MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divlogrlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divlogrlim 26585
Description: The inverse logarithm function converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
divlogrlim (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0

Proof of Theorem divlogrlim
Dummy variables 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioore 13384 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
2 eliooord 13413 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
32simpld 493 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 < 𝑥)
41, 3rplogcld 26579 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
54rprecred 13057 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
65recnd 11270 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
76rgen 3053 . . . . 5 𝑥 ∈ (1(,)+∞)(1 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ
87a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(1 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
9 ioossre 13415 . . . . 5 (1(,)+∞) ⊆ ℝ
109a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
118, 10rlim0lt 15483 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦)))
1211mptru 1540 . 2 ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
13 id 22 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)
1413rprecred 13057 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
1514reefcld 16062 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ+ → (exp‘(1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
165ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
171ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
183ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 < 𝑥)
1917, 18rplogcld 26579 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
2019rpreccld 13056 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2120rpge0d 13050 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 0 ≤ (1 / (log‘𝑥)))
2216, 21absidd 15399 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) = (1 / (log‘𝑥)))
23 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ+)
244ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
25 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥)
26 1rp 13008 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ+)
2827rpred 13046 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ)
2928, 17, 18ltled 11390 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 ≤ 𝑥)
3017, 27, 29rpgecld 13085 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3130reeflogd 26574 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (exp‘(log‘𝑥)) = 𝑥)
3225, 31breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (exp‘(1 / 𝑦)) < (exp‘(log‘𝑥)))
3323rprecred 13057 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
3424rpred 13046 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
35 eflt 16091 . . . . . . . . 9 (((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑥) ∈ ℝ) → ((1 / 𝑦) < (log‘𝑥) ↔ (exp‘(1 / 𝑦)) < (exp‘(log‘𝑥))))
3633, 34, 35syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → ((1 / 𝑦) < (log‘𝑥) ↔ (exp‘(1 / 𝑦)) < (exp‘(log‘𝑥))))
3732, 36mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / 𝑦) < (log‘𝑥))
3823, 24, 37ltrec1d 13066 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / (log‘𝑥)) < 𝑦)
3922, 38eqbrtrd 5165 . . . . 5 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦)
4039ex 411 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
4140ralrimiva 3136 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ+ → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)((exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
42 breq1 5146 . . . 4 (𝑐 = (exp‘(1 / 𝑦)) → (𝑐 < 𝑥 ↔ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥))
4342rspceaimv 3608 . . 3 (((exp‘(1 / 𝑦)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)((exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
4415, 41, 43syl2anc 582 . 2 (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
4512, 44mprgbir 3058 1 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wtru 1534  wcel 2098  wral 3051  wrex 3060  wss 3940   class class class wbr 5143  cmpt 5226  cfv 6542  (class class class)co 7415  cc 11134  cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137  +∞cpnf 11273   < clt 11276   / cdiv 11899  +crp 13004  (,)cioo 13354  abscabs 15211  𝑟 crli 15459  expce 16035  logclog 26504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-pi 16046  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26506
This theorem is referenced by:  logno1  26586  vmalogdivsum2  27487  2vmadivsumlem  27489  selberg4lem1  27509  pntrlog2bndlem2  27527  pntrlog2bndlem4  27529  pntrlog2bndlem5  27530
  Copyright terms: Public domain W3C validator