MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2vmadivsumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2vmadivsumlem 26904
Description: Lemma for 2vmadivsum 26905. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
2vmadivsum.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
2vmadivsum.2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘–) / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค ๐ด)
Assertion
Ref Expression
2vmadivsumlem (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2))) โˆˆ ๐‘‚(1))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐œ‘,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘–)

Proof of Theorem 2vmadivsumlem
StepHypRef Expression
1 vmalogdivsum2 26902 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2))) โˆˆ ๐‘‚(1)
21a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2))) โˆˆ ๐‘‚(1))
3 fzfid 13885 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ Fin)
4 elfznn 13477 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
54adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
6 vmacl 26483 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
87, 5nndivred 12214 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
9 fzfid 13885 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ Fin)
10 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
1110adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
12 vmacl 26483 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
1413, 11nndivred 12214 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆˆ โ„)
159, 14fsumrecl 15626 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆˆ โ„)
168, 15remulcld 11192 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) โˆˆ โ„)
173, 16fsumrecl 15626 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) โˆˆ โ„)
18 elioore 13301 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
1918adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
20 eliooord 13330 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†’ (1 < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < +โˆž))
2120adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (1 < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < +โˆž))
2221simpld 496 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 1 < ๐‘ฅ)
2319, 22rplogcld 26000 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
2417, 23rerpdivcld 12995 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
25 1rp 12926 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„+
2625a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
27 1red 11163 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2827, 19, 22ltled 11310 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
2919, 26, 28rpgecld 13003 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
3029relogcld 25994 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3130rehalfcld 12407 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2) โˆˆ โ„)
3224, 31resubcld 11590 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2)) โˆˆ โ„)
3332recnd 11190 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2)) โˆˆ โ„‚)
3429adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
355nnrpd 12962 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
3634, 35rpdivcld 12981 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„+)
3736relogcld 25994 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
388, 37remulcld 11192 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
393, 38fsumrecl 15626 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
4039, 23rerpdivcld 12995 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
4140, 31resubcld 11590 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2)) โˆˆ โ„)
4241recnd 11190 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2)) โˆˆ โ„‚)
4317recnd 11190 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
4439recnd 11190 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
4530recnd 11190 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4623rpne0d 12969 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)
4743, 44, 45, 46divsubdird 11977 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) / (logโ€˜๐‘ฅ))))
488recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
4915recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
5037recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
5148, 49, 50subdid 11618 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) โˆ’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
5251sumeq2dv 15595 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) โˆ’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
5316recnd 11190 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
5438recnd 11190 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
553, 53, 54fsumsub 15680 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) โˆ’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
5652, 55eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
5756oveq1d 7377 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / (logโ€˜๐‘ฅ)))
5824recnd 11190 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
5940recnd 11190 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
6031recnd 11190 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2) โˆˆ โ„‚)
6158, 59, 60nnncan2d 11554 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2)) โˆ’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2))) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) / (logโ€˜๐‘ฅ))))
6247, 57, 613eqtr4d 2787 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2)) โˆ’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2))))
6362mpteq2dva 5210 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / (logโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2)) โˆ’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2)))))
64 1red 11163 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
653, 8fsumrecl 15626 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
6665, 23rerpdivcld 12995 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
67 2vmadivsum.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
6867rpred 12964 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
6968adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
70 ioossre 13332 . . . . . . . 8 (1(,)+โˆž) โŠ† โ„
71 1cnd 11157 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
72 o1const 15509 . . . . . . . 8 (((1(,)+โˆž) โŠ† โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ 1) โˆˆ ๐‘‚(1))
7370, 71, 72sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ 1) โˆˆ ๐‘‚(1))
7466recnd 11190 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
75 1cnd 11157 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7665recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
7776, 45, 45, 46divsubdird 11977 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)) / (logโ€˜๐‘ฅ)) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜๐‘ฅ))))
7876, 45subcld 11519 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
7978, 45, 46divrecd 11941 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)) / (logโ€˜๐‘ฅ)) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / (logโ€˜๐‘ฅ))))
8045, 46dividd 11936 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜๐‘ฅ)) = 1)
8180oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜๐‘ฅ))) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 1))
8277, 79, 813eqtr3d 2785 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / (logโ€˜๐‘ฅ))) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 1))
8382mpteq2dva 5210 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / (logโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 1)))
8465, 30resubcld 11590 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8527, 23rerpdivcld 12995 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (1 / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8629ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+))
8786ssrdv 3955 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1(,)+โˆž) โŠ† โ„+)
88 vmadivsum 26846 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
9087, 89o1res2 15452 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
91 divlogrlim 26006 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (1 / (logโ€˜๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ 0
92 rlimo1 15506 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (1 / (logโ€˜๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ 0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (1 / (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
9391, 92mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (1 / (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
9484, 85, 90, 93o1mul2 15514 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1))
9583, 94eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 1)) โˆˆ ๐‘‚(1))
9674, 75, 95o1dif 15519 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ 1) โˆˆ ๐‘‚(1)))
9773, 96mpbird 257 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
9868recnd 11190 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
99 o1const 15509 . . . . . . 7 (((1(,)+โˆž) โŠ† โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ ๐‘‚(1))
10070, 98, 99sylancr 588 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ ๐‘‚(1))
10166, 69, 97, 100o1mul2 15514 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ด)) โˆˆ ๐‘‚(1))
10266, 69remulcld 11192 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
10315, 37resubcld 11590 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
1048, 103remulcld 11192 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
1053, 104fsumrecl 15626 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
106105recnd 11190 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„‚)
