MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumrpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumrpcl 15875
Description: The infinite sum of positive reals is positive. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumrpcl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumrpcl.2 𝑊 = (ℤ𝑁)
isumrpcl.3 (𝜑𝑁𝑍)
isumrpcl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumrpcl.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ+)
isumrpcl.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumrpcl (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐴 ∈ ℝ+)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumrpcl
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumrpcl.2 . . 3 𝑊 = (ℤ𝑁)
2 isumrpcl.3 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
3 isumrpcl.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleqtrdi 2848 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzelz 12885 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7 uzss 12898 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
84, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
98, 1, 33sstr4g 4040 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑍)
109sselda 3994 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
11 isumrpcl.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1210, 11syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
13 isumrpcl.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ+)
1413rpred 13074 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
1510, 14syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐴 ∈ ℝ)
16 isumrpcl.6 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1711, 13eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
1817rpcnd 13076 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
193, 2, 18iserex 15689 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
2016, 19mpbid 232 . . 3 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
211, 6, 12, 15, 20isumrecl 15797 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐴 ∈ ℝ)
22 fveq2 6906 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
2322eleq1d 2823 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ+))
2417ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
2523, 24, 2rspcdva 3622 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
26 seq1 14051 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
276, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
28 uzid 12890 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
296, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
3029, 1eleqtrrdi 2849 . . . 4 (𝜑𝑁𝑊)
3115recnd 11286 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
321, 6, 12, 31, 20isumclim2 15790 . . . 4 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑊 𝐴)
339sseld 3993 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚𝑊𝑚𝑍))
34 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
3534eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℝ+))
3635rspcv 3617 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 → (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℝ+ → (𝐹𝑚) ∈ ℝ+))
3733, 24, 36syl6ci 71 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚𝑊 → (𝐹𝑚) ∈ ℝ+))
3837imp 406 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ+)
3938rpred 13074 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
4038rpge0d 13078 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → 0 ≤ (𝐹𝑚))
411, 30, 32, 39, 40climserle 15695 . . 3 (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ Σ𝑘𝑊 𝐴)
4227, 41eqbrtrrd 5171 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ Σ𝑘𝑊 𝐴)
4321, 25, 42rpgecld 13113 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wss 3962  dom cdm 5688  cfv 6562  cr 11151   + caddc 11155  cle 11293  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  seqcseq 14038  cli 15516  Σcsu 15718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719
This theorem is referenced by:  effsumlt  16143  eirrlem  16236  aaliou3lem3  26400
  Copyright terms: Public domain W3C validator