MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemb 27656
Description: Lemma for pnt 27673. Unpack all the lower bounds contained in 𝑊, in the form they will be used. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑍 is x. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
pntlemb (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemb
StepHypRef Expression
1 pntlem1.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
2 pntlem1.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
3 pntlem1.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5 pntlem1.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
6 pntlem1.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐴 + 1)
7 pntlem1.f . . . . . . . 8 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
8 pntlem1.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
9 pntlem1.u2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐴)
10 pntlem1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
11 pntlem1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
12 pntlem1.y . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
13 pntlem1.x . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
14 pntlem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
15 pntlem1.w . . . . . . . 8 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15pntlema 27655 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
1716rpred 13075 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
18 pnfxr 11313 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
19 elico2 13448 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑊𝑍𝑍 < +∞)))
2017, 18, 19sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑊𝑍𝑍 < +∞)))
211, 20mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑊𝑍𝑍 < +∞))
2221simp1d 1141 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
2321simp2d 1142 . . 3 (𝜑𝑊𝑍)
2422, 16, 23rpgecld 13114 . 2 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
25 1re 11259 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
27 ere 16122 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → e ∈ ℝ)
2924rpsqrtcld 15447 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
3029rpred 13075 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ)
31 1lt2 12435 . . . . . . . 8 1 < 2
32 egt2lt3 16239 . . . . . . . . 9 (2 < e ∧ e < 3)
3332simpli 483 . . . . . . . 8 2 < e
34 2re 12338 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
3525, 34, 27lttri 11385 . . . . . . . 8 ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
3631, 33, 35mp2an 692 . . . . . . 7 1 < e
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < e)
38 4re 12348 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
4032simpri 485 . . . . . . . . 9 e < 3
41 3lt4 12438 . . . . . . . . 9 3 < 4
42 3re 12344 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
4327, 42, 38lttri 11385 . . . . . . . . 9 ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
4440, 41, 43mp2an 692 . . . . . . . 8 e < 4
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → e < 4)
46 4nn 12347 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ
47 nnrp 13044 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
492, 3, 4, 5, 6, 7pntlemd 27653 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
5049simp1d 1141 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
512, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11pntlemc 27654 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
5251simp1d 1141 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
5350, 52rpmulcld 13091 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
54 rpdivcl 13058 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
5548, 53, 54sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
5655rpred 13075 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
5753rpred 13075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
5852rpred 13075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
5950rpred 13075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
60 eliooord 13443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
615, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
6261simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 < 1)
6359, 26, 52, 62ltmul1dd 13130 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < (1 · 𝐸))
6452rpcnd 13077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
6564mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
6663, 65breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 𝐸)
6751simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
6867simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
69 eliooord 13443 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
7170simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 < 1)
7257, 58, 26, 66, 71lttrd 11420 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 1)
73 4pos 12371 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 4
7439, 73jctir 520 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
75 ltmul2 12116 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((𝐿 · 𝐸) < 1 ↔ (4 · (𝐿 · 𝐸)) < (4 · 1)))
7657, 26, 74, 75syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) < 1 ↔ (4 · (𝐿 · 𝐸)) < (4 · 1)))
7772, 76mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · (𝐿 · 𝐸)) < (4 · 1))
78 4cn 12349 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
7978mulridi 11263 . . . . . . . . . 10 (4 · 1) = 4
8077, 79breqtrdi 5189 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · (𝐿 · 𝐸)) < 4)
8139, 39, 53ltmuldivd 13122 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4 · (𝐿 · 𝐸)) < 4 ↔ 4 < (4 / (𝐿 · 𝐸))))
8280, 81mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 < (4 / (𝐿 · 𝐸)))
8312simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
8483, 55rpaddcld 13090 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+)
8584rpred 13075 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ)
8656, 83ltaddrp2d 13109 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) < (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))))
8785resqcld 14162 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ)
8813simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
8951simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
90 2z 12647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
91 rpexpcl 14118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
9289, 90, 91sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
9388, 92rpmulcld 13091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+)
94 4z 12649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℤ
95 rpexpcl 14118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
9693, 94, 95sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
97 3nn0 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℕ0
98 2nn 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ
9997, 98decnncl 12751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 32 ∈ ℕ
100 nnrp 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (32 ∈ ℕ → 32 ∈ ℝ+)
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 32 ∈ ℝ+
102 rpmulcl 13056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((32 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
103101, 4, 102sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
10467simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
105 rpexpcl 14118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
10652, 90, 105sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
10750, 106rpmulcld 13091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ+)
