Theorem saliuncl 45490

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliuncl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saliuncl.kct	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
saliuncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saliuncl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem saliuncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1909	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2895	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
3		nfcv 2895	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐾
4		saliuncl.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		saliuncl.kct	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
6		saliuncl.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	saliunclf 45489	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  ∪ ciun 4987   class class class wbr 5138  ωcom 7848   ≼ cdom 8932  SAlgcsalg 45475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-card 9929  df-acn 9932  df-salg 45476

This theorem is referenced by:  subsaliuncl  45525  meaiunlelem  45635  meaiuninclem  45647  meaiuninc3v  45651  meaiininclem  45653  caratheodory  45695  opnvonmbllem2  45800  ctvonmbl  45856  vonct  45860  smfaddlem2  45931  smflimlem1  45938  smfresal  45955  smfmullem4  45961