Theorem salincld 46917

Description: The intersection of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salincld.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salincld.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
salincld.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
salincld	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem salincld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salincld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		salincld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
3		salincld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
4		salincl 46889	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1392	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904  SAlgcsalg 46873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-salg 46874

This theorem is referenced by:  salrestss  46926  smfaddlem2  47329  smfpimioompt  47351  smfmullem4  47359  adddmmbl  47398  adddmmbl2  47399  muldmmbl  47400  muldmmbl2  47401  smfdivdmmbl  47403  smfdivdmmbl2  47406