108104, 107rpmulcld 13091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℝ+)
109103, 108rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) ∈ ℝ+)
110 3rp 13038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ ℝ+
111 rpmulcl 13056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
1128, 110, 111sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
113112, 14rpaddcld 13090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ+)
114109, 113rpmulcld 13091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ+)
115114rpred 13075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ)
116115rpefcld 16138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ+)
11796, 116rpaddcld 13090 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ+)
11887, 117ltaddrpd 13108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))))
119118, 15breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < 𝑊)
12087, 17, 22, 119, 23ltletrd 11419 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < 𝑍)
12124rprege0d 13082 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
122 resqrtth 15291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
124120, 123breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < ((√‘𝑍)↑2))
12584rprege0d 13082 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))))
12629rprege0d 13082 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
127 lt2sq 14170 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) < (√‘𝑍) ↔ ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
128125, 126, 127syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) < (√‘𝑍) ↔ ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
129124, 128mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) < (√‘𝑍))
13056, 85, 30, 86, 129lttrd 11420 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) < (√‘𝑍))
13139, 56, 30, 82, 130lttrd 11420 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 < (√‘𝑍))
13228, 39, 30, 45, 131lttrd 11420 . . . . . 6 (𝜑 → e < (√‘𝑍))
13326, 28, 30, 37, 132lttrd 11420 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (√‘𝑍))
134 0le1 11784 . . . . . . 7 0 ≤ 1
135134a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 1)
136 lt2sq 14170 . . . . . 6 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → (1 < (√‘𝑍) ↔ (1↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
13726, 135, 126, 136syl21anc 838 . . . . 5 (𝜑 → (1 < (√‘𝑍) ↔ (1↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
138133, 137mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (1↑2) < ((√‘𝑍)↑2))
139 sq1 14231 . . . . 5 (1↑2) = 1
140139a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1↑2) = 1)
141138, 140, 1233brtr3d 5179 . . 3 (𝜑 → 1 < 𝑍)
14228, 30, 132ltled 11407 . . 3 (𝜑 → e ≤ (√‘𝑍))
14322, 83rerpdivcld 13106 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
14483rpred 13075 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
145144, 55ltaddrpd 13108 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 < (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))))
146144, 85, 30, 145, 129lttrd 11420 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 < (√‘𝑍))
147144, 30, 29, 146ltmul2dd 13131 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘𝑍) · 𝑌) < ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)))
148 remsqsqrt 15292 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
149121, 148syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
150147, 149breqtrd 5174 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘𝑍) · 𝑌) < 𝑍)
15130, 22, 83ltmuldivd 13122 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘𝑍) · 𝑌) < 𝑍 ↔ (√‘𝑍) < (𝑍 / 𝑌)))
152150, 151mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑍) < (𝑍 / 𝑌))
15330, 143, 152ltled 11407 . . 3 (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌))
154141, 142, 1533jca 1127 . 2 (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
15556, 30, 130ltled 11407 . . 3 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍))
15688relogcld 26680 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
15789rpred 13075 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
15867simp2d 1142 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝐾)
159157, 158rplogcld 26686 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
160156, 159rerpdivcld 13106 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
161 readdcl 11236 . . . . 5 ((((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ∈ ℝ)
162160, 34, 161sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ∈ ℝ)
16324relogcld 26680 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
164163, 159rerpdivcld 13106 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
165 nndivre 12305 . . . . 5 ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
166164, 46, 165sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
16793relogcld 26680 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) ∈ ℝ)
168 nndivre 12305 . . . . . . 7 (((log‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((log‘𝑍) / 4) ∈ ℝ)
169163, 46, 168sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑍) / 4) ∈ ℝ)
170 relogexp 26653 . . . . . . . . 9 (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) = (4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))))
17193, 94, 170sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) = (4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))))
17296rpred 13075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ)
173117rpred 13075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ)
174172, 116ltaddrpd 13108 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
175 rpexpcl 14118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
17684, 90, 175sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
177173, 176ltaddrpd 13108 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) < ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) + ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2)))
17887recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℂ)
179117rpcnd 13077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℂ)
180178, 179addcomd 11461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))) = ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) + ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2)))
18115, 180eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 = ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) + ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2)))
182177, 181breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) < 𝑊)
183173, 17, 22, 182, 23ltletrd 11419 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) < 𝑍)
184172, 173, 22, 174, 183lttrd 11420 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < 𝑍)
185 logltb 26657 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+𝑍 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < 𝑍 ↔ (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) < (log‘𝑍)))
18696, 24, 185syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < 𝑍 ↔ (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) < (log‘𝑍)))
187184, 186mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) < (log‘𝑍))
188171, 187eqbrtrrd 5172 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))) < (log‘𝑍))
189 ltmuldiv2 12140 . . . . . . . 8 (((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))) < (log‘𝑍) ↔ (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) < ((log‘𝑍) / 4)))
190167, 163, 74, 189syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))) < (log‘𝑍) ↔ (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) < ((log‘𝑍) / 4)))
