MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemb 27659
Description: Lemma for pnt 27676. Unpack all the lower bounds contained in 𝑊, in the form they will be used. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑍 is x. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
pntlemb (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemb
StepHypRef Expression
1 pntlem1.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
2 pntlem1.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
3 pntlem1.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5 pntlem1.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
6 pntlem1.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐴 + 1)
7 pntlem1.f . . . . . . . 8 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
8 pntlem1.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
9 pntlem1.u2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐴)
10 pntlem1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
11 pntlem1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
12 pntlem1.y . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
13 pntlem1.x . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
14 pntlem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
15 pntlem1.w . . . . . . . 8 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15pntlema 27658 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
1716rpred 13099 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
18 pnfxr 11344 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
19 elico2 13471 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑊𝑍𝑍 < +∞)))
2017, 18, 19sylancl 585 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑊𝑍𝑍 < +∞)))
211, 20mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑊𝑍𝑍 < +∞))
2221simp1d 1142 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
2321simp2d 1143 . . 3 (𝜑𝑊𝑍)
2422, 16, 23rpgecld 13138 . 2 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
25 1re 11290 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
27 ere 16137 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → e ∈ ℝ)
2924rpsqrtcld 15460 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
3029rpred 13099 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ)
31 1lt2 12464 . . . . . . . 8 1 < 2
32 egt2lt3 16254 . . . . . . . . 9 (2 < e ∧ e < 3)
3332simpli 483 . . . . . . . 8 2 < e
34 2re 12367 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
3525, 34, 27lttri 11416 . . . . . . . 8 ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
3631, 33, 35mp2an 691 . . . . . . 7 1 < e
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < e)
38 4re 12377 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
4032simpri 485 . . . . . . . . 9 e < 3
41 3lt4 12467 . . . . . . . . 9 3 < 4
42 3re 12373 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
4327, 42, 38lttri 11416 . . . . . . . . 9 ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
4440, 41, 43mp2an 691 . . . . . . . 8 e < 4
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → e < 4)
46 4nn 12376 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ
47 nnrp 13068 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
492, 3, 4, 5, 6, 7pntlemd 27656 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
5049simp1d 1142 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
512, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11pntlemc 27657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
5251simp1d 1142 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
5350, 52rpmulcld 13115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
54 rpdivcl 13082 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
5548, 53, 54sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
5655rpred 13099 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
5753rpred 13099 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
5852rpred 13099 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
5950rpred 13099 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
60 eliooord 13466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
615, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
6261simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 < 1)
6359, 26, 52, 62ltmul1dd 13154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < (1 · 𝐸))
6452rpcnd 13101 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
6564mullidd 11308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
6663, 65breqtrd 5192 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 𝐸)
6751simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
6867simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
69 eliooord 13466 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
7170simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 < 1)
7257, 58, 26, 66, 71lttrd 11451 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 1)
73 4pos 12400 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 4
7439, 73jctir 520 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
75 ltmul2 12145 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((𝐿 · 𝐸) < 1 ↔ (4 · (𝐿 · 𝐸)) < (4 · 1)))
7657, 26, 74, 75syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) < 1 ↔ (4 · (𝐿 · 𝐸)) < (4 · 1)))
7772, 76mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · (𝐿 · 𝐸)) < (4 · 1))
78 4cn 12378 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
7978mulridi 11294 . . . . . . . . . 10 (4 · 1) = 4
8077, 79breqtrdi 5207 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · (𝐿 · 𝐸)) < 4)
8139, 39, 53ltmuldivd 13146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4 · (𝐿 · 𝐸)) < 4 ↔ 4 < (4 / (𝐿 · 𝐸))))
8280, 81mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 < (4 / (𝐿 · 𝐸)))
8312simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
8483, 55rpaddcld 13114 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+)
8584rpred 13099 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ)
8656, 83ltaddrp2d 13133 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) < (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))))
8785resqcld 14175 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ)
8813simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
8951simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
90 2z 12675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
91 rpexpcl 14131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
9289, 90, 91sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
9388, 92rpmulcld 13115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+)
94 4z 12677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℤ
95 rpexpcl 14131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
9693, 94, 95sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
97 3nn0 12571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℕ0
98 2nn 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ
9997, 98decnncl 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 32 ∈ ℕ
100 nnrp 13068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (32 ∈ ℕ → 32 ∈ ℝ+)
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 32 ∈ ℝ+
102 rpmulcl 13080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((32 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
103101, 4, 102sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
10467simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
105 rpexpcl 14131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
10652, 90, 105sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
10750, 106rpmulcld 13115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ+)
108104, 107rpmulcld 13115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℝ+)
109103, 108rpdivcld 13116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) ∈ ℝ+)
