Theorem saliuncl 42964

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliuncl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saliuncl.kct	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
saliuncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saliuncl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem saliuncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saliuncl.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)
2	1	ralrimiva 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)
3		dfiun3g 5800	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸))
5		saliuncl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) = (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸)
7	6	rnmptss 6863	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ⊆ 𝑆)
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ⊆ 𝑆)
9	5, 8	ssexd 5192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ V)
10		elpwg 4500	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ V → (ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝒫 𝑆 ↔ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ⊆ 𝑆))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝒫 𝑆 ↔ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ⊆ 𝑆))
12	8, 11	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝒫 𝑆)
13		saliuncl.kct	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
14		1stcrestlem 22057	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≼ ω → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ≼ ω)
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ≼ ω)
16	5, 12, 15	salunicl 42958	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝑆)
17	4, 16	eqeltrd 2890	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4800  ∪ ciun 4881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ran crn 5520  ωcom 7560   ≼ cdom 8490  SAlgcsalg 42950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-card 9352  df-acn 9355  df-salg 42951

This theorem is referenced by:  saliincl  42967  subsaliuncl  42998  meaiunlelem  43107  meaiuninclem  43119  meaiuninc3v  43123  meaiininclem  43125  caratheodory  43167  opnvonmbllem2  43272  ctvonmbl  43328  vonct  43332  smfaddlem2  43397  smflimlem1  43404  smfresal  43420  smfmullem4  43426