Theorem pntrlog2bndlem6a 27521

Description: Lemma for pntrlog2bndlem6 27522. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
pntrlog2bnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntrlog2bnd.t	⊢ 𝑇 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
pntrlog2bndlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntrlog2bndlem5.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐵)
pntrlog2bndlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
pntrlog2bndlem6.2	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem6a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑎)   𝐵(𝑖,𝑎)   𝑅(𝑖,𝑎)   𝑆(𝑖,𝑎)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		1rp 12896	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 12936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
6		eliooord 13307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
7	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
8	7	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
9	5, 2, 8	ltled 11268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
10	2, 4, 9	rpgecld 12975	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
11		pntrlog2bndlem6.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
13		pntrlog2bndlem6.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
14	11, 12, 13	rpgecld 12975	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
16	10, 15	rpdivcld 12953	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ+)
17	16	rprege0d 12943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)))
18		flge0nn0 13726	. . . 4 ⊢ (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)) → (⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
19		nn0p1nn 12427	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
20	17, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
21		nnuz 12777	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
22	20, 21	eleqtrdi 2843	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
23	16	rpred 12936	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ)
24	10	rpge0d 12940	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
25	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝐴)
26	4, 15, 2, 24, 25	lediv2ad 12958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ (𝑥 / 1))
27	2	recnd 11147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
28	27	div1d 11896	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 1) = 𝑥)
29	26, 28	breqtrd 5119	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥)
30		flword2 13719	. . 3 ⊢ (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
31	23, 2, 29, 30	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
32		fzsplit2 13451	. 2 ⊢ ((((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
33	22, 31, 32	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ∪ cun 3896  ifcif 4474   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018  +∞cpnf 11150   < clt 11153   ≤ cle 11154   − cmin 11351   / cdiv 11781  ℕcn 12132  ℕ₀cn0 12388  ℤ_≥cuz 12738  ℝ⁺crp 12892  (,)cioo 13247  ...cfz 13409  ⌊cfl 13696  abscabs 15143  Σcsu 15595  logclog 26491  Λcvma 27030  ψcchp 27031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-ioo 13251  df-fz 13410  df-fl 13698

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem6  27522