110 3rp 13063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ ℝ+
111 rpmulcl 13080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
1128, 110, 111sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
113112, 14rpaddcld 13114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ+)
114109, 113rpmulcld 13115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ+)
115114rpred 13099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ)
116115rpefcld 16153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ+)
11796, 116rpaddcld 13114 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ+)
11887, 117ltaddrpd 13132 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))))
119118, 15breqtrrdi 5208 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < 𝑊)
12087, 17, 22, 119, 23ltletrd 11450 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < 𝑍)
12124rprege0d 13106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
122 resqrtth 15304 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
124120, 123breqtrrd 5194 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < ((√‘𝑍)↑2))
12584rprege0d 13106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))))
12629rprege0d 13106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
127 lt2sq 14183 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) < (√‘𝑍) ↔ ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
128125, 126, 127syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) < (√‘𝑍) ↔ ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
129124, 128mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) < (√‘𝑍))
13056, 85, 30, 86, 129lttrd 11451 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) < (√‘𝑍))
13139, 56, 30, 82, 130lttrd 11451 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 < (√‘𝑍))
13228, 39, 30, 45, 131lttrd 11451 . . . . . 6 (𝜑 → e < (√‘𝑍))
13326, 28, 30, 37, 132lttrd 11451 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (√‘𝑍))
134 0le1 11813 . . . . . . 7 0 ≤ 1
135134a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 1)
136 lt2sq 14183 . . . . . 6 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → (1 < (√‘𝑍) ↔ (1↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
13726, 135, 126, 136syl21anc 837 . . . . 5 (𝜑 → (1 < (√‘𝑍) ↔ (1↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
138133, 137mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (1↑2) < ((√‘𝑍)↑2))
139 sq1 14244 . . . . 5 (1↑2) = 1
140139a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1↑2) = 1)
141138, 140, 1233brtr3d 5197 . . 3 (𝜑 → 1 < 𝑍)
14228, 30, 132ltled 11438 . . 3 (𝜑 → e ≤ (√‘𝑍))
14322, 83rerpdivcld 13130 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
14483rpred 13099 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
145144, 55ltaddrpd 13132 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 < (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))))
146144, 85, 30, 145, 129lttrd 11451 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 < (√‘𝑍))
147144, 30, 29, 146ltmul2dd 13155 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘𝑍) · 𝑌) < ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)))
148 remsqsqrt 15305 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
149121, 148syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
150147, 149breqtrd 5192 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘𝑍) · 𝑌) < 𝑍)
15130, 22, 83ltmuldivd 13146 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘𝑍) · 𝑌) < 𝑍 ↔ (√‘𝑍) < (𝑍 / 𝑌)))
152150, 151mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑍) < (𝑍 / 𝑌))
15330, 143, 152ltled 11438 . . 3 (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌))
154141, 142, 1533jca 1128 . 2 (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
15556, 30, 130ltled 11438 . . 3 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍))
15688relogcld 26683 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
15789rpred 13099 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
15867simp2d 1143 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝐾)
159157, 158rplogcld 26689 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
160156, 159rerpdivcld 13130 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
161 readdcl 11267 . . . . 5 ((((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ∈ ℝ)
162160, 34, 161sylancl 585 . . . 4 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ∈ ℝ)
16324relogcld 26683 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
164163, 159rerpdivcld 13130 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
165 nndivre 12334 . . . . 5 ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
166164, 46, 165sylancl 585 . . . 4 (𝜑 → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
16793relogcld 26683 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) ∈ ℝ)
168 nndivre 12334 . . . . . . 7 (((log‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((log‘𝑍) / 4) ∈ ℝ)
169163, 46, 168sylancl 585 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑍) / 4) ∈ ℝ)
170 relogexp 26656 . . . . . . . . 9 (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) = (4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))))
17193, 94, 170sylancl 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) = (4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))))
17296rpred 13099 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ)
173117rpred 13099 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ)
174172, 116ltaddrpd 13132 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
175 rpexpcl 14131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
17684, 90, 175sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
177173, 176ltaddrpd 13132 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) < ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) + ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2)))
17887recnd 11318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℂ)
179117rpcnd 13101 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℂ)
180178, 179addcomd 11492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))) = ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) + ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2)))
18115, 180eqtrid 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 = ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) + ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2)))
182177, 181breqtrrd 5194 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) < 𝑊)
183173, 17, 22, 182, 23ltletrd 11450 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) < 𝑍)
184172, 173, 22, 174, 183lttrd 11451 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < 𝑍)
185 logltb 26660 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+𝑍 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < 𝑍 ↔ (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) < (log‘𝑍)))
18696, 24, 185syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < 𝑍 ↔ (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) < (log‘𝑍)))
187184, 186mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) < (log‘𝑍))
188171, 187eqbrtrrd 5190 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))) < (log‘𝑍))
189 ltmuldiv2 12169 . . . . . . . 8 (((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))) < (log‘𝑍) ↔ (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) < ((log‘𝑍) / 4)))
190167, 163, 74, 189syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → ((4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))) < (log‘𝑍) ↔ (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) < ((log‘𝑍) / 4)))
191188, 190mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) < ((log‘𝑍) / 4))
