Theorem saldifcl2 43867

Description: The difference of two elements of a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
saldifcl2	⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saldifcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indif2 4204	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) = ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) = ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹))
3		elssuni 4871	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
4		df-ss 3904	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
5	3, 4	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
6	5	difeq1d 4056	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹) = (𝐸 ∖ 𝐹))
7	6	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹) = (𝐸 ∖ 𝐹))
8	2, 7	eqtr2d 2779	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∖ 𝐹) = (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)))
9		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
10		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → 𝐸 ∈ 𝑆)
11		saldifcl 43860	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
12	11	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
13		salincl 43864	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
14	9, 10, 12, 13	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
15	8, 14	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839  SAlgcsalg 43849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-salg 43850

This theorem is referenced by:  meassle  44001  meaunle  44002  meaiunlelem  44006  meadif  44017  meaiuninclem  44018  meaiininclem  44024  hoimbllem  44168