Theorem salincld 46632

Description: The intersection of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salincld.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salincld.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
salincld.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
salincld	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem salincld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salincld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		salincld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
3		salincld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
4		salincl 46604	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∩ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3901  SAlgcsalg 46588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-salg 46589

This theorem is referenced by:  salrestss  46641  smfaddlem2  47044  smfpimioompt  47066  smfmullem4  47074  adddmmbl  47113  adddmmbl2  47114  muldmmbl  47115  muldmmbl2  47116  smfdivdmmbl  47118  smfdivdmmbl2  47121