Theorem salincl 46676

Description: The intersection of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
salincl	⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem salincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (𝐸 ∩ 𝐹))
2		inss1 4191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ 𝐸
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ 𝐸)
4		elssuni 4896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
6	3, 5	sstrd 3946	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ ∪ 𝑆)
7		dfss4 4223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (𝐸 ∩ 𝐹))
8	6, 7	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (𝐸 ∩ 𝐹))
9	8	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))))
10	9	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))))
11		difindi 4246	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹)) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))
12	11	difeq2i 4077	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)))
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))))
14	1, 10, 13	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))))
15		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
16		saldifcl 46671	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
17	16	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
18		saldifcl 46671	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
19	18	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
20		saluncl 46669	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆) → ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
22		saldifcl 46671	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))) ∈ 𝑆)
23	15, 21, 22	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))) ∈ 𝑆)
24	14, 23	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865  SAlgcsalg 46660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-salg 46661

This theorem is referenced by:  saldifcl2  46680  salincld  46704