Theorem selberg34r 27489

Description: The sum of selberg3r 27487 and selberg4r 27488. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntrval.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
selberg34r	⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑎,𝑛,𝑥   𝑦,𝑚,𝑅,𝑛,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem selberg34r

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12267	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
3		elioore 13343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5		1rp 12962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
7		1red 11182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
8		eliooord 13373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
10	9	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
11	7, 4, 10	ltled 11329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
12	4, 6, 11	rpgecld 13041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13		pntrval.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
14	13	pntrf 27481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅:ℝ+⟶ℝ
15	14	ffvelcdmi 7058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅‘𝑥) ∈ ℝ)
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅‘𝑥) ∈ ℝ)
17	12	relogcld 26539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
18	16, 17	remulcld 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	2, 18	remulcld 11211	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
21	4, 10	rplogcld 26545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
22	2, 21	rerpdivcld 13033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
24		fzfid 13945	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
25	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
26		elfznn 13521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 13000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
29	25, 28	rpdivcld 13019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
30	14	ffvelcdmi 7058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
32		fzfid 13945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
33		dvdsssfz1 16295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
34	27, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
35	32, 34	ssfid 9219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ∈ Fin)
36		ssrab2 4046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ ℕ
37		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
38	36, 37	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ ℕ)
39		vmacl 27035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
41		dvdsdivcl 16293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
42	27, 41	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
43	36, 42	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ)
44		vmacl 27035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
46	40, 45	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
47	35, 46	fsumrecl 15707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
48		vmacl 27035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
49	27, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
50	28	relogcld 26539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
51	49, 50	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
52	47, 51	resubcld 11613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
53	31, 52	remulcld 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
54	24, 53	fsumrecl 15707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) ∈ ℂ)
56	23, 55	mulcld 11201	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) ∈ ℂ)
57	20, 56	subcld 11540	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) ∈ ℂ)
58	4	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
59		2cnd 12271	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℂ)
60	12	rpne0d 13007	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
61		2ne0 12297	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
62	61	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ≠ 0)
63	57, 58, 59, 60, 62	divdiv32d 11990	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) / 2) = ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) / 𝑥))
64	57, 58, 60	divcld 11965	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) ∈ ℂ)
65	64, 59, 62	divrecd 11968	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) / 2) = ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2)))
66	20, 56, 59, 62	divsubdird 12004	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) = (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) / 2) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2)))
67	18	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
68	67, 59, 62	divcan3d 11970	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) / 2) = ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)))
69	21	rpcnd 13004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
70	21	rpne0d 13007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ≠ 0)
71	59, 69, 55, 70	div32d 11988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) = (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))))
72	71	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2) = ((2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 2))
73	54, 21	rerpdivcld 13033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
75	74, 59, 62	divcan3d 11970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 2) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)))
76	72, 75	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)))
77	68, 76	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) / 2) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2)) = (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))))
78	66, 77	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) = (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))))
79	78	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) / 𝑥) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥))
80	63, 65, 79	3eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2)) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥))
81	80	mpteq2dva 5203	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2))) = (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)))
82	22, 54	remulcld 11211	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) ∈ ℝ)
83	19, 82	resubcld 11613	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) ∈ ℝ)
84	83, 12	rerpdivcld 13033	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) ∈ ℝ)
85	7	rehalfcld 12436	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
86	31	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
87	47	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
88	49	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
89	50	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
90	88, 89	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
91	86, 87, 90	subdid 11641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))
92	86, 88, 89	mul12d 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))) = ((Λ‘𝑛) · ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (log‘𝑛))))
93	88, 86, 89	mulassd 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) = ((Λ‘𝑛) · ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (log‘𝑛))))
94	92, 93	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))) = (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
95	94	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
96	91, 95	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
97	96	sumeq2dv 15675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
98	86, 87	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) ∈ ℂ)
99	88, 86	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
100	99, 89	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
101	24, 98, 100	fsumsub 15761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
102	46	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
103	35, 86, 102	fsummulc2 15757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
104	103	sumeq2dv 15675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
105		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (𝑥 / 𝑛) = (𝑥 / (𝑚 · 𝑘)))
106	105	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) = (𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))))
107		fvoveq1 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) = (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))
108	107	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
109	106, 108	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = ((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))))
110	31	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
111	40	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
112	45	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
113	111, 112	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
114	110, 113	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) ∈ ℝ)
115	114	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) ∈ ℂ)
