 11232 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ธ) = ๐ธ)
6663, 65breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ ยท ๐ธ) < ๐ธ)
6751simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+))
6867simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (0(,)1))
69 eliooord 13383 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (0 < ๐ธ โˆง ๐ธ < 1))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ธ โˆง ๐ธ < 1))
7170simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ < 1)
7257, 58, 26, 66, 71lttrd 11375 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ ยท ๐ธ) < 1)
73 4pos 12319 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 4
7439, 73jctir 522 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4))
75 ltmul2 12065 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ฟ ยท ๐ธ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4)) โ†’ ((๐ฟ ยท ๐ธ) < 1 โ†” (4 ยท (๐ฟ ยท ๐ธ)) < (4 ยท 1)))
7657, 26, 74, 75syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฟ ยท ๐ธ) < 1 โ†” (4 ยท (๐ฟ ยท ๐ธ)) < (4 ยท 1)))
7772, 76mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (๐ฟ ยท ๐ธ)) < (4 ยท 1))
78 4cn 12297 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„‚
7978mulridi 11218 . . . . . . . . . 10 (4 ยท 1) = 4
8077, 79breqtrdi 5190 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (๐ฟ ยท ๐ธ)) < 4)
8139, 39, 53ltmuldivd 13063 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((4 ยท (๐ฟ ยท ๐ธ)) < 4 โ†” 4 < (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ))))
8280, 81mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 4 < (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))
8312simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„+)
8483, 55rpaddcld 13031 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ))) โˆˆ โ„+)
8584rpred 13016 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ))) โˆˆ โ„)
8656, 83ltaddrp2d 13050 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) < (๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ))))
8785resqcld 14090 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) โˆˆ โ„)
8813simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
8951simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„+)
90 2z 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„ค
91 rpexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐พ โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„+)
9289, 90, 91sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„+)
9388, 92rpmulcld 13032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„+)
94 4z 12596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 โˆˆ โ„ค
95 rpexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„+ โˆง 4 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) โˆˆ โ„+)
9693, 94, 95sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) โˆˆ โ„+)
97 3nn0 12490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 โˆˆ โ„•0
98 2nn 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 โˆˆ โ„•
9997, 98decnncl 12697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 32 โˆˆ โ„•
100 nnrp 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (32 โˆˆ โ„• โ†’ 32 โˆˆ โ„+)
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 32 โˆˆ โ„+
102 rpmulcl 12997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((32 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
103101, 4, 102sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
10467simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+)
105 rpexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ธ โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„+)
10652, 90, 105sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„+)
10750, 106rpmulcld 13032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) โˆˆ โ„+)
108104, 107rpmulcld 13032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) โˆˆ โ„+)
109103, 108rpdivcld 13033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) โˆˆ โ„+)
110 3rp 12980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 โˆˆ โ„+
111 rpmulcl 12997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ˆ โˆˆ โ„+ โˆง 3 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ˆ ยท 3) โˆˆ โ„+)
1128, 110, 111sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ ยท 3) โˆˆ โ„+)
113112, 14rpaddcld 13031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โˆˆ โ„+)
114109, 113rpmulcld 13032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)) โˆˆ โ„+)
115114rpred 13016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)) โˆˆ โ„)
116115rpefcld 16048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ))) โˆˆ โ„+)
11796, 116rpaddcld 13031 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))) โˆˆ โ„+)
11887, 117ltaddrpd 13049 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) < (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ))))))
119118, 15breqtrrdi 5191 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) < ๐‘Š)
12087, 17, 22, 119, 23ltletrd 11374 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) < ๐‘)
12124rprege0d 13023 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘))
122 resqrtth 15202 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘)โ†‘2) = ๐‘)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘)โ†‘2) = ๐‘)
124120, 123breqtrrd 5177 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) < ((โˆšโ€˜๐‘)โ†‘2))
12584rprege0d 13023 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))))
12629rprege0d 13023 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘)))
127 lt2sq 14098 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))) โˆง ((โˆšโ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ))) < (โˆšโ€˜๐‘) โ†” ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) < ((โˆšโ€˜๐‘)โ†‘2)))
