Theorem pntrlog2bndlem6a 27547

Description: Lemma for pntrlog2bndlem6 27548. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
pntrlog2bnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntrlog2bnd.t	⊢ 𝑇 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
pntrlog2bndlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntrlog2bndlem5.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐵)
pntrlog2bndlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
pntrlog2bndlem6.2	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem6a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑎)   𝐵(𝑖,𝑎)   𝑅(𝑖,𝑎)   𝑆(𝑖,𝑎)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		1rp 12907	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 12947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
6		eliooord 13319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
7	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
8	7	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
9	5, 2, 8	ltled 11279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
10	2, 4, 9	rpgecld 12986	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
11		pntrlog2bndlem6.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
13		pntrlog2bndlem6.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
14	11, 12, 13	rpgecld 12986	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
16	10, 15	rpdivcld 12964	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ+)
17	16	rprege0d 12954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)))
18		flge0nn0 13738	. . . 4 ⊢ (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)) → (⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
19		nn0p1nn 12438	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
20	17, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
21		nnuz 12788	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
22	20, 21	eleqtrdi 2844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
23	16	rpred 12947	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ)
24	10	rpge0d 12951	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
25	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝐴)
26	4, 15, 2, 24, 25	lediv2ad 12969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ (𝑥 / 1))
27	2	recnd 11158	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
28	27	div1d 11907	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 1) = 𝑥)
29	26, 28	breqtrd 5122	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥)
30		flword2 13731	. . 3 ⊢ (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
31	23, 2, 29, 30	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
32		fzsplit2 13463	. 2 ⊢ ((((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
33	22, 31, 32	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   ∪ cun 3897  ifcif 4477   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029  +∞cpnf 11161   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362   / cdiv 11792  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  ℤ_≥cuz 12749  ℝ⁺crp 12903  (,)cioo 13259  ...cfz 13421  ⌊cfl 13708  abscabs 15155  Σcsu 15607  logclog 26517  Λcvma 27056  ψcchp 27057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-ioo 13263  df-fz 13422  df-fl 13710

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem6  27548