MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  selberg34r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selberg34r 27615
Description: The sum of selberg3r 27613 and selberg4r 27614. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
selberg34r (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑎,𝑛,𝑥   𝑦,𝑚,𝑅,𝑛,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem selberg34r
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 12340 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
3 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
43adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5 1rp 13038 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
65a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
7 1red 11262 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
8 eliooord 13446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
98adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
109simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
117, 4, 10ltled 11409 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
124, 6, 11rpgecld 13116 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13 pntrval.r . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
1413pntrf 27607 . . . . . . . . . . . 12 𝑅:ℝ+⟶ℝ
1514ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) ∈ ℝ)
1612, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅𝑥) ∈ ℝ)
1712relogcld 26665 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
1816, 17remulcld 11291 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
192, 18remulcld 11291 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
2019recnd 11289 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
214, 10rplogcld 26671 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
222, 21rerpdivcld 13108 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
2322recnd 11289 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
24 fzfid 14014 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2512adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
26 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
2827nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2925, 28rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3014ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
32 fzfid 14014 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
33 dvdsssfz1 16355 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ⊆ (1...𝑛))
3427, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ⊆ (1...𝑛))
3532, 34ssfid 9301 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ∈ Fin)
36 ssrab2 4080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ⊆ ℕ
37 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})
3836, 37sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → 𝑚 ∈ ℕ)
39 vmacl 27161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
41 dvdsdivcl 16353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})
4227, 41sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})
4336, 42sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ)
44 vmacl 27161 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
4640, 45remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
4735, 46fsumrecl 15770 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
48 vmacl 27161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
4927, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
5028relogcld 26665 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
5149, 50remulcld 11291 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
5247, 51resubcld 11691 . . . . . . . . . . 11 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
5331, 52remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
5424, 53fsumrecl 15770 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
5554recnd 11289 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) ∈ ℂ)
5623, 55mulcld 11281 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) ∈ ℂ)
5720, 56subcld 11620 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) ∈ ℂ)
584recnd 11289 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
59 2cnd 12344 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℂ)
6012rpne0d 13082 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
61 2ne0 12370 . . . . . . 7 2 ≠ 0
6261a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ≠ 0)
6357, 58, 59, 60, 62divdiv32d 12068 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) / 2) = ((((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) / 𝑥))
6457, 58, 60divcld 12043 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) ∈ ℂ)
6564, 59, 62divrecd 12046 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) / 2) = ((((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2)))
6620, 56, 59, 62divsubdird 12082 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) = (((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) / 2) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2)))
6718recnd 11289 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
6867, 59, 62divcan3d 12048 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) / 2) = ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)))
6921rpcnd 13079 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
7021rpne0d 13082 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ≠ 0)
7159, 69, 55, 70div32d 12066 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) = (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))))
7271oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2) = ((2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 2))
7354, 21rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
7473recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
7574, 59, 62divcan3d 12048 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 2) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)))
7672, 75eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)))
7768, 76oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) / 2) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2)) = (((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))))
7866, 77eqtrd 2777 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) = (((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))))
7978oveq1d 7446 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) / 𝑥) = ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥))
8063, 65, 793eqtr3d 2785 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2)) = ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥))
8180mpteq2dva 5242 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2))) = (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)))
8222, 54remulcld 11291 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) ∈ ℝ)
8319, 82resubcld 11691 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) ∈ ℝ)
8483, 12rerpdivcld 13108 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) ∈ ℝ)
857rehalfcld 12513 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
8631recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
8747recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
8849recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
8950recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
9088, 89mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
9186, 87, 90subdid 11719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))
9286, 88, 89mul12d 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))) = ((Λ‘𝑛) · ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (log‘𝑛))))
9388, 86, 89mulassd 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) = ((Λ‘𝑛) · ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (log‘𝑛))))
9492, 93eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))) = (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
9594oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
9691, 95eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
9796sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
9886, 87mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) ∈ ℂ)
9988, 86mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
10099, 89mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
10124, 98, 100fsumsub 15824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
10246recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
10335, 86, 102fsummulc2 15820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
104103sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
105 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (𝑥 / 𝑛) = (𝑥 / (𝑚 · 𝑘)))
106105fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) = (𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))))
107 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) = (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))
108107oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
109106, 108oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = ((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))))
11031adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
11140anasss 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
11245anasss 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
