Theorem saldifcl2 46969

Description: The difference of two elements of a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
saldifcl2	⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saldifcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indif2 4240	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) = ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) = ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹))
3		elssuni 4906	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
4		dfss2 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
5	3, 4	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
6	5	difeq1d 4086	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹) = (𝐸 ∖ 𝐹))
7	6	3ad2ant2 1150	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹) = (𝐸 ∖ 𝐹))
8	2, 7	eqtr2d 2805	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∖ 𝐹) = (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)))
9		simp1 1152	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
10		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → 𝐸 ∈ 𝑆)
11		saldifcl 46960	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
12	11	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
13		salincl 46965	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
14	9, 10, 12, 13	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
15	8, 14	eqeltrd 2869	1 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3908   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4874  SAlgcsalg 46949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-salg 46950

This theorem is referenced by:  meassle  47104  meaunle  47105  meaiunlelem  47109  meadif  47120  meaiuninclem  47121  meaiininclem  47127  hoimbllem  47271