MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumrpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumrpcl 15879
Description: The infinite sum of positive reals is positive. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumrpcl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumrpcl.2 𝑊 = (ℤ𝑁)
isumrpcl.3 (𝜑𝑁𝑍)
isumrpcl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumrpcl.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ+)
isumrpcl.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumrpcl (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐴 ∈ ℝ+)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumrpcl
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumrpcl.2 . . 3 𝑊 = (ℤ𝑁)
2 isumrpcl.3 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
3 isumrpcl.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleqtrdi 2851 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzelz 12888 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7 uzss 12901 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
84, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
98, 1, 33sstr4g 4037 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑍)
109sselda 3983 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
11 isumrpcl.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1210, 11syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
13 isumrpcl.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ+)
1413rpred 13077 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
1510, 14syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐴 ∈ ℝ)
16 isumrpcl.6 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1711, 13eqeltrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
1817rpcnd 13079 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
193, 2, 18iserex 15693 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
2016, 19mpbid 232 . . 3 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
211, 6, 12, 15, 20isumrecl 15801 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐴 ∈ ℝ)
22 fveq2 6906 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
2322eleq1d 2826 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ+))
2417ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
2523, 24, 2rspcdva 3623 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
26 seq1 14055 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
276, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
28 uzid 12893 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
296, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
3029, 1eleqtrrdi 2852 . . . 4 (𝜑𝑁𝑊)
3115recnd 11289 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
321, 6, 12, 31, 20isumclim2 15794 . . . 4 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑊 𝐴)
339sseld 3982 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚𝑊𝑚𝑍))
34 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
3534eleq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℝ+))
3635rspcv 3618 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 → (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℝ+ → (𝐹𝑚) ∈ ℝ+))
3733, 24, 36syl6ci 71 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚𝑊 → (𝐹𝑚) ∈ ℝ+))
3837imp 406 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ+)
3938rpred 13077 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
4038rpge0d 13081 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → 0 ≤ (𝐹𝑚))
411, 30, 32, 39, 40climserle 15699 . . 3 (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ Σ𝑘𝑊 𝐴)
4227, 41eqbrtrrd 5167 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ Σ𝑘𝑊 𝐴)
4321, 25, 42rpgecld 13116 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  dom cdm 5685  cfv 6561  cr 11154   + caddc 11158  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  seqcseq 14042  cli 15520  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  effsumlt  16147  eirrlem  16240  aaliou3lem3  26386
  Copyright terms: Public domain W3C validator