Theorem pntrlog2bndlem6a 27561

Description: Lemma for pntrlog2bndlem6 27562. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
pntrlog2bnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntrlog2bnd.t	⊢ 𝑇 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
pntrlog2bndlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntrlog2bndlem5.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐵)
pntrlog2bndlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
pntrlog2bndlem6.2	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem6a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑎)   𝐵(𝑖,𝑎)   𝑅(𝑖,𝑎)   𝑆(𝑖,𝑎)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		1rp 12921	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 12961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
6		eliooord 13333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
7	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
8	7	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
9	5, 2, 8	ltled 11293	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
10	2, 4, 9	rpgecld 13000	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
11		pntrlog2bndlem6.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
13		pntrlog2bndlem6.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
14	11, 12, 13	rpgecld 13000	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
16	10, 15	rpdivcld 12978	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ+)
17	16	rprege0d 12968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)))
18		flge0nn0 13752	. . . 4 ⊢ (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)) → (⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
19		nn0p1nn 12452	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
20	17, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
21		nnuz 12802	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
22	20, 21	eleqtrdi 2847	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
23	16	rpred 12961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ)
24	10	rpge0d 12965	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
25	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝐴)
26	4, 15, 2, 24, 25	lediv2ad 12983	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ (𝑥 / 1))
27	2	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
28	27	div1d 11921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 1) = 𝑥)
29	26, 28	breqtrd 5126	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥)
30		flword2 13745	. . 3 ⊢ (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
31	23, 2, 29, 30	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
32		fzsplit2 13477	. 2 ⊢ ((((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
33	22, 31, 32	syl2anc 585	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∪ cun 3901  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  +∞cpnf 11175   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12917  (,)cioo 13273  ...cfz 13435  ⌊cfl 13722  abscabs 15169  Σcsu 15621  logclog 26531  Λcvma 27070  ψcchp 27071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ioo 13277  df-fz 13436  df-fl 13724

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem6  27562