Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salincl 44497
Description: The intersection of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
salincl ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem salincl
StepHypRef Expression
1 eqidd 2737 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = (𝐸𝐹))
2 inss1 4186 . . . . . . . 8 (𝐸𝐹) ⊆ 𝐸
32a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → (𝐸𝐹) ⊆ 𝐸)
4 elssuni 4896 . . . . . . . 8 (𝐸𝑆𝐸 𝑆)
54adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → 𝐸 𝑆)
63, 5sstrd 3952 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → (𝐸𝐹) ⊆ 𝑆)
7 dfss4 4216 . . . . . 6 ((𝐸𝐹) ⊆ 𝑆 ↔ ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))) = (𝐸𝐹))
86, 7sylib 217 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))) = (𝐸𝐹))
98eqcomd 2742 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → (𝐸𝐹) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))))
1093adant3 1132 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))))
11 difindi 4239 . . . . 5 ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹)) = (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹))
1211difeq2i 4077 . . . 4 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))) = ( 𝑆 ∖ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹)))
1312a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ( 𝑆 ∖ ( 𝑆 ∖ (𝐸𝐹))) = ( 𝑆 ∖ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹))))
141, 10, 133eqtrd 2780 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = ( 𝑆 ∖ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹))))
15 simp1 1136 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
16 saldifcl 44492 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
17163adant3 1132 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
18 saldifcl 44492 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐹𝑆) → ( 𝑆𝐹) ∈ 𝑆)
19183adant2 1131 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ( 𝑆𝐹) ∈ 𝑆)
20 saluncl 44490 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆 ∧ ( 𝑆𝐹) ∈ 𝑆) → (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹)) ∈ 𝑆)
2115, 17, 19, 20syl3anc 1371 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹)) ∈ 𝑆)
22 saldifcl 44492 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹)) ∈ 𝑆) → ( 𝑆 ∖ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹))) ∈ 𝑆)
2315, 21, 22syl2anc 584 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ( 𝑆 ∖ (( 𝑆𝐸) ∪ ( 𝑆𝐹))) ∈ 𝑆)
2414, 23eqeltrd 2838 1 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3905  cun 3906  cin 3907  wss 3908   cuni 4863  SAlgcsalg 44481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-salg 44482
This theorem is referenced by:  saldifcl2  44501  salincld  44525
  Copyright terms: Public domain W3C validator