Theorem saldifcl2 47143

Description: The difference of two elements of a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
saldifcl2	⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saldifcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indif2 4230	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) = ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) = ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹))
3		elssuni 4902	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
4		dfss2 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
5	3, 4	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
6	5	difeq1d 4076	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹) = (𝐸 ∖ 𝐹))
7	6	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹) = (𝐸 ∖ 𝐹))
8	2, 7	eqtr2d 2798	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∖ 𝐹) = (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)))
9		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
10		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → 𝐸 ∈ 𝑆)
11		saldifcl 47134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
12	11	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
13		salincl 47139	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
14	9, 10, 12, 13	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
15	8, 14	eqeltrd 2862	1 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4870  SAlgcsalg 47123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-salg 47124

This theorem is used by:  meassle  47278  meaunle  47279  meaiunlelem  47283  meadif  47294  meaiuninclem  47295  meaiininclem  47301  hoimbllem  47445