Theorem divlogrlim 26968

Description: The inverse logarithm function converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
divlogrlim	⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0

Proof of Theorem divlogrlim

Dummy variables 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
2		eliooord 13539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
3	2	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 < 𝑥)
4	1, 3	rplogcld 26962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
5	4	rprecred 13178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
7	6	rgen 3078	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(1 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(1 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
9		ioossre 13541	. . . . 5 ⊢ (1(,)+∞) ⊆ ℝ
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
11	8, 10	rlim0lt 15681	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦)))
12	11	mptru 1576	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
13		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ+)
14	13	rprecred 13178	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
15	14	reefcld 16259	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (exp‘(1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
16	5	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
17	1	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	3	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 < 𝑥)
19	17, 18	rplogcld 26962	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
20	19	rpreccld 13177	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
21	20	rpge0d 13171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 0 ≤ (1 / (log‘𝑥)))
22	16, 21	absidd 15595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) = (1 / (log‘𝑥)))
23		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ+)
24	4	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
25		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥)
26		1rp 13127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ+
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ+)
28	27	rpred 13167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ)
29	28, 17, 18	ltled 11461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 ≤ 𝑥)
30	17, 27, 29	rpgecld 13206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ+)
31	30	reeflogd 26957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (exp‘(log‘𝑥)) = 𝑥)
32	25, 31	breqtrrd 5132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (exp‘(1 / 𝑦)) < (exp‘(log‘𝑥)))
33	23	rprecred 13178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
34	24	rpred 13167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
35		eflt 16290	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑥) ∈ ℝ) → ((1 / 𝑦) < (log‘𝑥) ↔ (exp‘(1 / 𝑦)) < (exp‘(log‘𝑥))))
36	33, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → ((1 / 𝑦) < (log‘𝑥) ↔ (exp‘(1 / 𝑦)) < (exp‘(log‘𝑥))))
37	32, 36	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / 𝑦) < (log‘𝑥))
38	23, 24, 37	ltrec1d 13187	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / (log‘𝑥)) < 𝑦)
39	22, 38	eqbrtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦)
40	39	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
41	40	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)((exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
42		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (exp‘(1 / 𝑦)) → (𝑐 < 𝑥 ↔ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥))
43	42	rspceaimv 3582	. . 3 ⊢ (((exp‘(1 / 𝑦)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)((exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
44	15, 41, 43	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
45	12, 44	mprgbir 3083	1 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204  +∞cpnf 11343   < clt 11346   / cdiv 11976  ℝ⁺crp 13123  (,)cioo 13479  abscabs 15406   ⇝_𝑟 crli 15657  expce 16232  logclog 26887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192  df-log 26889

This theorem is used by:  logno1  26969  vmalogdivsum2  27870  2vmadivsumlem  27872  selberg4lem1  27892  pntrlog2bndlem2  27910  pntrlog2bndlem4  27912  pntrlog2bndlem5  27913