Theorem selberg34r 27480

Description: The sum of selberg3r 27478 and selberg4r 27479. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntrval.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
selberg34r	⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑎,𝑛,𝑥   𝑦,𝑚,𝑅,𝑛,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem selberg34r

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12202	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
3		elioore 13278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5		1rp 12897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
7		1red 11116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
8		eliooord 13308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
10	9	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
11	7, 4, 10	ltled 11264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
12	4, 6, 11	rpgecld 12976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13		pntrval.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
14	13	pntrf 27472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅:ℝ+⟶ℝ
15	14	ffvelcdmi 7017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅‘𝑥) ∈ ℝ)
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅‘𝑥) ∈ ℝ)
17	12	relogcld 26530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
18	16, 17	remulcld 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	2, 18	remulcld 11145	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11143	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
21	4, 10	rplogcld 26536	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
22	2, 21	rerpdivcld 12968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11143	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
24		fzfid 13880	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
25	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
26		elfznn 13456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 12935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
29	25, 28	rpdivcld 12954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
30	14	ffvelcdmi 7017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
32		fzfid 13880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
33		dvdsssfz1 16229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
34	27, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
35	32, 34	ssfid 9158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ∈ Fin)
36		ssrab2 4031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ ℕ
37		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
38	36, 37	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ ℕ)
39		vmacl 27026	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
41		dvdsdivcl 16227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
42	27, 41	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
43	36, 42	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ)
44		vmacl 27026	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
46	40, 45	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
47	35, 46	fsumrecl 15641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
48		vmacl 27026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
49	27, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
50	28	relogcld 26530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
51	49, 50	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
52	47, 51	resubcld 11548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
53	31, 52	remulcld 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
54	24, 53	fsumrecl 15641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11143	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) ∈ ℂ)
56	23, 55	mulcld 11135	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) ∈ ℂ)
57	20, 56	subcld 11475	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) ∈ ℂ)
58	4	recnd 11143	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
59		2cnd 12206	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℂ)
60	12	rpne0d 12942	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
61		2ne0 12232	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
62	61	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ≠ 0)
63	57, 58, 59, 60, 62	divdiv32d 11925	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) / 2) = ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) / 𝑥))
64	57, 58, 60	divcld 11900	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) ∈ ℂ)
65	64, 59, 62	divrecd 11903	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) / 2) = ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2)))
66	20, 56, 59, 62	divsubdird 11939	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) = (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) / 2) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2)))
67	18	recnd 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
68	67, 59, 62	divcan3d 11905	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) / 2) = ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)))
69	21	rpcnd 12939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
70	21	rpne0d 12942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ≠ 0)
71	59, 69, 55, 70	div32d 11923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) = (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))))
72	71	oveq1d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2) = ((2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 2))
73	54, 21	rerpdivcld 12968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
75	74, 59, 62	divcan3d 11905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 2) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)))
76	72, 75	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)))
77	68, 76	oveq12d 7367	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) / 2) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2)) = (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))))
78	66, 77	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) = (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))))
79	78	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) / 𝑥) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥))
80	63, 65, 79	3eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2)) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥))
81	80	mpteq2dva 5185	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2))) = (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)))
82	22, 54	remulcld 11145	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) ∈ ℝ)
83	19, 82	resubcld 11548	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) ∈ ℝ)
84	83, 12	rerpdivcld 12968	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) ∈ ℝ)
85	7	rehalfcld 12371	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
86	31	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
87	47	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
88	49	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
89	50	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
90	88, 89	mulcld 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
91	86, 87, 90	subdid 11576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))
92	86, 88, 89	mul12d 11325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))) = ((Λ‘𝑛) · ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (log‘𝑛))))
93	88, 86, 89	mulassd 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) = ((Λ‘𝑛) · ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (log‘𝑛))))
94	92, 93	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))) = (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
95	94	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
96	91, 95	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
97	96	sumeq2dv 15609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
98	86, 87	mulcld 11135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) ∈ ℂ)
99	88, 86	mulcld 11135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
100	99, 89	mulcld 11135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
101	24, 98, 100	fsumsub 15695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
102	46	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
103	35, 86, 102	fsummulc2 15691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
104	103	sumeq2dv 15609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
105		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (𝑥 / 𝑛) = (𝑥 / (𝑚 · 𝑘)))
106	105	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) = (𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))))
107		fvoveq1 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) = (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))
108	107	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
109	106, 108	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = ((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))))
110	31	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
111	40	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
112	45	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
113	111, 112	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
114	110, 113	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) ∈ ℝ)
