Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salincl 46245
Description: The intersection of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
salincl ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem salincl
StepHypRef Expression
1 eqidd 2741 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = (𝐸𝐹))
2 inss1 4258 . . . . . . . 8 (𝐸𝐹) ⊆ 𝐸
32a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → (𝐸𝐹) ⊆ 𝐸)
4 elssuni 4961 . . . . . . . 8 (𝐸𝑆𝐸 𝑆)
54adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → 𝐸 𝑆)
63, 5sstrd 4019 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → (𝐸𝐹) ⊆ 𝑆)
7 dfss4 4288 . . . . . 6 ((𝐸𝐹) ⊆ 𝑆 ↔ ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))) = (𝐸𝐹))
86, 7sylib 218 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))) = (𝐸𝐹))
98eqcomd 2746 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → (𝐸𝐹) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))))
1093adant3 1132 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))))
11 difindi 4311 . . . . 5 ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹)) = (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹))
1211difeq2i 4146 . . . 4 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))) = ( 𝑆 ∖ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹)))
1312a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))) = ( 𝑆 ∖ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹))))
141, 10, 133eqtrd 2784 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = ( 𝑆 ∖ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹))))
15 simp1 1136 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
16 saldifcl 46240 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
17163adant3 1132 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
18 saldifcl 46240 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐹𝑆) → ( 𝑆𝐹) ∈ 𝑆)
19183adant2 1131 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ( 𝑆𝐹) ∈ 𝑆)
20 saluncl 46238 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆 ∧ ( 𝑆𝐹) ∈ 𝑆) → (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹)) ∈ 𝑆)
2115, 17, 19, 20syl3anc 1371 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹)) ∈ 𝑆)
22 saldifcl 46240 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹)) ∈ 𝑆) → ( 𝑆 ∖ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹))) ∈ 𝑆)
2315, 21, 22syl2anc 583 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ( 𝑆 ∖ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹))) ∈ 𝑆)
2414, 23eqeltrd 2844 1 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  cdif 3973  cun 3974  cin 3975  wss 3976   cuni 4931  SAlgcsalg 46229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-salg 46230
This theorem is referenced by:  saldifcl2  46249  salincld  46273
  Copyright terms: Public domain W3C validator