MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divlogrlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divlogrlim 24721
Description: The inverse logarithm function converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
divlogrlim (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0

Proof of Theorem divlogrlim
Dummy variables 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioore 12453 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
2 eliooord 12481 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
32simpld 489 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 < 𝑥)
41, 3rplogcld 24715 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
54rprecred 12127 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
65recnd 10358 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
76rgen 3104 . . . . 5 𝑥 ∈ (1(,)+∞)(1 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ
87a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(1 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
9 ioossre 12483 . . . . 5 (1(,)+∞) ⊆ ℝ
109a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
118, 10rlim0lt 14580 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦)))
1211mptru 1661 . 2 ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
13 id 22 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)
1413rprecred 12127 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
1514reefcld 15153 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ+ → (exp‘(1 / 𝑦)) ∈ ℝ)
165ad2antlr 719 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
171ad2antlr 719 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
183ad2antlr 719 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 < 𝑥)
1917, 18rplogcld 24715 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
2019rpreccld 12126 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2120rpge0d 12120 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 0 ≤ (1 / (log‘𝑥)))
2216, 21absidd 14501 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) = (1 / (log‘𝑥)))
23 simpll 784 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ+)
244ad2antlr 719 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
25 simpr 478 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥)
26 1rp 12077 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ+)
2827rpred 12116 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ)
2928, 17, 18ltled 10476 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 1 ≤ 𝑥)
3017, 27, 29rpgecld 12155 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3130reeflogd 24710 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (exp‘(log‘𝑥)) = 𝑥)
3225, 31breqtrrd 4872 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (exp‘(1 / 𝑦)) < (exp‘(log‘𝑥)))
3323rprecred 12127 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
3424rpred 12116 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
35 eflt 15182 . . . . . . . . 9 (((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑥) ∈ ℝ) → ((1 / 𝑦) < (log‘𝑥) ↔ (exp‘(1 / 𝑦)) < (exp‘(log‘𝑥))))
3633, 34, 35syl2anc 580 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → ((1 / 𝑦) < (log‘𝑥) ↔ (exp‘(1 / 𝑦)) < (exp‘(log‘𝑥))))
3732, 36mpbird 249 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / 𝑦) < (log‘𝑥))
3823, 24, 37ltrec1d 12136 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (1 / (log‘𝑥)) < 𝑦)
3922, 38eqbrtrd 4866 . . . . 5 (((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥) → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦)
4039ex 402 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
4140ralrimiva 3148 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ+ → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)((exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
42 breq1 4847 . . . 4 (𝑐 = (exp‘(1 / 𝑦)) → (𝑐 < 𝑥 ↔ (exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥))
4342rspceaimv 3506 . . 3 (((exp‘(1 / 𝑦)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)((exp‘(1 / 𝑦)) < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
4415, 41, 43syl2anc 580 . 2 (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)(𝑐 < 𝑥 → (abs‘(1 / (log‘𝑥))) < 𝑦))
4512, 44mprgbir 3109 1 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wtru 1654  wcel 2157  wral 3090  wrex 3091  wss 3770   class class class wbr 4844  cmpt 4923  cfv 6102  (class class class)co 6879  cc 10223  cr 10224  0cc0 10225  1c1 10226  +∞cpnf 10361   < clt 10364   / cdiv 10977  +crp 12073  (,)cioo 12423  abscabs 14314  𝑟 crli 14556  expce 15127  logclog 24641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303  ax-addf 10304  ax-mulf 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-iin 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-supp 7534  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-2o 7801  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-ixp 8150  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fsupp 8519  df-fi 8560  df-sup 8591  df-inf 8592  df-oi 8658  df-card 9052  df-cda 9279  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-q 12033  df-rp 12074  df-xneg 12192  df-xadd 12193  df-xmul 12194  df-ioo 12427  df-ioc 12428  df-ico 12429  df-icc 12430  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-fl 12847  df-mod 12923  df-seq 13055  df-exp 13114  df-fac 13313  df-bc 13342  df-hash 13370  df-shft 14147  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-limsup 14542  df-clim 14559  df-rlim 14560  df-sum 14757  df-ef 15133  df-sin 15135  df-cos 15136  df-pi 15138  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-starv 16281  df-sca 16282  df-vsca 16283  df-ip 16284  df-tset 16285  df-ple 16286  df-ds 16288  df-unif 16289  df-hom 16290  df-cco 16291  df-rest 16397  df-topn 16398  df-0g 16416  df-gsum 16417  df-topgen 16418  df-pt 16419  df-prds 16422  df-xrs 16476  df-qtop 16481  df-imas 16482  df-xps 16484  df-mre 16560  df-mrc 16561  df-acs 16563  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-submnd 17650  df-mulg 17856  df-cntz 18061  df-cmn 18509  df-psmet 20059  df-xmet 20060  df-met 20061  df-bl 20062  df-mopn 20063  df-fbas 20064  df-fg 20065  df-cnfld 20068  df-top 21026  df-topon 21043  df-topsp 21065  df-bases 21078  df-cld 21151  df-ntr 21152  df-cls 21153  df-nei 21230  df-lp 21268  df-perf 21269  df-cn 21359  df-cnp 21360  df-haus 21447  df-tx 21693  df-hmeo 21886  df-fil 21977  df-fm 22069  df-flim 22070  df-flf 22071  df-xms 22452  df-ms 22453  df-tms 22454  df-cncf 23008  df-limc 23970  df-dv 23971  df-log 24643
This theorem is referenced by:  logno1  24722  vmalogdivsum2  25578  2vmadivsumlem  25580  selberg4lem1  25600  pntrlog2bndlem2  25618  pntrlog2bndlem4  25620  pntrlog2bndlem5  25621
  Copyright terms: Public domain W3C validator