115	114	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) ∈ ℂ)
116	109, 4, 115	dvdsflsumcom 27096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))))
117	58	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
118		elfznn 13456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℕ)
119	118	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℕ)
120	119	nnrpd 12935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
121	120	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
122	121	rpcnd 12939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
123		elfznn 13456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚))) → 𝑘 ∈ ℕ)
124	123	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
125	124	nncnd 12144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
126	121	rpne0d 12942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑚 ≠ 0)
127	124	nnne0d 12178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ≠ 0)
128	117, 122, 125, 126, 127	divdiv1d 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑥 / 𝑚) / 𝑘) = (𝑥 / (𝑚 · 𝑘)))
129	128	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑥 / (𝑚 · 𝑘)) = ((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))
130	129	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) = (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))
131	125, 122, 126	divcan3d 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑚 · 𝑘) / 𝑚) = 𝑘)
132	131	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)) = (Λ‘𝑘))
133	132	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
134	130, 133	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = ((𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘))))
135	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
136	135, 121	rpdivcld 12954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑥 / 𝑚) ∈ ℝ+)
137	124	nnrpd 12935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℝ+)
138	136, 137	rpdivcld 12954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑥 / 𝑚) / 𝑘) ∈ ℝ+)
139	14	ffvelcdmi 7017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 / 𝑚) / 𝑘) ∈ ℝ+ → (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) ∈ ℝ)
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) ∈ ℝ)
141	140	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) ∈ ℂ)
142	119, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
143	142	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℂ)
144	143	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℂ)
145		vmacl 27026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
146	124, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
147	146	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
148	144, 147	mulcld 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)) ∈ ℂ)
149	141, 148	mulcomd 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘))) = (((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))
150	144, 147, 141	mulassd 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) = ((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
151	134, 149, 150	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = ((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
152	151	sumeq2dv 15609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
153		fzfid 13880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚))) ∈ Fin)
154	146, 140	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) ∈ ℝ)
155	154	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) ∈ ℂ)
156	153, 143, 155	fsummulc2 15691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
157	152, 156	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
158	157	sumeq2dv 15609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
159	104, 116, 158	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
160	159	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
161	97, 101, 160	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
162	161	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) = ((2 / (log‘𝑥)) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
163	153, 154	fsumrecl 15641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) ∈ ℝ)
164	142, 163	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) ∈ ℝ)
165	24, 164	fsumrecl 15641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) ∈ ℝ)
166	165	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) ∈ ℂ)
167	49, 31	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
168	167, 50	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
169	24, 168	fsumrecl 15641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
170	169	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
171	23, 166, 170	subdid 11576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) = (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
172	162, 171	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) = (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
173	172	oveq2d 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) = ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))))
174	23, 166	mulcld 11135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) ∈ ℂ)
175	22, 169	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
176	175	recnd 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℂ)
177	20, 174, 176	subsub3d 11505	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))) = (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))))
178	173, 177	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) = (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))))
179	67	2timesd 12367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) = (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))))
180	179	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
181	67, 176, 67	add32d 11344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
182	180, 181	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))))
183	182	oveq1d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) = (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))))
184	18, 175	readdcld 11144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
185	184	recnd 11143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℂ)
186	185, 67, 174	addsubassd 11495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))))
187	178, 183, 186	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))))
188	187	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) = (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))) / 𝑥))
189	67, 174	subcld 11475	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) ∈ ℂ)
190	185, 189, 58, 60	divdird 11938	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))) / 𝑥) = (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)))
191	188, 190	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) = (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)))
192	191	mpteq2dva 5185	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥))))
193	184, 12	rerpdivcld 12968	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ∈ ℝ)
194	22, 165	remulcld 11145	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) ∈ ℝ)
195	18, 194	resubcld 11548	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) ∈ ℝ)
196	195, 12	rerpdivcld 12968	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥) ∈ ℝ)
197	13	selberg3r 27478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
198	197	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
199	13	selberg4r 27479	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
200	199	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
201	193, 196, 198, 200	o1add2 15531	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥))) ∈ 𝑂(1))
202	192, 201	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
203		ioossre 13310	. . . . 5 ⊢ (1(,)+∞) ⊆ ℝ
204		1cnd 11110	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
205	204	halfcld 12369	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
206		o1const 15527	. . . . 5 ⊢ (((1(,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / 2)) ∈ 𝑂(1))
207	203, 205, 206	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / 2)) ∈ 𝑂(1))
208	84, 85, 202, 207	o1mul2 15532	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2))) ∈ 𝑂(1))
209	81, 208	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
210	209	mptru 1547	1 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3394   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  +∞cpnf 11146   < clt 11149   − cmin 11347   / cdiv 11777  ℕcn 12128  2c2 12183  ℝ⁺crp 12893  (,)cioo 13248  ...cfz 13410  ⌊cfl 13694  𝑂(1)co1 15393  Σcsu 15593   ∥ cdvds 16163  logclog 26461  Λcvma 27000  ψcchp 27001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-o1 15397  df-lo1 15398  df-sum 15594  df-ef 15974  df-e 15975  df-sin 15976  df-cos 15977  df-tan 15978  df-pi 15979  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-pc 16749  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-cmp 23272  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766  df-ulm 26284  df-log 26463  df-cxp 26464  df-atan 26775  df-em 26901  df-cht 27005  df-vma 27006  df-chp 27007  df-ppi 27008  df-mu 27009

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem1  27486