Theorem vmadivsumb 27822

Description: Give a total bound on the von Mangoldt sum. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmadivsumb	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ 𝑐

Distinct variable group:   𝑛,𝑐,𝑥

Proof of Theorem vmadivsumb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		elicopnf 13586	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
3	1, 2	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
4	3	simprbda 504	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5		1rp 13134	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
7	3	simplbda 505	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
8	4, 6, 7	rpgecld 13213	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
9	8	ex 418	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
10	9	ssrdv 3918	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1[,)+∞) ⊆ ℝ+)
11		rpssre 13138	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
12	10, 11	sstrdi 3924	. . 3 ⊢ (⊤ → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
13	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
14		fzfid 14126	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
15		elfznn 13697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
16	15	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
17		vmacl 27457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
19	18, 16	nndivred 12402	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
20	14, 19	fsumrecl 15912	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
21	8	relogcld 26963	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
22	20, 21	resubcld 11754	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11347	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
24		vmadivsum 27821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
26	10, 25	o1res2 15742	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
27		fzfid 14126	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (1...(⌊‘𝑦)) ∈ Fin)
28		elfznn 13697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦)) → 𝑛 ∈ ℕ)
29	28	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → 𝑛 ∈ ℕ)
30	29, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
31	30, 29	nndivred 12402	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
32	27, 31	fsumrecl 15912	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
33		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
34	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ∈ ℝ+)
35		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ 𝑦)
36	33, 34, 35	rpgecld 13213	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
37	36	relogcld 26963	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
38	32, 37	readdcld 11348	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
39	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11347	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
41	40	abscld 15618	. . . 4 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
42	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
43	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
44	43	relogcld 26963	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
45	42, 44	readdcld 11348	. . . 4 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
46	38	ad2ant2r 760	. . . 4 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
47	42	recnd 11347	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
48	44	recnd 11347	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
49	47, 48	abs2dif2d 15640	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + (abs‘(log‘𝑥))))
50	16	nnrpd 13172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
51		vmage0 27460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
52	16, 51	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
53	18, 50, 52	divge0d 13214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
54	14, 19, 53	fsumge0 15974	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
55	54	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
56	42, 55	absidd 15602	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
57	21	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
58	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
59	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ≤ 𝑥)
60	58, 59	logge0d 26970	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
61	57, 60	absidd 15602	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(log‘𝑥)) = (log‘𝑥))
62	56, 61	oveq12d 7445	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + (abs‘(log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑥)))
63	49, 62	breqtrd 5133	. . . 4 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑥)))
64	32	ad2ant2r 760	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
65	36	ad2ant2r 760	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
66	65	relogcld 26963	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
67		fzfid 14126	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (1...(⌊‘𝑦)) ∈ Fin)
68	28	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → 𝑛 ∈ ℕ)
69	68, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
70	69, 68	nndivred 12402	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
71	68	nnrpd 13172	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
72	68, 51	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
73	69, 71, 72	divge0d 13214	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
74		simprll 791	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
75		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 < 𝑦)
76	58, 74, 75	ltled 11468	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ≤ 𝑦)
77		flword2 13963	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (⌊‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑥)))
78	58, 74, 76, 77	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (⌊‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑥)))
79		fzss2 13708	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑥)) → (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (1...(⌊‘𝑦)))
80	78, 79	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (1...(⌊‘𝑦)))
81	67, 70, 73, 80	fsumless 15975	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
82	74, 43, 76	rpgecld 13213	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
83	43, 82	logled 26967	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦)))
84	76, 83	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦))
85	42, 44, 64, 66, 81, 84	le2addd 11945	. . . 4 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑥)) ≤ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑦)))
86	41, 45, 46, 63, 85	letrd 11477	. . 3 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑦)))
87	12, 13, 23, 26, 38, 86	o1bddrp 15721	. 2 ⊢ (⊤ → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ 𝑐)
88	87	mptru 1576	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ 𝑐

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213  +∞cpnf 11350   < clt 11353   ≤ cle 11354   − cmin 11551   / cdiv 11983  ℕcn 12345  ℤ_≥cuz 12975  ℝ⁺crp 13130  [,)cico 13488  ...cfz 13649  ⌊cfl 13940  abscabs 15413  𝑂(1)co1 15665  Σcsu 15865  logclog 26894  Λcvma 27431

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-dju 9992  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ioo 13490  df-ioc 13491  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215  df-fac 14428  df-bc 14457  df-hash 14485  df-shft 15232  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-limsup 15650  df-clim 15667  df-rlim 15668  df-o1 15669  df-lo1 15670  df-sum 15866  df-ef 16245  df-e 16246  df-sin 16247  df-cos 16248  df-pi 16250  df-dvds 16435  df-gcd 16677  df-prm 16859  df-pc 17027  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-rest 17605  df-topn 17606  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-topgen 17626  df-pt 17627  df-prds 17630  df-xrs 17686  df-qtop 17691  df-imas 17692  df-xps 17694  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-mulg 19290  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-met 21684  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-fbas 21687  df-fg 21688  df-cnfld 21691  df-top 23224  df-topon 23241  df-topsp 23263  df-bases 23276  df-cld 23349  df-ntr 23350  df-cls 23351  df-nei 23428  df-lp 23466  df-perf 23467  df-cn 23557  df-cnp 23558  df-haus 23645  df-cmp 23717  df-tx 23893  df-hmeo 24086  df-fil 24177  df-fm 24269  df-flim 24270  df-flf 24271  df-xms 24651  df-ms 24652  df-tms 24653  df-cncf 25211  df-limc 26198  df-dv 26199  df-log 26896  df-cxp 26897  df-cht 27436  df-vma 27437  df-chp 27438  df-ppi 27439

This theorem is used by:  2vmadivsum  27880