Theorem saldifcl2 46785

Description: The difference of two elements of a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
saldifcl2	⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saldifcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indif2 4212	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) = ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) = ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹))
3		elssuni 4872	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
4		dfss2 3903	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
5	3, 4	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
6	5	difeq1d 4059	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹) = (𝐸 ∖ 𝐹))
7	6	3ad2ant2 1141	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹) = (𝐸 ∖ 𝐹))
8	2, 7	eqtr2d 2777	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∖ 𝐹) = (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)))
9		simp1 1143	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
10		simp2 1144	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → 𝐸 ∈ 𝑆)
11		saldifcl 46776	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
12	11	3adant2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
13		salincl 46781	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
14	9, 10, 12, 13	syl3anc 1380	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
15	8, 14	eqeltrd 2841	1 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∖ cdif 3882   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ∪ cuni 4841  SAlgcsalg 46765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-salg 46766

This theorem is referenced by:  meassle  46920  meaunle  46921  meaiunlelem  46925  meadif  46936  meaiuninclem  46937  meaiininclem  46943  hoimbllem  47087