MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemb 25591
Description: Lemma for pnt 25608. Unpack all the lower bounds contained in 𝑊, in the form they will be used. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑍 is x. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
pntlemb (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemb
StepHypRef Expression
1 pntlem1.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
2 pntlem1.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
3 pntlem1.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5 pntlem1.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
6 pntlem1.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐴 + 1)
7 pntlem1.f . . . . . . . 8 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
8 pntlem1.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
9 pntlem1.u2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐴)
10 pntlem1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
11 pntlem1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
12 pntlem1.y . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
13 pntlem1.x . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
14 pntlem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
15 pntlem1.w . . . . . . . 8 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15pntlema 25590 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
1716rpred 12075 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
18 pnfxr 10350 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
19 elico2 12444 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑊𝑍𝑍 < +∞)))
2017, 18, 19sylancl 580 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑊𝑍𝑍 < +∞)))
211, 20mpbid 223 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑊𝑍𝑍 < +∞))
2221simp1d 1172 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
2321simp2d 1173 . . 3 (𝜑𝑊𝑍)
2422, 16, 23rpgecld 12114 . 2 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
25 1re 10297 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
27 ere 15115 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → e ∈ ℝ)
2924rpsqrtcld 14449 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
3029rpred 12075 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ)
31 1lt2 11453 . . . . . . . 8 1 < 2
32 egt2lt3 15230 . . . . . . . . 9 (2 < e ∧ e < 3)
3332simpli 476 . . . . . . . 8 2 < e
34 2re 11350 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
3525, 34, 27lttri 10421 . . . . . . . 8 ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
3631, 33, 35mp2an 683 . . . . . . 7 1 < e
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < e)
38 4re 11361 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
4032simpri 479 . . . . . . . . 9 e < 3
41 3lt4 11456 . . . . . . . . 9 3 < 4
42 3re 11356 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
4327, 42, 38lttri 10421 . . . . . . . . 9 ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
4440, 41, 43mp2an 683 . . . . . . . 8 e < 4
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → e < 4)
46 4nn 11360 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ
47 nnrp 12046 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
492, 3, 4, 5, 6, 7pntlemd 25588 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
5049simp1d 1172 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
512, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11pntlemc 25589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
5251simp1d 1172 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
5350, 52rpmulcld 12091 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
54 rpdivcl 12059 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
5548, 53, 54sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
5655rpred 12075 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
5753rpred 12075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
5852rpred 12075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
5950rpred 12075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
60 eliooord 12440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
615, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
6261simprd 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 < 1)
6359, 26, 52, 62ltmul1dd 12130 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < (1 · 𝐸))
6452rpcnd 12077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
6564mulid2d 10316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
6663, 65breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 𝐸)
6751simp3d 1174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
6867simp1d 1172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
69 eliooord 12440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
7170simprd 489 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 < 1)
7257, 58, 26, 66, 71lttrd 10456 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 1)
73 4pos 11390 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 4
7439, 73jctir 516 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
75 ltmul2 11132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((𝐿 · 𝐸) < 1 ↔ (4 · (𝐿 · 𝐸)) < (4 · 1)))
7657, 26, 74, 75syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) < 1 ↔ (4 · (𝐿 · 𝐸)) < (4 · 1)))
7772, 76mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · (𝐿 · 𝐸)) < (4 · 1))
78 4cn 11362 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
7978mulid1i 10302 . . . . . . . . . 10 (4 · 1) = 4
8077, 79syl6breq 4852 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · (𝐿 · 𝐸)) < 4)
8139, 39, 53ltmuldivd 12122 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4 · (𝐿 · 𝐸)) < 4 ↔ 4 < (4 / (𝐿 · 𝐸))))
8280, 81mpbid 223 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 < (4 / (𝐿 · 𝐸)))
8312simpld 488 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
8483, 55rpaddcld 12090 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+)
8584rpred 12075 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ)
8656, 83ltaddrp2d 12109 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) < (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))))
