Theorem pntlemb 27530

Description: Lemma for pnt 27547. Unpack all the lower bounds contained in 𝑊, in the form they will be used. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑍 is x. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
pntlemb	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))

Distinct variable group:   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
2		pntlem1.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
3		pntlem1.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
4		pntlem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
5		pntlem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
6		pntlem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
7		pntlem1.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
8		pntlem1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
9		pntlem1.u2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
10		pntlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
11		pntlem1.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
12		pntlem1.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
13		pntlem1.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
14		pntlem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
15		pntlem1.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	pntlema 27529	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 12929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
18		pnfxr 11161	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19		elico2 13305	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑊 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 < +∞)))
20	17, 18, 19	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑊 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 < +∞)))
21	1, 20	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑊 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 < +∞))
22	21	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
23	21	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≤ 𝑍)
24	22, 16, 23	rpgecld 12968	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
25		1re 11107	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
27		ere 15991	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → e ∈ ℝ)
29	24	rpsqrtcld 15314	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
30	29	rpred 12929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ)
31		1lt2 12286	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
32		egt2lt3 16110	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
33	32	simpli 483	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < e
34		2re 12194	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
35	25, 34, 27	lttri 11234	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
36	31, 33, 35	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ 1 < e
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < e)
38		4re 12204	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
40	32	simpri 485	. . . . . . . . 9 ⊢ e < 3
41		3lt4 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 < 4
42		3re 12200	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
43	27, 42, 38	lttri 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
44	40, 41, 43	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ e < 4
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → e < 4)
46		4nn 12203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ
47		nnrp 12897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ+
49	2, 3, 4, 5, 6, 7	pntlemd 27527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))
50	49	simp1d 1142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
51	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	pntlemc 27528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
52	51	simp1d 1142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
53	50, 52	rpmulcld 12945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
54		rpdivcl 12912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
55	48, 53, 54	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 12929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
57	53	rpred 12929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
58	52	rpred 12929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
59	50	rpred 12929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
60		eliooord 13300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
61	5, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
62	61	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿 < 1)
63	59, 26, 52, 62	ltmul1dd 12984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < (1 · 𝐸))
64	52	rpcnd 12931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
65	64	mullidd 11125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
66	63, 65	breqtrd 5112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 𝐸)
67	51	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+))
68	67	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
69		eliooord 13300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
71	70	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < 1)
72	57, 58, 26, 66, 71	lttrd 11269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 1)
73		4pos 12227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 4
74	39, 73	jctir 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
75		ltmul2 11967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((𝐿 · 𝐸) < 1 ↔ (4 · (𝐿 · 𝐸)) < (4 · 1)))
76	57, 26, 74, 75	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) < 1 ↔ (4 · (𝐿 · 𝐸)) < (4 · 1)))
77	72, 76	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐿 · 𝐸)) < (4 · 1))
78		4cn 12205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
79	78	mulridi 11111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 1) = 4
80	77, 79	breqtrdi 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐿 · 𝐸)) < 4)
81	39, 39, 53	ltmuldivd 12976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝐿 · 𝐸)) < 4 ↔ 4 < (4 / (𝐿 · 𝐸))))
82	80, 81	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 4 < (4 / (𝐿 · 𝐸)))
83	12	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
84	83, 55	rpaddcld 12944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+)
85	84	rpred 12929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ)
86	56, 83	ltaddrp2d 12963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) < (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))))
87	85	resqcld 14027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ)
88	13	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
89	51	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
90		2z 12499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
91		rpexpcl 13982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
92	89, 90, 91	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
93	88, 92	rpmulcld 12945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+)
94		4z 12501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℤ
95		rpexpcl 13982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
96	93, 94, 95	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
97		3nn0 12394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℕ0
98		2nn 12193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ
99	97, 98	decnncl 12603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ;32 ∈ ℕ
100		nnrp 12897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
102		rpmulcl 12910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((;32 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
103	101, 4, 102	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
104	67	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)
105		rpexpcl 13982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
106	52, 90, 105	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
107	50, 106	rpmulcld 12945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ+)
108	104, 107	rpmulcld 12945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℝ+)
109	103, 108	rpdivcld 12946	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) ∈ ℝ+)
110		3rp 12891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ ℝ+
111		rpmulcl 12910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
112	8, 110, 111	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
