Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  saldifcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saldifcl2 46343
Description: The difference of two elements of a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
saldifcl2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saldifcl2
StepHypRef Expression
1 indif2 4281 . . . 4 (𝐸 ∩ ( 𝑆𝐹)) = ((𝐸 𝑆) ∖ 𝐹)
21a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸 ∩ ( 𝑆𝐹)) = ((𝐸 𝑆) ∖ 𝐹))
3 elssuni 4937 . . . . . 6 (𝐸𝑆𝐸 𝑆)
4 dfss2 3969 . . . . . 6 (𝐸 𝑆 ↔ (𝐸 𝑆) = 𝐸)
53, 4sylib 218 . . . . 5 (𝐸𝑆 → (𝐸 𝑆) = 𝐸)
65difeq1d 4125 . . . 4 (𝐸𝑆 → ((𝐸 𝑆) ∖ 𝐹) = (𝐸𝐹))
763ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ((𝐸 𝑆) ∖ 𝐹) = (𝐸𝐹))
82, 7eqtr2d 2778 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) = (𝐸 ∩ ( 𝑆𝐹)))
9 simp1 1137 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
10 simp2 1138 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → 𝐸𝑆)
11 saldifcl 46334 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐹𝑆) → ( 𝑆𝐹) ∈ 𝑆)
12113adant2 1132 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → ( 𝑆𝐹) ∈ 𝑆)
13 salincl 46339 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆 ∧ ( 𝑆𝐹) ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ ( 𝑆𝐹)) ∈ 𝑆)
149, 10, 12, 13syl3anc 1373 . 2 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸 ∩ ( 𝑆𝐹)) ∈ 𝑆)
158, 14eqeltrd 2841 1 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆𝐹𝑆) → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  cin 3950  wss 3951   cuni 4907  SAlgcsalg 46323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-salg 46324
This theorem is referenced by:  meassle  46478  meaunle  46479  meaiunlelem  46483  meadif  46494  meaiuninclem  46495  meaiininclem  46501  hoimbllem  46645
  Copyright terms: Public domain W3C validator