8785resqcld 13247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ)
8813simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
8951simp2d 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
90 2z 11661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
91 rpexpcl 13091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
9289, 90, 91sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
9388, 92rpmulcld 12091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+)
94 4z 11663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℤ
95 rpexpcl 13091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
9693, 94, 95sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
97 3nn0 11562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℕ0
98 2nn 11349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ
9997, 98decnncl 11766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 32 ∈ ℕ
100 nnrp 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (32 ∈ ℕ → 32 ∈ ℝ+)
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 32 ∈ ℝ+
102 rpmulcl 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((32 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
103101, 4, 102sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
10467simp3d 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
105 rpexpcl 13091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
10652, 90, 105sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
10750, 106rpmulcld 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ+)
108104, 107rpmulcld 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℝ+)
109103, 108rpdivcld 12092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) ∈ ℝ+)
110 3nn 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 ∈ ℕ
111 nnrp 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ ℝ+
113 rpmulcl 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
1148, 112, 113sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
115114, 14rpaddcld 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ+)
116109, 115rpmulcld 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ+)
117116rpred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ)
118117rpefcld 15131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ+)
11996, 118rpaddcld 12090 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ+)
12087, 119ltaddrpd 12108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))))
121120, 15syl6breqr 4853 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < 𝑊)
12287, 17, 22, 121, 23ltletrd 10455 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < 𝑍)
12324rprege0d 12082 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
124 resqrtth 14295 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
126122, 125breqtrrd 4839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < ((√‘𝑍)↑2))
12784rprege0d 12082 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))))
12829rprege0d 12082 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
129 lt2sq 13149 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) < (√‘𝑍) ↔ ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
130127, 128, 129syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) < (√‘𝑍) ↔ ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
131126, 130mpbird 248 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) < (√‘𝑍))
13256, 85, 30, 86, 131lttrd 10456 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) < (√‘𝑍))
13339, 56, 30, 82, 132lttrd 10456 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 < (√‘𝑍))
13428, 39, 30, 45, 133lttrd 10456 . . . . . 6 (𝜑 → e < (√‘𝑍))
13526, 28, 30, 37, 134lttrd 10456 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (√‘𝑍))
136 0le1 10809 . . . . . . 7 0 ≤ 1
137136a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 1)
138 lt2sq 13149 . . . . . 6 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → (1 < (√‘𝑍) ↔ (1↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
13926, 137, 128, 138syl21anc 866 . . . . 5 (𝜑 → (1 < (√‘𝑍) ↔ (1↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
140135, 139mpbid 223 . . . 4 (𝜑 → (1↑2) < ((√‘𝑍)↑2))
141 sq1 13170 . . . . 5 (1↑2) = 1
142141a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1↑2) = 1)
143140, 142, 1253brtr3d 4842 . . 3 (𝜑 → 1 < 𝑍)
14428, 30, 134ltled 10443 . . 3 (𝜑 → e ≤ (√‘𝑍))
14522, 83rerpdivcld 12106 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
14683rpred 12075 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
147146, 55ltaddrpd 12108 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 < (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))))
148146, 85, 30, 147, 131lttrd 10456 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 < (√‘𝑍))
149146, 30, 29, 148ltmul2dd 12131 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘𝑍) · 𝑌) < ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)))
150 remsqsqrt 14296 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
151123, 150syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
152149, 151breqtrd 4837 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘𝑍) · 𝑌) < 𝑍)
15330, 22, 83ltmuldivd 12122 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘𝑍) · 𝑌) < 𝑍 ↔ (√‘𝑍) < (𝑍 / 𝑌)))
154152, 153mpbid 223 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑍) < (𝑍 / 𝑌))
15530, 145, 154ltled 10443 . . 3 (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌))
156143, 144, 1553jca 1158 . 2 (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
15756, 30, 132ltled 10443 . . 3 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍))
15888relogcld 24674 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
15989rpred 12075 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
16067simp2d 1173 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝐾)
161159, 160rplogcld 24680 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
162158, 161rerpdivcld 12106 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
163 readdcl 10276 . . . . 5 ((((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ∈ ℝ)
