Theorem logno1 26755

Description: The logarithm function is not eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logno1	⊢ ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem logno1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13390	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (1(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
2	1	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3		1rp 13008	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
5		1red 11197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
6		eliooord 13420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
7	6	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
8	7	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑦)
9	5, 2, 8	ltled 11346	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
10	2, 4, 9	rpgecld 13087	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
11	10	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (𝑦 ∈ (1(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ+))
12	11	ssrdv 3945	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (1(,)+∞) ⊆ ℝ+)
13		fveq2 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
14	13	cbvmptv 5208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))
15	14	eleq1i 2856	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦)) ∈ 𝑂(1))
16	15	biimpi 219	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦)) ∈ 𝑂(1))
17	12, 16	o1res2 15602	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (𝑦 ∈ (1(,)+∞) ↦ (log‘𝑦)) ∈ 𝑂(1))
18		1red 11197	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → 1 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11247	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → 1 ∈ ℝ*)
20	18	renepnfd 11248	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → 1 ≠ +∞)
21		ioopnfsup 13885	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → sup((1(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
22	19, 20, 21	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → sup((1(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
23		divlogrlim 26754	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑦))) ⇝𝑟 0
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (𝑦 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑦))) ⇝𝑟 0)
25	2, 8	rplogcld 26748	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ+)
26	25	rpcnd 13050	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
27	25	rpne0d 13053	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑦) ≠ 0)
28	22, 24, 26, 27	rlimno1 15693	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → ¬ (𝑦 ∈ (1(,)+∞) ↦ (log‘𝑦)) ∈ 𝑂(1))
29	17, 28	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  supcsup 9388  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   / cdiv 11859  ℝ⁺crp 13004  (,)cioo 13360   ⇝_𝑟 crli 15524  𝑂(1)co1 15525  logclog 26673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14026  df-exp 14086  df-fac 14298  df-bc 14327  df-hash 14355  df-shft 15092  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15510  df-clim 15527  df-rlim 15528  df-o1 15529  df-lo1 15530  df-sum 15726  df-ef 16109  df-sin 16111  df-cos 16112  df-pi 16114  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-pt 17485  df-prds 17488  df-xrs 17544  df-qtop 17549  df-imas 17550  df-xps 17552  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-mulg 19122  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-fbas 21476  df-fg 21477  df-cnfld 21480  df-top 23008  df-topon 23025  df-topsp 23047  df-bases 23060  df-cld 23133  df-ntr 23134  df-cls 23135  df-nei 23212  df-lp 23250  df-perf 23251  df-cn 23341  df-cnp 23342  df-haus 23429  df-tx 23676  df-hmeo 23869  df-fil 23960  df-fm 24052  df-flim 24053  df-flf 24054  df-xms 24434  df-ms 24435  df-tms 24436  df-cncf 24994  df-limc 25982  df-dv 25983  df-log 26675

This theorem is referenced by:  dchrisum0fno1  27629  dchrisum0re  27631  dirith2  27646