MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrlog2bndlem6a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntrlog2bndlem6a 26494
Description: Lemma for pntrlog2bndlem6 26495. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
pntrlog2bnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntrlog2bnd.t 𝑇 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
pntrlog2bndlem5.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntrlog2bndlem5.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐵)
pntrlog2bndlem6.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
pntrlog2bndlem6.2 (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem6a ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑎)   𝐵(𝑖,𝑎)   𝑅(𝑖,𝑎)   𝑆(𝑖,𝑎)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6a
StepHypRef Expression
1 elioore 12994 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
21adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3 1rp 12619 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
54rpred 12657 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
6 eliooord 13023 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
76adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
87simpld 498 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
95, 2, 8ltled 11009 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
102, 4, 9rpgecld 12696 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
11 pntrlog2bndlem6.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
123a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
13 pntrlog2bndlem6.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
1411, 12, 13rpgecld 12696 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1514adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
1610, 15rpdivcld 12674 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ+)
1716rprege0d 12664 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)))
18 flge0nn0 13424 . . . 4 (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)) → (⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
19 nn0p1nn 12158 . . . 4 ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
2017, 18, 193syl 18 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
21 nnuz 12506 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2220, 21eleqtrdi 2850 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1))
2316rpred 12657 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ)
2410rpge0d 12661 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
2513adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝐴)
264, 15, 2, 24, 25lediv2ad 12679 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ (𝑥 / 1))
272recnd 10890 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2827div1d 11629 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 1) = 𝑥)
2926, 28breqtrd 5095 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥)
30 flword2 13417 . . 3 (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
3123, 2, 29, 30syl3anc 1373 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
32 fzsplit2 13166 . 2 ((((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
3322, 31, 32syl2anc 587 1 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  wral 3064  cun 3881  ifcif 4455   class class class wbr 5069  cmpt 5151  cfv 6400  (class class class)co 7234  cr 10757  0cc0 10758  1c1 10759   + caddc 10761   · cmul 10763  +∞cpnf 10893   < clt 10896  cle 10897  cmin 11091   / cdiv 11518  cn 11859  0cn0 12119  cuz 12467  +crp 12615  (,)cioo 12964  ...cfz 13124  cfl 13394  abscabs 14829  Σcsu 15281  logclog 25474  Λcvma 26005  ψcchp 26006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10814  ax-resscn 10815  ax-1cn 10816  ax-icn 10817  ax-addcl 10818  ax-addrcl 10819  ax-mulcl 10820  ax-mulrcl 10821  ax-mulcom 10822  ax-addass 10823  ax-mulass 10824  ax-distr 10825  ax-i2m1 10826  ax-1ne0 10827  ax-1rid 10828  ax-rnegex 10829  ax-rrecex 10830  ax-cnre 10831  ax-pre-lttri 10832  ax-pre-lttrn 10833  ax-pre-ltadd 10834  ax-pre-mulgt0 10835  ax-pre-sup 10836
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-om 7666  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-er 8414  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-sup 9087  df-inf 9088  df-pnf 10898  df-mnf 10899  df-xr 10900  df-ltxr 10901  df-le 10902  df-sub 11093  df-neg 11094  df-div 11519  df-nn 11860  df-n0 12120  df-z 12206  df-uz 12468  df-rp 12616  df-ioo 12968  df-fz 13125  df-fl 13396
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem6  26495
  Copyright terms: Public domain W3C validator