Theorem salincl 43754

Description: The intersection of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
salincl	⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem salincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (𝐸 ∩ 𝐹))
2		inss1 4159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ 𝐸
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ 𝐸)
4		elssuni 4868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
6	3, 5	sstrd 3927	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ ∪ 𝑆)
7		dfss4 4189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (𝐸 ∩ 𝐹))
8	6, 7	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (𝐸 ∩ 𝐹))
9	8	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))))
10	9	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))))
11		difindi 4212	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹)) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))
12	11	difeq2i 4050	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)))
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))))
14	1, 10, 13	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))))
15		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
16		saldifcl 43750	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
17	16	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
18		saldifcl 43750	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
19	18	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
20		saluncl 43748	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆) → ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
22		saldifcl 43750	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))) ∈ 𝑆)
23	15, 21, 22	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))) ∈ 𝑆)
24	14, 23	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4836  SAlgcsalg 43739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-salg 43740

This theorem is referenced by:  saldifcl2  43757  salincld  43781