Theorem salincl 46353

Description: The intersection of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
salincl	⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem salincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2736	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (𝐸 ∩ 𝐹))
2		inss1 4212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ 𝐸
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ 𝐸)
4		elssuni 4913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
6	3, 5	sstrd 3969	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ ∪ 𝑆)
7		dfss4 4244	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (𝐸 ∩ 𝐹))
8	6, 7	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (𝐸 ∩ 𝐹))
9	8	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))))
10	9	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))))
11		difindi 4267	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹)) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))
12	11	difeq2i 4098	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)))
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))))
14	1, 10, 13	3eqtrd 2774	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))))
15		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
16		saldifcl 46348	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
17	16	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
18		saldifcl 46348	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
19	18	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
20		saluncl 46346	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆) → ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
22		saldifcl 46348	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))) ∈ 𝑆)
23	15, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))) ∈ 𝑆)
24	14, 23	eqeltrd 2834	1 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923   ∪ cun 3924   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∪ cuni 4883  SAlgcsalg 46337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-salg 46338

This theorem is referenced by:  saldifcl2  46357  salincld  46381