Theorem saliuncl 46929

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliuncl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saliuncl.kct	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
saliuncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saliuncl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem saliuncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1941	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2931	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
3		nfcv 2931	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐾
4		saliuncl.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		saliuncl.kct	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
6		saliuncl.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	saliunclf 46928	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∪ ciun 4960   class class class wbr 5113  ωcom 7862   ≼ cdom 8941  SAlgcsalg 46914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-card 9925  df-acn 9928  df-salg 46915

This theorem is referenced by:  subsaliuncl  46964  meaiunlelem  47074  meaiuninclem  47086  meaiuninc3v  47090  meaiininclem  47092  caratheodory  47134  opnvonmbllem2  47239  ctvonmbl  47295  vonct  47299  smfaddlem2  47370  smflimlem1  47377  smfresal  47394  smfmullem4  47400