107106, 45, 46divcld 11938 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
108106abscld 15328 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) โˆˆ โ„)
10965, 69remulcld 11192 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
110104recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„‚)
111110abscld 15328 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (absโ€˜(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) โˆˆ โ„)
1123, 111fsumrecl 15626 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(absโ€˜(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) โˆˆ โ„)
1133, 110fsumabs 15693 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(absโ€˜(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))))
11469adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1158, 114remulcld 11192 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
116103recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
11748, 116absmuld 15346 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (absโ€˜(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) = ((absโ€˜((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) ยท (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))))
118 vmage0 26486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (ฮ›โ€˜๐‘›))
1195, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค (ฮ›โ€˜๐‘›))
1207, 35, 119divge0d 13004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›))
1218, 120absidd 15314 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (absโ€˜((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) = ((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›))
122121oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((absโ€˜((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) ยท (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))))
123117, 122eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (absโ€˜(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))))
124116abscld 15328 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
125 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘– = ๐‘š โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘–) = (ฮ›โ€˜๐‘š))
126 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘– = ๐‘š โ†’ ๐‘– = ๐‘š)
127125, 126oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘– = ๐‘š โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘–) / ๐‘–) = ((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š))
128127cbvsumv 15588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘–) / ๐‘–) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)
129 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ / ๐‘›) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฆ) = (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))
130129oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ / ๐‘›) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ)) = (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))
131130sumeq1d 15593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ / ๐‘›) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š))
132128, 131eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ / ๐‘›) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘–) / ๐‘–) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š))
133 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ / ๐‘›) โ†’ (logโ€˜๐‘ฆ) = (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))
134132, 133oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ / ๐‘›) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘–) / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฆ)) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))
135134fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ / ๐‘›) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘–) / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฆ))) = (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
136135breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ / ๐‘›) โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘–) / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค ๐ด โ†” (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ‰ค ๐ด))
137 2vmadivsum.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘–) / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค ๐ด)
138137ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘–) / ๐‘–) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฆ))) โ‰ค ๐ด)
13936rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„)
1405nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
141140mulid2d 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (1 ยท ๐‘›) = ๐‘›)
142 fznnfl 13774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค ๐‘ฅ)))
14319, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค ๐‘ฅ)))
144143simplbda 501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘ฅ)
145141, 144eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (1 ยท ๐‘›) โ‰ค ๐‘ฅ)
146 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
14719adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
148146, 147, 35lemuldivd 13013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((1 ยท ๐‘›) โ‰ค ๐‘ฅ โ†” 1 โ‰ค (๐‘ฅ / ๐‘›)))
149145, 148mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ฅ / ๐‘›))
150 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ โ„
151 elicopnf 13369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†” ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค (๐‘ฅ / ๐‘›))))
152150, 151ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†” ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค (๐‘ฅ / ๐‘›)))
153139, 149, 152sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ (1[,)+โˆž))
154136, 138, 153rspcdva 3585 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ‰ค ๐ด)
155124, 114, 8, 120, 154lemul2ad 12102 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) โ‰ค (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐ด))
156123, 155eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (absโ€˜(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) โ‰ค (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐ด))
1573, 111, 115, 156fsumle 15691 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(absโ€˜(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐ด))
15898adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1593, 158, 48fsummulc1 15677 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐ด))
160157, 159breqtrrd 5138 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(absโ€˜(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐ด))
161108, 112, 109, 113, 160letrd 11319 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐ด))
162108, 109, 23, 161lediv1dd 13022 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐ด) / (logโ€˜๐‘ฅ)))
163106, 45, 46absdivd 15347 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / (logโ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) / (absโ€˜(logโ€˜๐‘ฅ))))
16423rpge0d 12968 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
16530, 164absidd 15314 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜๐‘ฅ)) = (logโ€˜๐‘ฅ))
166165oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) / (absโ€˜(logโ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) / (logโ€˜๐‘ฅ)))
167163, 166eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / (logโ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))) / (logโ€˜๐‘ฅ)))
1683, 8, 120fsumge0 15687 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›))
16965, 23, 168divge0d 13004 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)))
17067adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
171170rpge0d 12968 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
17266, 69, 169, 171mulge0d 11739 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ด))
173102, 172absidd 15314 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ด)) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ด))
17476, 158, 45, 46div23d 11975 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐ด) / (logโ€˜๐‘ฅ)) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ด))
175173, 174eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ด)) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐ด) / (logโ€˜๐‘ฅ)))
176162, 167, 1753brtr4d 5142 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / (logโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ด)))
177176adantrr 716 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / (logโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ด)))
17864, 101, 102, 107, 177o1le 15544 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
17963, 178eqeltrrd 2839 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2)) โˆ’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2)))) โˆˆ ๐‘‚(1))
18033, 42, 179o1dif 15519 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2))) โˆˆ ๐‘‚(1) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท (logโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2))) โˆˆ ๐‘‚(1)))
1812, 180mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) / ๐‘š)) / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / 2))) โˆˆ ๐‘‚(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065   โŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063  +โˆžcpnf 11193   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„+crp 12922  (,)cioo 13271  [,)cico 13273  ...cfz 13431  โŒŠcfl 13702  abscabs 15126   โ‡๐‘Ÿ crli 15374  ๐‘‚(1)co1 15375  ฮฃcsu 15577  logclog 25926  ฮ›cvma 26457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928  df-cxp 25929  df-atan 26233  df-em 26358  df-cht 26462  df-vma 26463  df-chp 26464  df-ppi 26465
This theorem is referenced by:  2vmadivsum  26905
  Copyright terms: Public domain W3C validator