191188, 190mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) < ((log‘𝑍) / 4))
192167, 169, 159, 191ltdiv1dd 13132 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) / (log‘𝐾)) < (((log‘𝑍) / 4) / (log‘𝐾)))
19388, 92relogmuld 26682 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) = ((log‘𝑋) + (log‘(𝐾↑2))))
194 relogexp 26653 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(𝐾↑2)) = (2 · (log‘𝐾)))
19589, 90, 194sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(𝐾↑2)) = (2 · (log‘𝐾)))
196195oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝑋) + (log‘(𝐾↑2))) = ((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))))
197193, 196eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) = ((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))))
198197oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))) / (log‘𝐾)))
199156recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
200 2cnd 12342 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
201159rpcnd 13077 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
202200, 201mulcld 11279 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (log‘𝐾)) ∈ ℂ)
203159rpcnne0d 13084 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝐾) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐾) ≠ 0))
204 divdir 11945 . . . . . . 7 (((log‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (2 · (log‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((log‘𝐾) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐾) ≠ 0)) → (((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾))))
205199, 202, 203, 204syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾))))
206203simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ≠ 0)
207200, 201, 206divcan4d 12047 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾)) = 2)
208207oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾))) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2))
209198, 205, 2083eqtrd 2779 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2))
210163recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℂ)
211 rpcnne0 13051 . . . . . . 7 (4 ∈ ℝ+ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
21248, 211mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
213 divdiv32 11973 . . . . . 6 (((log‘𝑍) ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) ∧ ((log‘𝐾) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐾) ≠ 0)) → (((log‘𝑍) / 4) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
214210, 212, 203, 213syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (((log‘𝑍) / 4) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
215192, 209, 2143brtr3d 5179 . . . 4 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) < (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
216162, 166, 215ltled 11407 . . 3 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
217113rpred 13075 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ)
218108, 103rpdivcld 13092 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
219218rpred 13075 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) ∈ ℝ)
220219, 163remulcld 11289 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ)
221113rpcnd 13077 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℂ)
222108rpcnne0d 13084 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ≠ 0))
223103rpcnne0d 13084 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (32 · 𝐵) ≠ 0))
224 divdiv2 11977 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ≠ 0) ∧ ((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (32 · 𝐵) ≠ 0)) → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) = ((((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))))
225221, 222, 223, 224syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) = ((((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))))
226103rpcnd 13077 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℂ)
227221, 226mulcomd 11280 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) = ((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
228227oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) = (((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))))
229 div23 11939 . . . . . . . . 9 (((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ≠ 0)) → (((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) = (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
230226, 221, 222, 229syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) = (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
231225, 228, 2303eqtrd 2779 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) = (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
232115reefcld 16121 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ)
233232, 96ltaddrp2d 13109 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
234232, 173, 22, 233, 183lttrd 11420 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < 𝑍)
23524reeflogd 26681 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(log‘𝑍)) = 𝑍)
236234, 235breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (exp‘(log‘𝑍)))
237 eflt 16150 . . . . . . . . 9 (((((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℝ) → ((((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) < (log‘𝑍) ↔ (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (exp‘(log‘𝑍))))
238115, 163, 237syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) < (log‘𝑍) ↔ (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (exp‘(log‘𝑍))))
239236, 238mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) < (log‘𝑍))
240231, 239eqbrtrd 5170 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) < (log‘𝑍))
241217, 163, 218ltdivmuld 13126 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) < (log‘𝑍) ↔ ((𝑈 · 3) + 𝐶) < ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍))))
242240, 241mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) < ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)))
243217, 220, 242ltled 11407 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)))
244104rpcnd 13077 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℂ)
245107rpcnd 13077 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℂ)
246 divass 11938 . . . . . 6 (((𝑈𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℂ ∧ ((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (32 · 𝐵) ≠ 0)) → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) = ((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))))
247244, 245, 223, 246syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) = ((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))))
248247oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)) = (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))
249243, 248breqtrd 5174 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))
250155, 216, 2493jca 1127 . 2 (𝜑 → ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))
25124, 154, 2503jca 1127 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  cz 12611  cdc 12731  +crp 13032  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  cexp 14099  csqrt 15269  expce 16094  eceu 16095  logclog 26611  ψcchp 27151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-e 16101  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613
This theorem is referenced by:  pntlemg  27657  pntlemh  27658  pntlemn  27659  pntlemq  27660  pntlemr  27661  pntlemj  27662  pntlemf  27664  pntlemk  27665  pntlemo  27666
  Copyright terms: Public domain W3C validator