116	109, 4, 115	dvdsflsumcom 27105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))))
117	58	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
118		elfznn 13521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℕ)
119	118	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℕ)
120	119	nnrpd 13000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
121	120	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
122	121	rpcnd 13004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
123		elfznn 13521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚))) → 𝑘 ∈ ℕ)
124	123	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
125	124	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
126	121	rpne0d 13007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑚 ≠ 0)
127	124	nnne0d 12243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ≠ 0)
128	117, 122, 125, 126, 127	divdiv1d 11996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑥 / 𝑚) / 𝑘) = (𝑥 / (𝑚 · 𝑘)))
129	128	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑥 / (𝑚 · 𝑘)) = ((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))
130	129	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) = (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))
131	125, 122, 126	divcan3d 11970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑚 · 𝑘) / 𝑚) = 𝑘)
132	131	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)) = (Λ‘𝑘))
133	132	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
134	130, 133	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = ((𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘))))
135	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
136	135, 121	rpdivcld 13019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑥 / 𝑚) ∈ ℝ+)
137	124	nnrpd 13000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℝ+)
138	136, 137	rpdivcld 13019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑥 / 𝑚) / 𝑘) ∈ ℝ+)
139	14	ffvelcdmi 7058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 / 𝑚) / 𝑘) ∈ ℝ+ → (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) ∈ ℝ)
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) ∈ ℝ)
141	140	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) ∈ ℂ)
142	119, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
143	142	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℂ)
144	143	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℂ)
145		vmacl 27035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
146	124, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
147	146	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
148	144, 147	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)) ∈ ℂ)
149	141, 148	mulcomd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘))) = (((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))
150	144, 147, 141	mulassd 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) = ((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
151	134, 149, 150	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = ((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
152	151	sumeq2dv 15675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
153		fzfid 13945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚))) ∈ Fin)
154	146, 140	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) ∈ ℝ)
155	154	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) ∈ ℂ)
156	153, 143, 155	fsummulc2 15757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
157	152, 156	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
158	157	sumeq2dv 15675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
159	104, 116, 158	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
160	159	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
161	97, 101, 160	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
162	161	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) = ((2 / (log‘𝑥)) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
163	153, 154	fsumrecl 15707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) ∈ ℝ)
164	142, 163	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) ∈ ℝ)
165	24, 164	fsumrecl 15707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) ∈ ℝ)
166	165	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) ∈ ℂ)
167	49, 31	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
168	167, 50	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
169	24, 168	fsumrecl 15707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
170	169	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
171	23, 166, 170	subdid 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) = (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
172	162, 171	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) = (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
173	172	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) = ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))))
174	23, 166	mulcld 11201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) ∈ ℂ)
175	22, 169	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
176	175	recnd 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℂ)
177	20, 174, 176	subsub3d 11570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))) = (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))))
178	173, 177	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) = (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))))
179	67	2timesd 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) = (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))))
180	179	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
181	67, 176, 67	add32d 11409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
182	180, 181	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))))
183	182	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) = (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))))
184	18, 175	readdcld 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
185	184	recnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℂ)
186	185, 67, 174	addsubassd 11560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))))
187	178, 183, 186	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))))
188	187	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) = (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))) / 𝑥))
189	67, 174	subcld 11540	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) ∈ ℂ)
190	185, 189, 58, 60	divdird 12003	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))) / 𝑥) = (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)))
191	188, 190	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) = (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)))
192	191	mpteq2dva 5203	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥))))
193	184, 12	rerpdivcld 13033	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ∈ ℝ)
194	22, 165	remulcld 11211	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) ∈ ℝ)
195	18, 194	resubcld 11613	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) ∈ ℝ)
196	195, 12	rerpdivcld 13033	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥) ∈ ℝ)
197	13	selberg3r 27487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
198	197	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
199	13	selberg4r 27488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
200	199	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
201	193, 196, 198, 200	o1add2 15597	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥))) ∈ 𝑂(1))
202	192, 201	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
203		ioossre 13375	. . . . 5 ⊢ (1(,)+∞) ⊆ ℝ
204		1cnd 11176	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
205	204	halfcld 12434	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
206		o1const 15593	. . . . 5 ⊢ (((1(,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / 2)) ∈ 𝑂(1))
207	203, 205, 206	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / 2)) ∈ 𝑂(1))
208	84, 85, 202, 207	o1mul2 15598	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2))) ∈ 𝑂(1))
209	81, 208	eqeltrrd 2830	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
210	209	mptru 1547	1 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  +∞cpnf 11212   < clt 11215   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ℝ⁺crp 12958  (,)cioo 13313  ...cfz 13475  ⌊cfl 13759  𝑂(1)co1 15459  Σcsu 15659   ∥ cdvds 16229  logclog 26470  Λcvma 27009  ψcchp 27010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-o1 15463  df-lo1 15464  df-sum 15660  df-ef 16040  df-e 16041  df-sin 16042  df-cos 16043  df-tan 16044  df-pi 16045  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649  df-pc 16815  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-ulm 26293  df-log 26472  df-cxp 26473  df-atan 26784  df-em 26910  df-cht 27014  df-vma 27015  df-chp 27016  df-ppi 27017  df-mu 27018

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem1  27495