Theorem pntrlog2bndlem6a 27545

Description: Lemma for pntrlog2bndlem6 27546. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
pntrlog2bnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntrlog2bnd.t	⊢ 𝑇 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
pntrlog2bndlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntrlog2bndlem5.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐵)
pntrlog2bndlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
pntrlog2bndlem6.2	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem6a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑎)   𝐵(𝑖,𝑎)   𝑅(𝑖,𝑎)   𝑆(𝑖,𝑎)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		1rp 12946	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 12986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
6		eliooord 13358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
7	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
8	7	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
9	5, 2, 8	ltled 11294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
10	2, 4, 9	rpgecld 13025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
11		pntrlog2bndlem6.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
13		pntrlog2bndlem6.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
14	11, 12, 13	rpgecld 13025	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
16	10, 15	rpdivcld 13003	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ+)
17	16	rprege0d 12993	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)))
18		flge0nn0 13779	. . . 4 ⊢ (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)) → (⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
19		nn0p1nn 12476	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
20	17, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
21		nnuz 12827	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
22	20, 21	eleqtrdi 2846	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
23	16	rpred 12986	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ)
24	10	rpge0d 12990	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
25	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝐴)
26	4, 15, 2, 24, 25	lediv2ad 13008	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ (𝑥 / 1))
27	2	recnd 11173	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
28	27	div1d 11923	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 1) = 𝑥)
29	26, 28	breqtrd 5111	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥)
30		flword2 13772	. . 3 ⊢ (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
31	23, 2, 29, 30	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
32		fzsplit2 13503	. 2 ⊢ ((((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
33	22, 31, 32	syl2anc 585	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∪ cun 3887  ifcif 4466   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  +∞cpnf 11176   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤ_≥cuz 12788  ℝ⁺crp 12942  (,)cioo 13298  ...cfz 13461  ⌊cfl 13749  abscabs 15196  Σcsu 15648  logclog 26518  Λcvma 27055  ψcchp 27056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ioo 13302  df-fz 13462  df-fl 13751

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem6  27546