128125, 126, 127syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ))) < (โˆšโ€˜๐‘) โ†” ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) < ((โˆšโ€˜๐‘)โ†‘2)))
129124, 128mpbird 257 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ))) < (โˆšโ€˜๐‘))
13056, 85, 30, 86, 129lttrd 11375 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) < (โˆšโ€˜๐‘))
13139, 56, 30, 82, 130lttrd 11375 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 4 < (โˆšโ€˜๐‘))
13228, 39, 30, 45, 131lttrd 11375 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ e < (โˆšโ€˜๐‘))
13326, 28, 30, 37, 132lttrd 11375 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 < (โˆšโ€˜๐‘))
134 0le1 11737 . . . . . . 7 0 โ‰ค 1
135134a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
136 lt2sq 14098 . . . . . 6 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ((โˆšโ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘))) โ†’ (1 < (โˆšโ€˜๐‘) โ†” (1โ†‘2) < ((โˆšโ€˜๐‘)โ†‘2)))
13726, 135, 126, 136syl21anc 837 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 < (โˆšโ€˜๐‘) โ†” (1โ†‘2) < ((โˆšโ€˜๐‘)โ†‘2)))
138133, 137mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘2) < ((โˆšโ€˜๐‘)โ†‘2))
139 sq1 14159 . . . . 5 (1โ†‘2) = 1
140139a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘2) = 1)
141138, 140, 1233brtr3d 5180 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐‘)
14228, 30, 132ltled 11362 . . 3 (๐œ‘ โ†’ e โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘))
14322, 83rerpdivcld 13047 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
14483rpred 13016 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
145144, 55ltaddrpd 13049 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ < (๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ))))
146144, 85, 30, 145, 129lttrd 11375 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ < (โˆšโ€˜๐‘))
147144, 30, 29, 146ltmul2dd 13072 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘) ยท ๐‘Œ) < ((โˆšโ€˜๐‘) ยท (โˆšโ€˜๐‘)))
148 remsqsqrt 15203 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘) ยท (โˆšโ€˜๐‘)) = ๐‘)
149121, 148syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘) ยท (โˆšโ€˜๐‘)) = ๐‘)
150147, 149breqtrd 5175 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘) ยท ๐‘Œ) < ๐‘)
15130, 22, 83ltmuldivd 13063 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘) ยท ๐‘Œ) < ๐‘ โ†” (โˆšโ€˜๐‘) < (๐‘ / ๐‘Œ)))
152150, 151mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) < (๐‘ / ๐‘Œ))
15330, 143, 152ltled 11362 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ))
154141, 142, 1533jca 1129 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐‘ โˆง e โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ)))
15556, 30, 130ltled 11362 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘))
15688relogcld 26131 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
15789rpred 13016 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
15867simp2d 1144 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐พ)
159157, 158rplogcld 26137 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐พ) โˆˆ โ„+)
160156, 159rerpdivcld 13047 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„)
161 readdcl 11193 . . . . 5 ((((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„) โ†’ (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2) โˆˆ โ„)
162160, 34, 161sylancl 587 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2) โˆˆ โ„)
16324relogcld 26131 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
164163, 159rerpdivcld 13047 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„)
165 nndivre 12253 . . . . 5 ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„•) โ†’ (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โˆˆ โ„)
166164, 46, 165sylancl 587 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โˆˆ โ„)
16793relogcld 26131 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))) โˆˆ โ„)
168 nndivre 12253 . . . . . . 7 (((logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / 4) โˆˆ โ„)
169163, 46, 168sylancl 587 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘) / 4) โˆˆ โ„)
170 relogexp 26104 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„+ โˆง 4 โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4)) = (4 ยท (logโ€˜(๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2)))))
17193, 94, 170sylancl 587 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4)) = (4 ยท (logโ€˜(๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2)))))
17296rpred 13016 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) โˆˆ โ„)
173117rpred 13016 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))) โˆˆ โ„)
174172, 116ltaddrpd 13049 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) < (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
175 rpexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ))) โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
17684, 90, 175sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
177173, 176ltaddrpd 13049 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))) < ((((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))) + ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2)))
17887recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
179117rpcnd 13018 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))) โˆˆ โ„‚)
180178, 179addcomd 11416 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ))))) = ((((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))) + ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2)))
