Theorem vmadivsumb 27463

Description: Give a total bound on the von Mangoldt sum. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmadivsumb	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ 𝑐

Distinct variable group:   𝑛,𝑐,𝑥

Proof of Theorem vmadivsumb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		elicopnf 13392	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
3	1, 2	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
4	3	simprbda 498	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5		1rp 12940	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
7	3	simplbda 499	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
8	4, 6, 7	rpgecld 13019	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
9	8	ex 412	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
10	9	ssrdv 3928	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1[,)+∞) ⊆ ℝ+)
11		rpssre 12944	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
12	10, 11	sstrdi 3935	. . 3 ⊢ (⊤ → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
13	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
14		fzfid 13929	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
15		elfznn 13501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
17		vmacl 27098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
19	18, 16	nndivred 12225	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
20	14, 19	fsumrecl 15690	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
21	8	relogcld 26603	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
22	20, 21	resubcld 11572	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11167	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
24		vmadivsum 27462	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
26	10, 25	o1res2 15519	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
27		fzfid 13929	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (1...(⌊‘𝑦)) ∈ Fin)
28		elfznn 13501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦)) → 𝑛 ∈ ℕ)
29	28	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → 𝑛 ∈ ℕ)
30	29, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
31	30, 29	nndivred 12225	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
32	27, 31	fsumrecl 15690	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
33		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
34	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ∈ ℝ+)
35		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ 𝑦)
36	33, 34, 35	rpgecld 13019	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
37	36	relogcld 26603	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
38	32, 37	readdcld 11168	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
39	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11167	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
41	40	abscld 15395	. . . 4 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
42	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
43	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
44	43	relogcld 26603	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
45	42, 44	readdcld 11168	. . . 4 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
46	38	ad2ant2r 748	. . . 4 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
47	42	recnd 11167	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
48	44	recnd 11167	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
49	47, 48	abs2dif2d 15417	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + (abs‘(log‘𝑥))))
50	16	nnrpd 12978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
51		vmage0 27101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
52	16, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
53	18, 50, 52	divge0d 13020	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
54	14, 19, 53	fsumge0 15752	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
55	54	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
56	42, 55	absidd 15379	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
57	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
58	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
59	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ≤ 𝑥)
60	58, 59	logge0d 26610	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
61	57, 60	absidd 15379	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(log‘𝑥)) = (log‘𝑥))
62	56, 61	oveq12d 7379	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + (abs‘(log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑥)))
63	49, 62	breqtrd 5112	. . . 4 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑥)))
64	32	ad2ant2r 748	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
65	36	ad2ant2r 748	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
66	65	relogcld 26603	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
67		fzfid 13929	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (1...(⌊‘𝑦)) ∈ Fin)
68	28	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → 𝑛 ∈ ℕ)
69	68, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
70	69, 68	nndivred 12225	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
71	68	nnrpd 12978	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
72	68, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
73	69, 71, 72	divge0d 13020	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
74		simprll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
75		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 < 𝑦)
76	58, 74, 75	ltled 11288	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ≤ 𝑦)
77		flword2 13766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (⌊‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑥)))
78	58, 74, 76, 77	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (⌊‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑥)))
79		fzss2 13512	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑥)) → (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (1...(⌊‘𝑦)))
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (1...(⌊‘𝑦)))
81	67, 70, 73, 80	fsumless 15753	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
82	74, 43, 76	rpgecld 13019	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
83	43, 82	logled 26607	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦)))
84	76, 83	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦))
85	42, 44, 64, 66, 81, 84	le2addd 11763	. . . 4 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑥)) ≤ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑦)))
86	41, 45, 46, 63, 85	letrd 11297	. . 3 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑦)))
87	12, 13, 23, 26, 38, 86	o1bddrp 15498	. 2 ⊢ (⊤ → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ 𝑐)
88	87	mptru 1549	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ 𝑐

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035  +∞cpnf 11170   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371   / cdiv 11801  ℕcn 12168  ℤ_≥cuz 12782  ℝ⁺crp 12936  [,)cico 13294  ...cfz 13455  ⌊cfl 13743  abscabs 15190  𝑂(1)co1 15442  Σcsu 15642  logclog 26534  Λcvma 27072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ioc 13297  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15023  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-limsup 15427  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-o1 15446  df-lo1 15447  df-sum 15643  df-ef 16026  df-e 16027  df-sin 16028  df-cos 16029  df-pi 16031  df-dvds 16216  df-gcd 16458  df-prm 16635  df-pc 16802  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lp 23114  df-perf 23115  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-haus 23293  df-cmp 23365  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-cncf 24858  df-limc 25846  df-dv 25847  df-log 26536  df-cxp 26537  df-cht 27077  df-vma 27078  df-chp 27079  df-ppi 27080

This theorem is referenced by:  2vmadivsum  27521