Theorem salincl 46329

Description: The intersection of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
salincl	⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem salincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2731	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (𝐸 ∩ 𝐹))
2		inss1 4203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ 𝐸
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ 𝐸)
4		elssuni 4904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
6	3, 5	sstrd 3960	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ ∪ 𝑆)
7		dfss4 4235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (𝐸 ∩ 𝐹))
8	6, 7	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (𝐸 ∩ 𝐹))
9	8	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))))
10	9	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))))
11		difindi 4258	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹)) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))
12	11	difeq2i 4089	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)))
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))))
14	1, 10, 13	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))))
15		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
16		saldifcl 46324	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
17	16	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
18		saldifcl 46324	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
19	18	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
20		saluncl 46322	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆) → ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
22		saldifcl 46324	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))) ∈ 𝑆)
23	15, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))) ∈ 𝑆)
24	14, 23	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∪ cuni 4874  SAlgcsalg 46313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-salg 46314

This theorem is referenced by:  saldifcl2  46333  salincld  46357