Theorem logno1 25227

Description: The logarithm function is not eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logno1	⊢ ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem logno1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 12756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (1(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
2	1	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3		1rp 12381	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
5		1red 10631	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
6		eliooord 12784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
7	6	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
8	7	simpld 498	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑦)
9	5, 2, 8	ltled 10777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
10	2, 4, 9	rpgecld 12458	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
11	10	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (𝑦 ∈ (1(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ+))
12	11	ssrdv 3921	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (1(,)+∞) ⊆ ℝ+)
13		fveq2 6645	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
14	13	cbvmptv 5133	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))
15	14	eleq1i 2880	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦)) ∈ 𝑂(1))
16	15	biimpi 219	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦)) ∈ 𝑂(1))
17	12, 16	o1res2 14912	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (𝑦 ∈ (1(,)+∞) ↦ (log‘𝑦)) ∈ 𝑂(1))
18		1red 10631	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → 1 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 10680	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → 1 ∈ ℝ*)
20	18	renepnfd 10681	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → 1 ≠ +∞)
21		ioopnfsup 13227	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → sup((1(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
22	19, 20, 21	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → sup((1(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
23		divlogrlim 25226	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑦))) ⇝𝑟 0
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (𝑦 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑦))) ⇝𝑟 0)
25	2, 8	rplogcld 25220	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ+)
26	25	rpcnd 12421	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
27	25	rpne0d 12424	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ 𝑦 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑦) ≠ 0)
28	22, 24, 26, 27	rlimno1 15002	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → ¬ (𝑦 ∈ (1(,)+∞) ↦ (log‘𝑦)) ∈ 𝑂(1))
29	17, 28	pm2.65i 197	1 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  supcsup 8888  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   / cdiv 11286  ℝ⁺crp 12377  (,)cioo 12726   ⇝_𝑟 crli 14834  𝑂(1)co1 14835  logclog 25146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-o1 14839  df-lo1 14840  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-log 25148

This theorem is referenced by:  dchrisum0fno1  26095  dchrisum0re  26097  dirith2  26112