Theorem setsmsdsOLD 24428

Description: Obsolete proof of setsmsds 24427 as of 11-Nov-2024. The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))

Assertion

Ref	Expression
setsmsdsOLD	⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))

Proof of Theorem setsmsdsOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsid 17370	. . 3 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
2		9re 12344	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1nn 12256	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		2nn0 12522	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		9nn0 12529	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		9lt10 12841	. . . . . 6 ⊢ 9 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12748	. . . . 5 ⊢ 9 < ;12
8	2, 7	gtneii 11358	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ 9
9		dsndx 17369	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
10		tsetndx 17336	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
11	9, 10	neeq12i 2996	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ 9)
12	8, 11	mpbir 230	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
13	1, 12	setsnid 17181	. 2 ⊢ (dist‘𝑀) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
14		setsms.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
15	14	fveq2d 6900	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
16	13, 15	eqtr4id 2784	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ≠ wne 2929  ⟨cop 4636   × cxp 5676   ↾ cres 5680  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  1c1 11141  2c2 12300  9c9 12307  ;cdc 12710   sSet csts 17135  ndxcnx 17165  Basecbs 17183  TopSetcts 17242  distcds 17245  MetOpencmopn 21286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-tset 17255  df-ds 17258

This theorem is referenced by: (None)