Theorem pntrlog2bndlem6a 27500

Description: Lemma for pntrlog2bndlem6 27501. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
pntrlog2bnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntrlog2bnd.t	⊢ 𝑇 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
pntrlog2bndlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntrlog2bndlem5.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐵)
pntrlog2bndlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
pntrlog2bndlem6.2	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem6a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑎)   𝐵(𝑖,𝑎)   𝑅(𝑖,𝑎)   𝑆(𝑖,𝑎)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		1rp 12962	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 13002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
6		eliooord 13373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
7	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
8	7	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
9	5, 2, 8	ltled 11329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
10	2, 4, 9	rpgecld 13041	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
11		pntrlog2bndlem6.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
13		pntrlog2bndlem6.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
14	11, 12, 13	rpgecld 13041	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
16	10, 15	rpdivcld 13019	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ+)
17	16	rprege0d 13009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)))
18		flge0nn0 13789	. . . 4 ⊢ (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)) → (⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
19		nn0p1nn 12488	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
20	17, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
21		nnuz 12843	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
22	20, 21	eleqtrdi 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
23	16	rpred 13002	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ)
24	10	rpge0d 13006	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
25	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝐴)
26	4, 15, 2, 24, 25	lediv2ad 13024	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ (𝑥 / 1))
27	2	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
28	27	div1d 11957	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 1) = 𝑥)
29	26, 28	breqtrd 5136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥)
30		flword2 13782	. . 3 ⊢ (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
31	23, 2, 29, 30	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
32		fzsplit2 13517	. 2 ⊢ ((((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
33	22, 31, 32	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∪ cun 3915  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  +∞cpnf 11212   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958  (,)cioo 13313  ...cfz 13475  ⌊cfl 13759  abscabs 15207  Σcsu 15659  logclog 26470  Λcvma 27009  ψcchp 27010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ioo 13317  df-fz 13476  df-fl 13761

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem6  27501