MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  selbergb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selbergb 26913
Description: Convert eventual boundedness in selberg 26912 to boundedness on [1, +โˆž). (We have to bound away from zero because the log terms diverge at zero.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
selbergb โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)(absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค ๐‘
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘,๐‘ฅ

Proof of Theorem selbergb
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 11162 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
2 elicopnf 13369 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)))
31, 2mp1i 13 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)))
43simprbda 500 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
54ex 414 . . . 4 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„))
65ssrdv 3955 . . 3 (โŠค โ†’ (1[,)+โˆž) โŠ† โ„)
71a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8 fzfid 13885 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ Fin)
9 elfznn 13477 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
109adantl 483 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
11 vmacl 26483 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
1310nnrpd 12962 . . . . . . . . . 10 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
1413relogcld 25994 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
154adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
1615, 10nndivred 12214 . . . . . . . . . 10 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„)
17 chpcl 26489 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
1914, 18readdcld 11191 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
2012, 19remulcld 11192 . . . . . . 7 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
218, 20fsumrecl 15626 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
22 1rp 12926 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„+
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
243simplbda 501 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
254, 23, 24rpgecld 13003 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
2621, 25rerpdivcld 12995 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
27 2re 12234 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
2827a1i 11 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
2925relogcld 25994 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3028, 29remulcld 11192 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
3126, 30resubcld 11590 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
3231recnd 11190 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
3325ex 414 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+))
3433ssrdv 3955 . . . 4 (โŠค โ†’ (1[,)+โˆž) โŠ† โ„+)
35 selberg 26912 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1)
3635a1i 11 . . . 4 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1))
3734, 36o1res2 15452 . . 3 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1))
38 fzfid 13885 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ Fin)
39 elfznn 13477 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
4039adantl 483 . . . . . . 7 (((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
4140, 11syl 17 . . . . . 6 (((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
4240nnrpd 12962 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
4342relogcld 25994 . . . . . . 7 (((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
44 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
4544adantr 482 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
4645, 40nndivred 12214 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ / ๐‘›) โˆˆ โ„)
47 chpcl 26489 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
4943, 48readdcld 11191 . . . . . 6 (((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
5041, 49remulcld 11192 . . . . 5 (((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
5138, 50fsumrecl 15626 . . . 4 ((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
5227a1i 11 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
5322a1i 11 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
54 simprr 772 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฆ)
5544, 53, 54rpgecld 13003 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
5655relogcld 25994 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
5752, 56remulcld 11192 . . . 4 ((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
5851, 57readdcld 11191 . . 3 ((โŠค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))) + (2 ยท (logโ€˜๐‘ฆ))) โˆˆ โ„)
5931adantr 482 . . . . . 6 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
6059recnd 11190 . . . . 5 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
6160abscld 15328 . . . 4 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„)
6226adantr 482 . . . . 5 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
6330adantr 482 . . . . 5 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
6462, 63readdcld 11191 . . . 4 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) + (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
65 fzfid 13885 . . . . . 6 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ Fin)
6639adantl 483 . . . . . . . 8 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
6766, 11syl 17 . . . . . . 7 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
6866nnrpd 12962 . . . . . . . . 9 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
6968relogcld 25994 . . . . . . . 8 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
70 simprll 778 . . . . . . . . . . 11 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
7170adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
7271, 66nndivred 12214 . . . . . . . . 9 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ / ๐‘›) โˆˆ โ„)
7372, 47syl 17 . . . . . . . 8 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
7469, 73readdcld 11191 . . . . . . 7 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
7567, 74remulcld 11192 . . . . . 6 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
7665, 75fsumrecl 15626 . . . . 5 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
7727a1i 11 . . . . . 6 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
7825adantr 482 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
794adantr 482 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
80 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)
8179, 70, 80ltled 11310 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
8270, 78, 81rpgecld 13003 . . . . . . 7 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
8382relogcld 25994 . . . . . 6 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
8477, 83remulcld 11192 . . . . 5 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
8576, 84readdcld 11191 . . . 4 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))) + (2 ยท (logโ€˜๐‘ฆ))) โˆˆ โ„)
8662recnd 11190 . . . . . 6 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
8763recnd 11190 . . . . . 6 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
8886, 87abs2dif2d 15350 . . . . 5 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ)) + (absโ€˜(2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))
8921adantr 482 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