164162, 34, 163sylancl 580 . . . 4 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ∈ ℝ)
16524relogcld 24674 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
166165, 161rerpdivcld 12106 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
167 nndivre 11317 . . . . 5 ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
168166, 46, 167sylancl 580 . . . 4 (𝜑 → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
16993relogcld 24674 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) ∈ ℝ)
170 nndivre 11317 . . . . . . 7 (((log‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((log‘𝑍) / 4) ∈ ℝ)
171165, 46, 170sylancl 580 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑍) / 4) ∈ ℝ)
172 relogexp 24647 . . . . . . . . 9 (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) = (4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))))
17393, 94, 172sylancl 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) = (4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))))
17496rpred 12075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ)
175119rpred 12075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ)
176174, 118ltaddrpd 12108 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
177 rpexpcl 13091 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
17884, 90, 177sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
179175, 178ltaddrpd 12108 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) < ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) + ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2)))
18087recnd 10326 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℂ)
181119rpcnd 12077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℂ)
182180, 181addcomd 10496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))) = ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) + ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2)))
18315, 182syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 = ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) + ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2)))
184179, 183breqtrrd 4839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) < 𝑊)
185175, 17, 22, 184, 23ltletrd 10455 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) < 𝑍)
186174, 175, 22, 176, 185lttrd 10456 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < 𝑍)
187 logltb 24651 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+𝑍 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < 𝑍 ↔ (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) < (log‘𝑍)))
18896, 24, 187syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < 𝑍 ↔ (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) < (log‘𝑍)))
189186, 188mpbid 223 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) < (log‘𝑍))
190173, 189eqbrtrrd 4835 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))) < (log‘𝑍))
191 ltmuldiv2 11155 . . . . . . . 8 (((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))) < (log‘𝑍) ↔ (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) < ((log‘𝑍) / 4)))
192169, 165, 74, 191syl3anc 1490 . . . . . . 7 (𝜑 → ((4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))) < (log‘𝑍) ↔ (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) < ((log‘𝑍) / 4)))
193190, 192mpbid 223 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) < ((log‘𝑍) / 4))
194169, 171, 161, 193ltdiv1dd 12132 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) / (log‘𝐾)) < (((log‘𝑍) / 4) / (log‘𝐾)))
19588, 92relogmuld 24676 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) = ((log‘𝑋) + (log‘(𝐾↑2))))
196 relogexp 24647 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(𝐾↑2)) = (2 · (log‘𝐾)))
19789, 90, 196sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(𝐾↑2)) = (2 · (log‘𝐾)))
198197oveq2d 6862 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝑋) + (log‘(𝐾↑2))) = ((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))))
199195, 198eqtrd 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) = ((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))))
200199oveq1d 6861 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))) / (log‘𝐾)))
201158recnd 10326 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
202 2cnd 11354 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
203161rpcnd 12077 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
204202, 203mulcld 10318 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (log‘𝐾)) ∈ ℂ)
205161rpcnne0d 12084 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝐾) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐾) ≠ 0))
206 divdir 10968 . . . . . . 7 (((log‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (2 · (log‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((log‘𝐾) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐾) ≠ 0)) → (((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾))))
207201, 204, 205, 206syl3anc 1490 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾))))
208205simprd 489 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ≠ 0)
209202, 203, 208divcan4d 11065 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾)) = 2)
210209oveq2d 6862 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾))) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2))
211200, 207, 2103eqtrd 2803 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2))
212165recnd 10326 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℂ)
213 rpcnne0 12053 . . . . . . 7 (4 ∈ ℝ+ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
21448, 213mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
215 divdiv32 10991 . . . . . 6 (((log‘𝑍) ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) ∧ ((log‘𝐾) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐾) ≠ 0)) → (((log‘𝑍) / 4) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
216212, 214, 205, 215syl3anc 1490 . . . . 5 (𝜑 → (((log‘𝑍) / 4) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
217194, 211, 2163brtr3d 4842 . . . 4 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) < (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