113111, 112remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
114110, 113remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) ∈ ℝ)
115114recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) ∈ ℂ)
116109, 4, 115dvdsflsumcom 27231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))))
11758ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
118 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℕ)
119118adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℕ)
120119nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
122121rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
123 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚))) → 𝑘 ∈ ℕ)
124123adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
125124nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
126121rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑚 ≠ 0)
127124nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ≠ 0)
128117, 122, 125, 126, 127divdiv1d 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑥 / 𝑚) / 𝑘) = (𝑥 / (𝑚 · 𝑘)))
129128eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑥 / (𝑚 · 𝑘)) = ((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))
130129fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) = (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))
131125, 122, 126divcan3d 12048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑚 · 𝑘) / 𝑚) = 𝑘)
132131fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)) = (Λ‘𝑘))
133132oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
134130, 133oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = ((𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘))))
13512ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
136135, 121rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑥 / 𝑚) ∈ ℝ+)
137124nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℝ+)
138136, 137rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑥 / 𝑚) / 𝑘) ∈ ℝ+)
13914ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 / 𝑚) / 𝑘) ∈ ℝ+ → (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) ∈ ℝ)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) ∈ ℝ)
141140recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) ∈ ℂ)
142119, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
143142recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℂ)
144143adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℂ)
145 vmacl 27161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
146124, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
147146recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
148144, 147mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)) ∈ ℂ)
149141, 148mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘))) = (((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))
150144, 147, 141mulassd 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) = ((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
151134, 149, 1503eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = ((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
152151sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
153 fzfid 14014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚))) ∈ Fin)
154146, 140remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) ∈ ℝ)
155154recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) ∈ ℂ)
156153, 143, 155fsummulc2 15820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
157152, 156eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
158157sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
159104, 116, 1583eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
160159oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
16197, 101, 1603eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
162161oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) = ((2 / (log‘𝑥)) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
163153, 154fsumrecl 15770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) ∈ ℝ)
164142, 163remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) ∈ ℝ)
16524, 164fsumrecl 15770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) ∈ ℝ)
166165recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) ∈ ℂ)
16749, 31remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
168167, 50remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
16924, 168fsumrecl 15770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
170169recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
17123, 166, 170subdid 11719 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) = (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
172162, 171eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) = (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
173172oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) = ((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))))
17423, 166mulcld 11281 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) ∈ ℂ)
17522, 169remulcld 11291 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
176175recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℂ)
17720, 174, 176subsub3d 11650 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))) = (((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))))
178173, 177eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) = (((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))))
179672timesd 12509 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) = (((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))))
180179oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) = ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
18167, 176, 67add32d 11489 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) = ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
182180, 181eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) = ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))))
183182oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) = (((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))))
18418, 175readdcld 11290 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
185184recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℂ)
186185, 67, 174addsubassd 11640 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) = ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))))
187178, 183, 1863eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) = ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))))
188187oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) = (((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))) / 𝑥))
18967, 174subcld 11620 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) ∈ ℂ)
190185, 189, 58, 60divdird 12081 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))) / 𝑥) = (((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)))
191188, 190eqtrd 2777 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) = (((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)))
192191mpteq2dva 5242 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥))))
193184, 12rerpdivcld 13108 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ∈ ℝ)
19422, 165remulcld 11291 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) ∈ ℝ)
19518, 194resubcld 11691 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) ∈ ℝ)
196195, 12rerpdivcld 13108 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥) ∈ ℝ)
19713selberg3r 27613 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
198197a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
19913selberg4r 27614 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
200199a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
201193, 196, 198, 200o1add2 15660 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥))) ∈ 𝑂(1))
202192, 201eqeltrd 2841 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
203 ioossre 13448 . . . . 5 (1(,)+∞) ⊆ ℝ
204 1cnd 11256 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
205204halfcld 12511 . . . . 5 (⊤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
206 o1const 15656 . . . . 5 (((1(,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / 2)) ∈ 𝑂(1))
207203, 205, 206sylancr 587 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / 2)) ∈ 𝑂(1))
20884, 85, 202, 207o1mul2 15661 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((2 · ((𝑅𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2))) ∈ 𝑂(1))
20981, 208eqeltrrd 2842 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
210209mptru 1547 1 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292   < clt 11295  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  +crp 13034  (,)cioo 13387  ...cfz 13547  cfl 13830  𝑂(1)co1 15522  Σcsu 15722  cdvds 16290  logclog 26596  Λcvma 27135  ψcchp 27136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-o1 15526  df-lo1 15527  df-sum 15723  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ulm 26420  df-log 26598  df-cxp 26599  df-atan 26910  df-em 27036  df-cht 27140  df-vma 27141  df-chp 27142  df-ppi 27143  df-mu 27144
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem1  27621
  Copyright terms: Public domain W3C validator