Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divlogrlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divlogrlim 25224
 Description: The inverse logarithm function converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
divlogrlim (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0

Proof of Theorem divlogrlim
Dummy variables 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioore 12756 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
2 eliooord 12784 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
32simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 < 𝑥)
41, 3rplogcld 25218 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
54rprecred 12430 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
65recnd 10658 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
76rgen 3140 . . . . 5 𝑥 ∈ (1(,)+∞)(1 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ
87a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(1 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
9 ioossre 12786 . . . . 5 (1(,)+∞) ⊆ ℝ
109a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
118, 10rlim0lt 14857 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦)))
1211mptru 1545 . 2 ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
13 id 22 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)
1413rprecred 12430 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
1514reefcld 15432 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ+ → (exp‘(1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
165ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
171ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
183ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 < 𝑥)
1917, 18rplogcld 25218 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
2019rpreccld 12429 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2120rpge0d 12423 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 0 ≤ (1 / (log‘𝑥)))
2216, 21absidd 14773 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) = (1 / (log‘𝑥)))
23 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ+)
244ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
25 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥)
26 1rp 12381 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ+)
2827rpred 12419 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ)
2928, 17, 18ltled 10777 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 ≤ 𝑥)
3017, 27, 29rpgecld 12458 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3130reeflogd 25213 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (exp‘(log‘𝑥)) = 𝑥)
3225, 31breqtrrd 5070 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (exp‘(1 / 𝑦)) < (exp‘(log‘𝑥)))
3323rprecred 12430 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
3424rpred 12419 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
35 eflt 15461 . . . . . . . . 9 (((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑥) ∈ ℝ) → ((1 / 𝑦) < (log‘𝑥) ↔ (exp‘(1 / 𝑦)) < (exp‘(log‘𝑥))))
3633, 34, 35syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → ((1 / 𝑦) < (log‘𝑥) ↔ (exp‘(1 / 𝑦)) < (exp‘(log‘𝑥))))
3732, 36mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / 𝑦) < (log‘𝑥))
3823, 24, 37ltrec1d 12439 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / (log‘𝑥)) < 𝑦)
3922, 38eqbrtrd 5064 . . . . 5 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦)
4039ex 416 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
4140ralrimiva 3174 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ+ → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)((exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
42 breq1 5045 . . . 4 (𝑐 = (exp‘(1 / 𝑦)) → (𝑐 < 𝑥 ↔ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥))
4342rspceaimv 3603 . . 3 (((exp‘(1 / 𝑦)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)((exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
4415, 41, 43syl2anc 587 . 2 (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
4512, 44mprgbir 3145 1 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130  ∃wrex 3131   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  +∞cpnf 10661   < clt 10664   / cdiv 11286  ℝ+crp 12377  (,)cioo 12726  abscabs 14584   ⇝𝑟 crli 14833  expce 15406  logclog 25144 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-ef 15412  df-sin 15414  df-cos 15415  df-pi 15417  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-log 25146 This theorem is referenced by:  logno1  25225  vmalogdivsum2  26120  2vmadivsumlem  26122  selberg4lem1  26142  pntrlog2bndlem2  26160  pntrlog2bndlem4  26162  pntrlog2bndlem5  26163
 Copyright terms: Public domain W3C validator