Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salincl 46280
Description: The intersection of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
salincl ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem salincl
StepHypRef Expression
1 eqidd 2736 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = (𝐸𝐹))
2 inss1 4245 . . . . . . . 8 (𝐸𝐹) ⊆ 𝐸
32a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → (𝐸𝐹) ⊆ 𝐸)
4 elssuni 4942 . . . . . . . 8 (𝐸𝑆𝐸 𝑆)
54adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → 𝐸 𝑆)
63, 5sstrd 4006 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → (𝐸𝐹) ⊆ 𝑆)
7 dfss4 4275 . . . . . 6 ((𝐸𝐹) ⊆ 𝑆 ↔ ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))) = (𝐸𝐹))
86, 7sylib 218 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))) = (𝐸𝐹))
98eqcomd 2741 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → (𝐸𝐹) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))))
1093adant3 1131 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))))
11 difindi 4298 . . . . 5 ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹)) = (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹))
1211difeq2i 4133 . . . 4 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))) = ( 𝑆 ∖ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹)))
1312a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))) = ( 𝑆 ∖ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹))))
141, 10, 133eqtrd 2779 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = ( 𝑆 ∖ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹))))
15 simp1 1135 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
16 saldifcl 46275 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
17163adant3 1131 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
18 saldifcl 46275 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐹𝑆) → ( 𝑆𝐹) ∈ 𝑆)
19183adant2 1130 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ( 𝑆𝐹) ∈ 𝑆)
20 saluncl 46273 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆 ∧ ( 𝑆𝐹) ∈ 𝑆) → (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹)) ∈ 𝑆)
2115, 17, 19, 20syl3anc 1370 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹)) ∈ 𝑆)
22 saldifcl 46275 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹)) ∈ 𝑆) → ( 𝑆 ∖ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹))) ∈ 𝑆)
2315, 21, 22syl2anc 584 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ( 𝑆 ∖ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹))) ∈ 𝑆)
2414, 23eqeltrd 2839 1 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963   cuni 4912  SAlgcsalg 46264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-salg 46265
This theorem is referenced by:  saldifcl2  46284  salincld  46308
  Copyright terms: Public domain W3C validator