Theorem salincld 44120

Description: The intersection of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salincld.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salincld.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
salincld.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
salincld	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem salincld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salincld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		salincld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
3		salincld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
4		salincl 44093	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ∩ cin 3891  SAlgcsalg 44078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9447

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-salg 44079

This theorem is referenced by:  salrestss  44129  smfaddlem2  44532  smfpimioompt  44554  smfmullem4  44562  adddmmbl  44601  adddmmbl2  44602  muldmmbl  44603  muldmmbl2  44604  smfdivdmmbl  44606  smfdivdmmbl2  44609