218164, 168, 217ltled 10443 . . 3 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
219115rpred 12075 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ)
220108, 103rpdivcld 12092 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
221220rpred 12075 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) ∈ ℝ)
222221, 165remulcld 10328 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ)
223115rpcnd 12077 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℂ)
224108rpcnne0d 12084 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ≠ 0))
225103rpcnne0d 12084 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (32 · 𝐵) ≠ 0))
226 divdiv2 10995 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ≠ 0) ∧ ((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (32 · 𝐵) ≠ 0)) → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) = ((((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))))
227223, 224, 225, 226syl3anc 1490 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) = ((((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))))
228103rpcnd 12077 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℂ)
229223, 228mulcomd 10319 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) = ((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
230229oveq1d 6861 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) = (((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))))
231 div23 10962 . . . . . . . . 9 (((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ≠ 0)) → (((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) = (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
232228, 223, 224, 231syl3anc 1490 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) = (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
233227, 230, 2323eqtrd 2803 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) = (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
234117reefcld 15114 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ)
235234, 96ltaddrp2d 12109 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
236234, 175, 22, 235, 185lttrd 10456 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < 𝑍)
23724reeflogd 24675 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(log‘𝑍)) = 𝑍)
238236, 237breqtrrd 4839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (exp‘(log‘𝑍)))
239 eflt 15143 . . . . . . . . 9 (((((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℝ) → ((((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) < (log‘𝑍) ↔ (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (exp‘(log‘𝑍))))
240117, 165, 239syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) < (log‘𝑍) ↔ (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (exp‘(log‘𝑍))))
241238, 240mpbird 248 . . . . . . 7 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) < (log‘𝑍))
242233, 241eqbrtrd 4833 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) < (log‘𝑍))
243219, 165, 220ltdivmuld 12126 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) < (log‘𝑍) ↔ ((𝑈 · 3) + 𝐶) < ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍))))
244242, 243mpbid 223 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) < ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)))
245219, 222, 244ltled 10443 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)))
246104rpcnd 12077 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℂ)
247107rpcnd 12077 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℂ)
248 divass 10961 . . . . . 6 (((𝑈𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℂ ∧ ((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (32 · 𝐵) ≠ 0)) → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) = ((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))))
249246, 247, 225, 248syl3anc 1490 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) = ((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))))
250249oveq1d 6861 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)) = (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))
251245, 250breqtrd 4837 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))
252157, 218, 2513jca 1158 . 2 (𝜑 → ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))
25324, 156, 2523jca 1158 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4811  cmpt 4890  cfv 6070  (class class class)co 6846  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198  +∞cpnf 10329  *cxr 10331   < clt 10332  cle 10333  cmin 10524   / cdiv 10942  cn 11278  2c2 11331  3c3 11332  4c4 11333  cz 11628  cdc 11745  +crp 12033  (,)cioo 12382  [,)cico 12384  cexp 13072  csqrt 14272  expce 15088  eceu 15089  logclog 24606  ψcchp 25124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ioc 12387  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-mod 12882  df-seq 13014  df-exp 13073  df-fac 13270  df-bc 13299  df-hash 13327  df-shft 14106  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-limsup 14501  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-sum 14716  df-ef 15094  df-e 15095  df-sin 15096  df-cos 15097  df-pi 15099  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-hom 16252  df-cco 16253  df-rest 16363  df-topn 16364  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-topgen 16384  df-pt 16385  df-prds 16388  df-xrs 16442  df-qtop 16447  df-imas 16448  df-xps 16450  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-submnd 17616  df-mulg 17822  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-fbas 20030  df-fg 20031  df-cnfld 20034  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cld 21117  df-ntr 21118  df-cls 21119  df-nei 21196  df-lp 21234  df-perf 21235  df-cn 21325  df-cnp 21326  df-haus 21413  df-tx 21659  df-hmeo 21852  df-fil 21943  df-fm 22035  df-flim 22036  df-flf 22037  df-xms 22418  df-ms 22419  df-tms 22420  df-cncf 22974  df-limc 23935  df-dv 23936  df-log 24608
This theorem is referenced by:  pntlemg  25592  pntlemh  25593  pntlemn  25594  pntlemq  25595  pntlemr  25596  pntlemj  25597  pntlemf  25599  pntlemk  25600  pntlemo  25601
  Copyright terms: Public domain W3C validator