18115, 180eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š = ((((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))) + ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2)))
182177, 181breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))) < ๐‘Š)
183173, 17, 22, 182, 23ltletrd 11374 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))) < ๐‘)
184172, 173, 22, 174, 183lttrd 11375 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) < ๐‘)
185 logltb 26108 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) < ๐‘ โ†” (logโ€˜((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4)) < (logโ€˜๐‘)))
18696, 24, 185syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) < ๐‘ โ†” (logโ€˜((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4)) < (logโ€˜๐‘)))
187184, 186mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4)) < (logโ€˜๐‘))
188171, 187eqbrtrrd 5173 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (logโ€˜(๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2)))) < (logโ€˜๐‘))
189 ltmuldiv2 12088 . . . . . . . 8 (((logโ€˜(๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4)) โ†’ ((4 ยท (logโ€˜(๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2)))) < (logโ€˜๐‘) โ†” (logโ€˜(๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))) < ((logโ€˜๐‘) / 4)))
190167, 163, 74, 189syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((4 ยท (logโ€˜(๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2)))) < (logโ€˜๐‘) โ†” (logโ€˜(๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))) < ((logโ€˜๐‘) / 4)))
191188, 190mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))) < ((logโ€˜๐‘) / 4))
192167, 169, 159, 191ltdiv1dd 13073 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜(๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))) / (logโ€˜๐พ)) < (((logโ€˜๐‘) / 4) / (logโ€˜๐พ)))
19388, 92relogmuld 26133 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))) = ((logโ€˜๐‘‹) + (logโ€˜(๐พโ†‘2))))
194 relogexp 26104 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜(๐พโ†‘2)) = (2 ยท (logโ€˜๐พ)))
19589, 90, 194sylancl 587 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐พโ†‘2)) = (2 ยท (logโ€˜๐พ)))
196195oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘‹) + (logโ€˜(๐พโ†‘2))) = ((logโ€˜๐‘‹) + (2 ยท (logโ€˜๐พ))))
197193, 196eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))) = ((logโ€˜๐‘‹) + (2 ยท (logโ€˜๐พ))))
198197oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜(๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))) / (logโ€˜๐พ)) = (((logโ€˜๐‘‹) + (2 ยท (logโ€˜๐พ))) / (logโ€˜๐พ)))
199156recnd 11242 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
200 2cnd 12290 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
201159rpcnd 13018 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
202200, 201mulcld 11234 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚)
203159rpcnne0d 13025 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐พ) โ‰  0))
204 divdir 11897 . . . . . . 7 (((logโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((logโ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐พ) โ‰  0)) โ†’ (((logโ€˜๐‘‹) + (2 ยท (logโ€˜๐พ))) / (logโ€˜๐พ)) = (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + ((2 ยท (logโ€˜๐พ)) / (logโ€˜๐พ))))
205199, 202, 203, 204syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘‹) + (2 ยท (logโ€˜๐พ))) / (logโ€˜๐พ)) = (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + ((2 ยท (logโ€˜๐พ)) / (logโ€˜๐พ))))
206203simprd 497 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐พ) โ‰  0)
207200, 201, 206divcan4d 11996 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (logโ€˜๐พ)) / (logโ€˜๐พ)) = 2)
208207oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + ((2 ยท (logโ€˜๐พ)) / (logโ€˜๐พ))) = (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2))
209198, 205, 2083eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜(๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))) / (logโ€˜๐พ)) = (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2))
210163recnd 11242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
211 rpcnne0 12992 . . . . . . 7 (4 โˆˆ โ„+ โ†’ (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0))
21248, 211mp1i 13 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0))
213 divdiv32 11922 . . . . . 6 (((logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0) โˆง ((logโ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐พ) โ‰  0)) โ†’ (((logโ€˜๐‘) / 4) / (logโ€˜๐พ)) = (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4))
214210, 212, 203, 213syl3anc 1372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) / 4) / (logโ€˜๐พ)) = (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4))
215192, 209, 2143brtr3d 5180 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2) < (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4))
216162, 166, 215ltled 11362 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4))
217113rpred 13016 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โˆˆ โ„)
218108, 103rpdivcld 13033 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) / (32 ยท ๐ต)) โˆˆ โ„+)
219218rpred 13016 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) / (32 ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
220219, 163remulcld 11244 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) / (32 ยท ๐ต)) ยท (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
221113rpcnd 13018 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
222108rpcnne0d 13025 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) โ‰  0))
223103rpcnne0d 13025 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (32 ยท ๐ต) โ‰  0))
