MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrlog2bndlem6a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntrlog2bndlem6a 25492
Description: Lemma for pntrlog2bndlem6 25493. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
pntrlog2bnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntrlog2bnd.t 𝑇 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
pntrlog2bndlem5.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntrlog2bndlem5.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐵)
pntrlog2bndlem6.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
pntrlog2bndlem6.2 (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem6a ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑎)   𝐵(𝑖,𝑎)   𝑅(𝑖,𝑎)   𝑆(𝑖,𝑎)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6a
StepHypRef Expression
1 elioore 12410 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
21adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3 1rp 12039 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
54rpred 12075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
6 eliooord 12438 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
76adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
87simpld 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
95, 2, 8ltled 10387 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
102, 4, 9rpgecld 12114 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
11 pntrlog2bndlem6.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
123a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
13 pntrlog2bndlem6.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
1411, 12, 13rpgecld 12114 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1514adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
1610, 15rpdivcld 12092 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ+)
1716rprege0d 12082 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)))
18 flge0nn0 12829 . . . 4 (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)) → (⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
19 nn0p1nn 11534 . . . 4 ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
2017, 18, 193syl 18 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
21 nnuz 11925 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2220, 21syl6eleq 2860 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1))
2316rpred 12075 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ)
2410rpge0d 12079 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
2513adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝐴)
264, 15, 2, 24, 25lediv2ad 12097 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ (𝑥 / 1))
272recnd 10270 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2827div1d 10995 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 1) = 𝑥)
2926, 28breqtrd 4812 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥)
30 flword2 12822 . . 3 (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
3123, 2, 29, 30syl3anc 1476 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
32 fzsplit2 12573 . 2 ((((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
3322, 31, 32syl2anc 573 1 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  cun 3721  ifcif 4225   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  +∞cpnf 10273   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468   / cdiv 10886  cn 11222  0cn0 11494  cuz 11888  +crp 12035  (,)cioo 12380  ...cfz 12533  cfl 12799  abscabs 14182  Σcsu 14624  logclog 24522  Λcvma 25039  ψcchp 25040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ioo 12384  df-fz 12534  df-fl 12801
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem6  25493
  Copyright terms: Public domain W3C validator