113	112, 14	rpaddcld 12944	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ+)
114	109, 113	rpmulcld 12945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ+)
115	114	rpred 12929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ)
116	115	rpefcld 16009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ+)
117	96, 116	rpaddcld 12944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ+)
118	87, 117	ltaddrpd 12962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))))
119	118, 15	breqtrrdi 5128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < 𝑊)
120	87, 17, 22, 119, 23	ltletrd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < 𝑍)
121	24	rprege0d 12936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
122		resqrtth 15157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
124	120, 123	breqtrrd 5114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < ((√‘𝑍)↑2))
125	84	rprege0d 12936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))))
126	29	rprege0d 12936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
127		lt2sq 14035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) < (√‘𝑍) ↔ ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
128	125, 126, 127	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) < (√‘𝑍) ↔ ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
129	124, 128	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) < (√‘𝑍))
130	56, 85, 30, 86, 129	lttrd 11269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) < (√‘𝑍))
131	39, 56, 30, 82, 130	lttrd 11269	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 < (√‘𝑍))
132	28, 39, 30, 45, 131	lttrd 11269	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → e < (√‘𝑍))
133	26, 28, 30, 37, 132	lttrd 11269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (√‘𝑍))
134		0le1 11635	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
135	134	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
136		lt2sq 14035	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → (1 < (√‘𝑍) ↔ (1↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
137	26, 135, 126, 136	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < (√‘𝑍) ↔ (1↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
138	133, 137	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑2) < ((√‘𝑍)↑2))
139		sq1 14097	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
140	139	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑2) = 1)
141	138, 140, 123	3brtr3d 5117	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑍)
142	28, 30, 132	ltled 11256	. . 3 ⊢ (𝜑 → e ≤ (√‘𝑍))
143	22, 83	rerpdivcld 12960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
144	83	rpred 12929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
145	144, 55	ltaddrpd 12962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))))
146	144, 85, 30, 145, 129	lttrd 11269	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < (√‘𝑍))
147	144, 30, 29, 146	ltmul2dd 12985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) · 𝑌) < ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)))
148		remsqsqrt 15158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
149	121, 148	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
150	147, 149	breqtrd 5112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) · 𝑌) < 𝑍)
151	30, 22, 83	ltmuldivd 12976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝑍) · 𝑌) < 𝑍 ↔ (√‘𝑍) < (𝑍 / 𝑌)))
152	150, 151	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) < (𝑍 / 𝑌))
153	30, 143, 152	ltled 11256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌))
154	141, 142, 153	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
155	56, 30, 130	ltled 11256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍))
156	88	relogcld 26554	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
157	89	rpred 12929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
158	67	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
159	157, 158	rplogcld 26560	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
160	156, 159	rerpdivcld 12960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
161		readdcl 11084	. . . . 5 ⊢ ((((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ∈ ℝ)
162	160, 34, 161	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ∈ ℝ)
163	24	relogcld 26554	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
164	163, 159	rerpdivcld 12960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
165		nndivre 12161	. . . . 5 ⊢ ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
166	164, 46, 165	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
167	93	relogcld 26554	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) ∈ ℝ)
168		nndivre 12161	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((log‘𝑍) / 4) ∈ ℝ)
169	163, 46, 168	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑍) / 4) ∈ ℝ)
170		relogexp 26527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) = (4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))))
171	93, 94, 170	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) = (4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))))
172	96	rpred 12929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ)
173	117	rpred 12929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ)
174	172, 116	ltaddrpd 12962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
175		rpexpcl 13982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
176	84, 90, 175	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
177	173, 176	ltaddrpd 12962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) < ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) + ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2)))
178	87	recnd 11135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℂ)
179	117	rpcnd 12931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℂ)
180	178, 179	addcomd 11310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))) = ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) + ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2)))
181	15, 180	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) + ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2)))
182	177, 181	breqtrrd 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) < 𝑊)
183	173, 17, 22, 182, 23	ltletrd 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) < 𝑍)
184	172, 173, 22, 174, 183	lttrd 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < 𝑍)
185		logltb 26531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+ ∧ 𝑍 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < 𝑍 ↔ (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) < (log‘𝑍)))
186	96, 24, 185	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < 𝑍 ↔ (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) < (log‘𝑍)))
187	184, 186	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) < (log‘𝑍))
188	171, 187	eqbrtrrd 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))) < (log‘𝑍))
189		ltmuldiv2 11991	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))) < (log‘𝑍) ↔ (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) < ((log‘𝑍) / 4)))
190	167, 163, 74, 189	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))) < (log‘𝑍) ↔ (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) < ((log‘𝑍) / 4)))
191	188, 190	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) < ((log‘𝑍) / 4))
192	167, 169, 159, 191	ltdiv1dd 12986	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) / (log‘𝐾)) < (((log‘𝑍) / 4) / (log‘𝐾)))
193	88, 92	relogmuld 26556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) = ((log‘𝑋) + (log‘(𝐾↑2))))
194		relogexp 26527	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(𝐾↑2)) = (2 · (log‘𝐾)))
195	89, 90, 194	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾↑2)) = (2 · (log‘𝐾)))
196	195	oveq2d 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑋) + (log‘(𝐾↑2))) = ((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))))
197	193, 196	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) = ((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))))
198	197	oveq1d 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))) / (log‘𝐾)))
199	156	recnd 11135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