90 vmage0 26486 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (ฮ›โ€˜๐‘›))
9110, 90syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค (ฮ›โ€˜๐‘›))
9210nnred 12175 . . . . . . . . . . . . 13 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
9310nnge1d 12208 . . . . . . . . . . . . 13 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘›)
9492, 93logge0d 26001 . . . . . . . . . . . 12 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘›))
95 chpge0 26491 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))
9616, 95syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))
9714, 18, 94, 96addge0d 11738 . . . . . . . . . . 11 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))
9812, 19, 91, 97mulge0d 11739 . . . . . . . . . 10 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
998, 20, 98fsumge0 15687 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
10099adantr 482 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
10189, 78, 100divge0d 13004 . . . . . . 7 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ))
10262, 101absidd 15314 . . . . . 6 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ))
10378relogcld 25994 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
104 2rp 12927 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
105 rpge0 12935 . . . . . . . . 9 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค 2)
106104, 105mp1i 13 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ 0 โ‰ค 2)
10724adantr 482 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
10879, 107logge0d 26001 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
10977, 103, 106, 108mulge0d 11739 . . . . . . 7 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))
11063, 109absidd 15314 . . . . . 6 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜(2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) = (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))
111102, 110oveq12d 7380 . . . . 5 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ)) + (absโ€˜(2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) + (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))
11288, 111breqtrd 5136 . . . 4 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) + (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))
11322a1i 11 . . . . . . 7 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
11479adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
115114, 66nndivred 12214 . . . . . . . . . . . 12 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„)
116115, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
11769, 116readdcld 11191 . . . . . . . . . 10 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
11867, 117remulcld 11192 . . . . . . . . 9 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
11965, 118fsumrecl 15626 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
12066, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ 0 โ‰ค (ฮ›โ€˜๐‘›))
12166nnred 12175 . . . . . . . . . . . 12 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
12266nnge1d 12208 . . . . . . . . . . . 12 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘›)
123121, 122logge0d 26001 . . . . . . . . . . 11 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘›))
124115, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ 0 โ‰ค (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))
12569, 116, 123, 124addge0d 11738 . . . . . . . . . 10 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ 0 โ‰ค ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))
12667, 117, 120, 125mulge0d 11739 . . . . . . . . 9 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ 0 โ‰ค ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
127 flword2 13725 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))
12879, 70, 81, 127syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))
129 fzss2 13488 . . . . . . . . . 10 ((โŒŠโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โŠ† (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ)))
130128, 129syl 17 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โŠ† (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ)))
13165, 118, 126, 130fsumless 15688 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
13281adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
133114, 71, 68, 132lediv1dd 13022 . . . . . . . . . . . 12 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โ‰ค (๐‘ฆ / ๐‘›))
134 chpwordi 26522 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฆ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ / ๐‘›) โ‰ค (๐‘ฆ / ๐‘›)) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โ‰ค (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))
135115, 72, 133, 134syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โ‰ค (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))
136116, 73, 69, 135leadd2dd 11777 . . . . . . . . . 10 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โ‰ค ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›))))
137117, 74, 67, 120, 136lemul2ad 12102 . . . . . . . . 9 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ‰ค ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))))
13865, 118, 75, 137fsumle 15691 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))))
13989, 119, 76, 131, 138letrd 11319 . . . . . . 7 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))))
14089, 76, 113, 79, 100, 139, 107lediv12ad 13023 . . . . . 6 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))) / 1))
14176recnd 11190 . . . . . . 7 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„‚)
142141div1d 11930 . . . . . 6 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))) / 1) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))))
143140, 142breqtrd 5136 . . . . 5 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))))
14478, 82logled 25998 . . . . . . 7 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ โ†” (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฆ)))
14581, 144mpbid 231 . . . . . 6 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฆ))
146103, 83, 77, 106, 145lemul2ad 12102 . . . . 5 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 ยท (logโ€˜๐‘ฆ)))
14762, 63, 76, 84, 143, 146le2addd 11781 . . . 4 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) + (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))) + (2 ยท (logโ€˜๐‘ฆ))))
14861, 64, 85, 112, 147letrd 11319 . . 3 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘›)))) + (2 ยท (logโ€˜๐‘ฆ))))
1496, 7, 32, 37, 58, 148o1bddrp 15431 . 2 (โŠค โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)(absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค ๐‘)
150149mptru 1549 1 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)(absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค ๐‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397  โŠคwtru 1543   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074   โŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  +โˆžcpnf 11193   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  [,)cico 13273  ...cfz 13431  โŒŠcfl 13702  abscabs 15126  ๐‘‚(1)co1 15375  ฮฃcsu 15577  logclog 25926  ฮ›cvma 26457  ฯˆcchp 26458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928  df-cxp 25929  df-atan 26233  df-em 26358  df-vma 26463  df-chp 26464  df-mu 26466
This theorem is referenced by:  selberg4  26925  selbergsb  26939
  Copyright terms: Public domain W3C validator