Theorem salincld 45054

Description: The intersection of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salincld.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salincld.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
salincld.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
salincld	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem salincld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salincld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		salincld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
3		salincld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
4		salincl 45026	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946  SAlgcsalg 45010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-salg 45011

This theorem is referenced by:  salrestss  45063  smfaddlem2  45466  smfpimioompt  45488  smfmullem4  45496  adddmmbl  45535  adddmmbl2  45536  muldmmbl  45537  muldmmbl2  45538  smfdivdmmbl  45540  smfdivdmmbl2  45543