Theorem setsmstset 24365

Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
setsmstset	⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))

Proof of Theorem setsmstset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
2		fvex 6871	. . 3 ⊢ (MetOpen‘𝐷) ∈ V
3		tsetid 17316	. . . 4 ⊢ TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
4	3	setsid 17177	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (MetOpen‘𝐷) ∈ V) → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
5	1, 2, 4	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
6		setsms.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
7	6	fveq2d 6862	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
8	5, 7	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ⟨cop 4595   × cxp 5636   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   sSet csts 17133  ndxcnx 17163  Basecbs 17179  TopSetcts 17226  distcds 17229  MetOpencmopn 21254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-tset 17239

This theorem is referenced by:  setsmstopn  24366