Theorem shlej2i 31209

Description: Add disjunct to both sides of Hilbert subspace ordering. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
shless.1	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shlej2i	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))

Proof of Theorem shlej2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		shincl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3		shless.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
4	1, 2, 3	shlej1i 31208	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
5	3, 1	shjcomi 31201	. 2 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
6	3, 2	shjcomi 31201	. 2 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐶)
7	4, 5, 6	3sstr4g 4027	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3949  (class class class)co 7426   S_ℋ csh 30758   ∨_ℋ chj 30763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hv0cl 30833  ax-hfvmul 30835  ax-hvmul0 30840  ax-hfi 30909  ax-his2 30913  ax-his3 30914

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sh 31037  df-oc 31082  df-chj 31140

This theorem is referenced by:  chlej2i  31304  5oai  31491  3oalem6  31497