Theorem isumrpcl 15555

Description: The infinite sum of positive reals is positive. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumrpcl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumrpcl.2	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
isumrpcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
isumrpcl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumrpcl.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ+)
isumrpcl.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumrpcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴 ∈ ℝ+)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumrpcl

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumrpcl.2	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
2		isumrpcl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3		isumrpcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzelz 12592	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		uzss 12605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
9	8, 1, 3	3sstr4g 3966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ 𝑍)
10	9	sselda 3921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
11		isumrpcl.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
12	10, 11	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
13		isumrpcl.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ+)
14	13	rpred 12772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	10, 14	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		isumrpcl.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
17	11, 13	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
18	17	rpcnd 12774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
19	3, 2, 18	iserex 15368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
20	16, 19	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
21	1, 6, 12, 15, 20	isumrecl 15477	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴 ∈ ℝ)
22		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
23	22	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+))
24	17	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
25	23, 24, 2	rspcdva 3562	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
26		seq1 13734	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
27	6, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
28		uzid 12597	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
29	6, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
30	29, 1	eleqtrrdi 2850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑊)
31	15	recnd 11003	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
32	1, 6, 12, 31, 20	isumclim2 15470	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴)
33	9	sseld 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑊 → 𝑚 ∈ 𝑍))
34		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
35	34	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐹‘𝑚) ∈ ℝ+))
36	35	rspcv 3557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+ → (𝐹‘𝑚) ∈ ℝ+))
37	33, 24, 36	syl6ci 71	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑚) ∈ ℝ+))
38	37	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℝ+)
39	38	rpred 12772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℝ)
40	38	rpge0d 12776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 0 ≤ (𝐹‘𝑚))
41	1, 30, 32, 39, 40	climserle 15374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴)
42	27, 41	eqbrtrrd 5098	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴)
43	21, 25, 42	rpgecld 12811	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  ℝcr 10870   + caddc 10874   ≤ cle 11010  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  seqcseq 13721   ⇝ cli 15193  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  effsumlt  15820  eirrlem  15913  aaliou3lem3  25504