Theorem setsmsdsOLD 23621

Description: Obsolete proof of setsmsds 23620 as of 11-Nov-2024. The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))

Assertion

Ref	Expression
setsmsdsOLD	⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))

Proof of Theorem setsmsdsOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsid 17086	. . 3 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
2		9re 12064	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1nn 11976	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		2nn0 12242	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		9nn0 12249	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		9lt10 12559	. . . . . 6 ⊢ 9 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12466	. . . . 5 ⊢ 9 < ;12
8	2, 7	gtneii 11079	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ 9
9		dsndx 17085	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
10		tsetndx 17052	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
11	9, 10	neeq12i 3012	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ 9)
12	8, 11	mpbir 230	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
13	1, 12	setsnid 16900	. 2 ⊢ (dist‘𝑀) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
14		setsms.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
15	14	fveq2d 6773	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
16	13, 15	eqtr4id 2799	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ≠ wne 2945  ⟨cop 4573   × cxp 5587   ↾ cres 5591  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  1c1 10865  2c2 12020  9c9 12027  ;cdc 12428   sSet csts 16854  ndxcnx 16884  Basecbs 16902  TopSetcts 16958  distcds 16961  MetOpencmopn 20577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-tset 16971  df-ds 16974

This theorem is referenced by: (None)