Theorem saldifcl2 46319

Description: The difference of two elements of a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
saldifcl2	⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saldifcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indif2 4240	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) = ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) = ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹))
3		elssuni 4897	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
4		dfss2 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
5	3, 4	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
6	5	difeq1d 4084	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹) = (𝐸 ∖ 𝐹))
7	6	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ((𝐸 ∩ ∪ 𝑆) ∖ 𝐹) = (𝐸 ∖ 𝐹))
8	2, 7	eqtr2d 2765	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∖ 𝐹) = (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)))
9		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
10		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → 𝐸 ∈ 𝑆)
11		saldifcl 46310	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
12	11	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)
13		salincl 46315	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
14	9, 10, 12, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∩ (∪ 𝑆 ∖ 𝐹)) ∈ 𝑆)
15	8, 14	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∖ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3908   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4867  SAlgcsalg 46299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-salg 46300

This theorem is referenced by:  meassle  46454  meaunle  46455  meaiunlelem  46459  meadif  46470  meaiuninclem  46471  meaiininclem  46477  hoimbllem  46621