MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmstset Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsmstset 24512
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m (𝜑𝑀𝑉)
Assertion
Ref Expression
setsmstset (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))

Proof of Theorem setsmstset
StepHypRef Expression
1 setsms.m . . 3 (𝜑𝑀𝑉)
2 fvex 6935 . . 3 (MetOpen‘𝐷) ∈ V
3 tsetid 17414 . . . 4 TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
43setsid 17257 . . 3 ((𝑀𝑉 ∧ (MetOpen‘𝐷) ∈ V) → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
51, 2, 4sylancl 585 . 2 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
6 setsms.k . . 3 (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
76fveq2d 6926 . 2 (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
85, 7eqtr4d 2783 1 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2108  Vcvv 3488  cop 4654   × cxp 5698  cres 5702  cfv 6575  (class class class)co 7450   sSet csts 17212  ndxcnx 17242  Basecbs 17260  TopSetcts 17319  distcds 17322  MetOpencmopn 21379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-1cn 11244  ax-addcl 11246
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-tset 17332
This theorem is referenced by:  setsmstopn  24513
  Copyright terms: Public domain W3C validator