224 divdiv2 11926 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) โ‰  0) โˆง ((32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (32 ยท ๐ต) โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) / (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) / (32 ยท ๐ต))) = ((((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) ยท (32 ยท ๐ต)) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))))
225221, 222, 223, 224syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) / (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) / (32 ยท ๐ต))) = ((((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) ยท (32 ยท ๐ต)) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))))
226103rpcnd 13018 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
227221, 226mulcomd 11235 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) ยท (32 ยท ๐ต)) = ((32 ยท ๐ต) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))
228227oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) ยท (32 ยท ๐ต)) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) = (((32 ยท ๐ต) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))))
229 div23 11891 . . . . . . . . 9 (((32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) โ‰  0)) โ†’ (((32 ยท ๐ต) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) = (((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))
230226, 221, 222, 229syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((32 ยท ๐ต) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) = (((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))
231225, 228, 2303eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) / (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) / (32 ยท ๐ต))) = (((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))
232115reefcld 16031 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ))) โˆˆ โ„)
233232, 96ltaddrp2d 13050 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ))) < (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
234232, 173, 22, 233, 183lttrd 11375 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ))) < ๐‘)
23524reeflogd 26132 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐‘)) = ๐‘)
236234, 235breqtrrd 5177 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ))) < (expโ€˜(logโ€˜๐‘)))
237 eflt 16060 . . . . . . . . 9 (((((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)) < (logโ€˜๐‘) โ†” (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ))) < (expโ€˜(logโ€˜๐‘))))
238115, 163, 237syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)) < (logโ€˜๐‘) โ†” (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ))) < (expโ€˜(logโ€˜๐‘))))
239236, 238mpbird 257 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)) < (logโ€˜๐‘))
240231, 239eqbrtrd 5171 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) / (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) / (32 ยท ๐ต))) < (logโ€˜๐‘))
241217, 163, 218ltdivmuld 13067 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) / (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) / (32 ยท ๐ต))) < (logโ€˜๐‘) โ†” ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) < ((((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) / (32 ยท ๐ต)) ยท (logโ€˜๐‘))))
242240, 241mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) < ((((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) / (32 ยท ๐ต)) ยท (logโ€˜๐‘)))
243217, 220, 242ltled 11362 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โ‰ค ((((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) / (32 ยท ๐ต)) ยท (logโ€˜๐‘)))
244104rpcnd 13018 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
245107rpcnd 13018 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
246 divass 11890 . . . . . 6 (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (32 ยท ๐ต) โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) / (32 ยท ๐ต)) = ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท ((๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) / (32 ยท ๐ต))))
247244, 245, 223, 246syl3anc 1372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) / (32 ยท ๐ต)) = ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท ((๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) / (32 ยท ๐ต))))
248247oveq1d 7424 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) / (32 ยท ๐ต)) ยท (logโ€˜๐‘)) = (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท ((๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) / (32 ยท ๐ต))) ยท (logโ€˜๐‘)))
249243, 248breqtrd 5175 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท ((๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) / (32 ยท ๐ต))) ยท (logโ€˜๐‘)))
250155, 216, 2493jca 1129 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โˆง ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท ((๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) / (32 ยท ๐ต))) ยท (logโ€˜๐‘))))
25124, 154, 2503jca 1129 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘ โˆง e โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ)) โˆง ((4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โˆง ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท ((๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) / (32 ยท ๐ต))) ยท (logโ€˜๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  +โˆžcpnf 11245  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  โ„คcz 12558  cdc 12677  โ„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  โ†‘cexp 14027  โˆšcsqrt 15180  expce 16005  eceu 16006  logclog 26063  ฯˆcchp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065
This theorem is referenced by:  pntlemg  27101  pntlemh  27102  pntlemn  27103  pntlemq  27104  pntlemr  27105  pntlemj  27106  pntlemf  27108  pntlemk  27109  pntlemo  27110
  Copyright terms: Public domain W3C validator