200		2cnd 12198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
201	159	rpcnd 12931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
202	200, 201	mulcld 11127	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘𝐾)) ∈ ℂ)
203	159	rpcnne0d 12938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐾) ≠ 0))
204		divdir 11796	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (2 · (log‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((log‘𝐾) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐾) ≠ 0)) → (((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾))))
205	199, 202, 203, 204	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾))))
206	203	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐾) ≠ 0)
207	200, 201, 206	divcan4d 11898	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾)) = 2)
208	207	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾))) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2))
209	198, 205, 208	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2))
210	163	recnd 11135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℂ)
211		rpcnne0 12904	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℝ+ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
212	48, 211	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
213		divdiv32 11824	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝑍) ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) ∧ ((log‘𝐾) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐾) ≠ 0)) → (((log‘𝑍) / 4) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
214	210, 212, 203, 213	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝑍) / 4) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
215	192, 209, 214	3brtr3d 5117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) < (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
216	162, 166, 215	ltled 11256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
217	113	rpred 12929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ)
218	108, 103	rpdivcld 12946	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (;32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
219	218	rpred 12929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (;32 · 𝐵)) ∈ ℝ)
220	219, 163	remulcld 11137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (;32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ)
221	113	rpcnd 12931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℂ)
222	108	rpcnne0d 12938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ≠ 0))
223	103	rpcnne0d 12938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((;32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (;32 · 𝐵) ≠ 0))
224		divdiv2 11828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ≠ 0) ∧ ((;32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (;32 · 𝐵) ≠ 0)) → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (;32 · 𝐵))) = ((((𝑈 · 3) + 𝐶) · (;32 · 𝐵)) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))))
225	221, 222, 223, 224	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (;32 · 𝐵))) = ((((𝑈 · 3) + 𝐶) · (;32 · 𝐵)) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))))
226	103	rpcnd 12931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (;32 · 𝐵) ∈ ℂ)
227	221, 226	mulcomd 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) · (;32 · 𝐵)) = ((;32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
228	227	oveq1d 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑈 · 3) + 𝐶) · (;32 · 𝐵)) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) = (((;32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))))
229		div23 11790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((;32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ≠ 0)) → (((;32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) = (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
230	226, 221, 222, 229	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((;32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) = (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
231	225, 228, 230	3eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (;32 · 𝐵))) = (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
232	115	reefcld 15990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ)
233	232, 96	ltaddrp2d 12963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
234	232, 173, 22, 233, 183	lttrd 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < 𝑍)
235	24	reeflogd 26555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝑍)) = 𝑍)
236	234, 235	breqtrrd 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (exp‘(log‘𝑍)))
237		eflt 16021	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℝ) → ((((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) < (log‘𝑍) ↔ (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (exp‘(log‘𝑍))))
238	115, 163, 237	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) < (log‘𝑍) ↔ (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (exp‘(log‘𝑍))))
239	236, 238	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) < (log‘𝑍))
240	231, 239	eqbrtrd 5108	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (;32 · 𝐵))) < (log‘𝑍))
241	217, 163, 218	ltdivmuld 12980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (;32 · 𝐵))) < (log‘𝑍) ↔ ((𝑈 · 3) + 𝐶) < ((((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (;32 · 𝐵)) · (log‘𝑍))))
242	240, 241	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) < ((((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (;32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)))
243	217, 220, 242	ltled 11256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ ((((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (;32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)))
244	104	rpcnd 12931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℂ)
245	107	rpcnd 12931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℂ)
246		divass 11789	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 − 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℂ ∧ ((;32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (;32 · 𝐵) ≠ 0)) → (((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (;32 · 𝐵)) = ((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))))
247	244, 245, 223, 246	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (;32 · 𝐵)) = ((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))))
248	247	oveq1d 7356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (;32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)) = (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))
249	243, 248	breqtrd 5112	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))
250	155, 216, 249	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))
251	24, 154, 250	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   · cmul 11006  +∞cpnf 11138  ℝ^*cxr 11140   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339   / cdiv 11769  ℕcn 12120  2c2 12175  3c3 12176  4c4 12177  ℤcz 12463  ;cdc 12583  ℝ⁺crp 12885  (,)cioo 13240  [,)cico 13242  ↑cexp 13963  √csqrt 15135  expce 15963  eceu 15964  logclog 26485  ψcchp 27025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-ioc 13245  df-ico 13246  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-fac 14176  df-bc 14205  df-hash 14233  df-shft 14969  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-limsup 15373  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-ef 15969  df-e 15970  df-sin 15971  df-cos 15972  df-pi 15974  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-rest 17321  df-topn 17322  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-topgen 17342  df-pt 17343  df-prds 17346  df-xrs 17401  df-qtop 17406  df-imas 17407  df-xps 17409  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-cld 22929  df-ntr 22930  df-cls 22931  df-nei 23008  df-lp 23046  df-perf 23047  df-cn 23137  df-cnp 23138  df-haus 23225  df-tx 23472  df-hmeo 23665  df-fil 23756  df-fm 23848  df-flim 23849  df-flf 23850  df-xms 24230  df-ms 24231  df-tms 24232  df-cncf 24793  df-limc 25789  df-dv 25790  df-log 26487

This theorem is referenced by:  pntlemg  27531  pntlemh  27532  pntlemn  27533  pntlemq  27534  pntlemr  27535  pntlemj  27536  pntlemf  27538  pntlemk  27539  pntlemo  27540