Theorem salincl 47427

Description: The intersection of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
salincl	⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem salincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (𝐸 ∩ 𝐹))
2		inss1 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ 𝐸
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ 𝐸)
4		elssuni 4898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
5	4	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
6	3, 5	sstrd 3918	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ ∪ 𝑆)
7		dfss4 4214	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (𝐸 ∩ 𝐹))
8	6, 7	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (𝐸 ∩ 𝐹))
9	8	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))))
10	9	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))))
11		difindi 4237	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹)) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))
12	11	difeq2i 4060	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)))
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ (𝐸 ∩ 𝐹))) = (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))))
14	1, 10, 13	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) = (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))))
15		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
16		saldifcl 47422	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
17	16	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
18		saldifcl 47422	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
19	18	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
20		saluncl 47420	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆) → ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
22		saldifcl 47422	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))) ∈ 𝑆)
23	15, 21, 22	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∪ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹))) ∈ 𝑆)
24	14, 23	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∪ cuni 4866  SAlgcsalg 47411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-salg 47412

This theorem is used by:  saldifcl2  47431  salincld  47455