192167, 169, 159, 191ltdiv1dd 13156 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) / (log‘𝐾)) < (((log‘𝑍) / 4) / (log‘𝐾)))
19388, 92relogmuld 26685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) = ((log‘𝑋) + (log‘(𝐾↑2))))
194 relogexp 26656 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(𝐾↑2)) = (2 · (log‘𝐾)))
19589, 90, 194sylancl 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(𝐾↑2)) = (2 · (log‘𝐾)))
196195oveq2d 7464 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝑋) + (log‘(𝐾↑2))) = ((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))))
197193, 196eqtrd 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) = ((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))))
198197oveq1d 7463 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))) / (log‘𝐾)))
199156recnd 11318 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
200 2cnd 12371 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
201159rpcnd 13101 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
202200, 201mulcld 11310 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (log‘𝐾)) ∈ ℂ)
203159rpcnne0d 13108 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝐾) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐾) ≠ 0))
204 divdir 11974 . . . . . . 7 (((log‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (2 · (log‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((log‘𝐾) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐾) ≠ 0)) → (((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾))))
205199, 202, 203, 204syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾))))
206203simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ≠ 0)
207200, 201, 206divcan4d 12076 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾)) = 2)
208207oveq2d 7464 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾))) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2))
209198, 205, 2083eqtrd 2784 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2))
210163recnd 11318 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℂ)
211 rpcnne0 13075 . . . . . . 7 (4 ∈ ℝ+ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
21248, 211mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
213 divdiv32 12002 . . . . . 6 (((log‘𝑍) ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) ∧ ((log‘𝐾) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐾) ≠ 0)) → (((log‘𝑍) / 4) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
214210, 212, 203, 213syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (((log‘𝑍) / 4) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
215192, 209, 2143brtr3d 5197 . . . 4 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) < (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
216162, 166, 215ltled 11438 . . 3 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
217113rpred 13099 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ)
218108, 103rpdivcld 13116 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
219218rpred 13099 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) ∈ ℝ)
220219, 163remulcld 11320 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ)
221113rpcnd 13101 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℂ)
222108rpcnne0d 13108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ≠ 0))
223103rpcnne0d 13108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (32 · 𝐵) ≠ 0))
224 divdiv2 12006 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ≠ 0) ∧ ((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (32 · 𝐵) ≠ 0)) → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) = ((((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))))
225221, 222, 223, 224syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) = ((((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))))
226103rpcnd 13101 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℂ)
227221, 226mulcomd 11311 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) = ((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
228227oveq1d 7463 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) = (((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))))
229 div23 11968 . . . . . . . . 9 (((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ≠ 0)) → (((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) = (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
230226, 221, 222, 229syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) = (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
231225, 228, 2303eqtrd 2784 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) = (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
232115reefcld 16136 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ)
233232, 96ltaddrp2d 13133 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
234232, 173, 22, 233, 183lttrd 11451 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < 𝑍)
23524reeflogd 26684 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(log‘𝑍)) = 𝑍)
236234, 235breqtrrd 5194 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (exp‘(log‘𝑍)))
237 eflt 16165 . . . . . . . . 9 (((((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℝ) → ((((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) < (log‘𝑍) ↔ (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (exp‘(log‘𝑍))))
238115, 163, 237syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) < (log‘𝑍) ↔ (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (exp‘(log‘𝑍))))
239236, 238mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) < (log‘𝑍))
240231, 239eqbrtrd 5188 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) < (log‘𝑍))
241217, 163, 218ltdivmuld 13150 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) < (log‘𝑍) ↔ ((𝑈 · 3) + 𝐶) < ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍))))
242240, 241mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) < ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)))
243217, 220, 242ltled 11438 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)))
244104rpcnd 13101 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℂ)
245107rpcnd 13101 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℂ)
246 divass 11967 . . . . . 6 (((𝑈𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℂ ∧ ((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (32 · 𝐵) ≠ 0)) → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) = ((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))))
247244, 245, 223, 246syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) = ((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))))
248247oveq1d 7463 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)) = (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))
249243, 248breqtrd 5192 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))
250155, 216, 2493jca 1128 . 2 (𝜑 → ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))
25124, 154, 2503jca 1128 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946   class class class wbr 5166  cmpt 5249  cfv 6573  (class class class)co 7448  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  +∞cpnf 11321  *cxr 11323   < clt 11324  cle 11325  cmin 11520   / cdiv 11947  cn 12293  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  cz 12639  cdc 12758  +crp 13057  (,)cioo 13407  [,)cico 13409  cexp 14112  csqrt 15282  expce 16109  eceu 16110  logclog 26614  ψcchp 27154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-e 16116  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616
This theorem is referenced by:  pntlemg  27660  pntlemh  27661  pntlemn  27662  pntlemq  27663  pntlemr  27664  pntlemj  27665  pntlemf  27667  pntlemk  27668  pntlemo  27669
  Copyright terms: Public domain W3C validator